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工作秘密★启用前
第三届“奇数杯”线上联考
试题卷
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{a }满足a =7，a =3，则a =
n 3 7 1
A．1 B．5 C．-4 D．9
2．已知向量a=(m,4)，b=(2m,m+1)，则a⋅b的最小值为
A．1 B． 2 C．2 D．4
3．给定实数a,b，满足{2,a+1,b2}⊆{2,3,a,b}，则b−a=
A．1 B． 3−1 C． 3 D． 3+1
4．函数 f(x)=cos2x+sin2x−cosx在[0,2π]上的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
2x +1, x>1
5．函数 f(x)= 在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．则
ax2 +(b−3)x,x≤1
A．03)个座位，将n人依次编号为1,2,,n，让他们随机入座并留
下一个空位，记空位两侧的人编号均为偶数的概率为P ，则P 的最小值为
n n
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 7 10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．记[x]表示不超过x的最大整数．若 f(x)=[sinx]，g(x)=[cosx]，则
A． f(x)为奇函数 B．g(x)为偶函数
C． f(π)> f(π+1) D．g(π)0，则k的最小值为113
100 k
D．若a =0，不存在大于10的正整数m，使得S =0
k m
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12．多项式(x2 + +1)6的展开式中，常数项为__________．
x
tanA
13．记△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a2 +2b2 =c2，则 =__________．
tanC
试题卷 第 2 页（共 4 页）2 2
14．已知圆C:(x−2)2 + y2 =1，点M (− , )，过点P(a,a)的直线l与圆C相切于
2 2
点Q，则|PM |+|PQ|的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在△ABC中，记a,b,c分别为角A,B,C的对边．已知(2tanA−1)(tanB−2)=0．
（1）若tanB=4tanA，求C；
（2）若△ABC为锐角三角形，a>b．求tanC的取值范围．
16．（15分）
已知正三棱柱ABC−ABC 的底面边长为2，D为AA 中点．
1 1 1 1
（1）若AA =2，证明：BC⊥平面B DC；
1 1 1
（2）若AC与CD交于点M ，BD与AB 交于点N，直线MN
1 1 1
2
与平面ABC夹角的余弦值为 ，求三棱柱ABC−ABC 的体积．
3 1 1 1
17．（15分）
x2 y2
已知双曲线E: − =1 (a,b>0)的一条渐近线为y=x，左焦点为F(− 2,0)，O
a2 b2
为坐标原点，点P在E的右支上．
（1）求E的方程；
（2）若∠PFO=30，求△PFO的面积；
（3）若点M 在直线PF上，且直线OM 与OP的斜率之积为1，求|PM |．
试题卷 第 3 页（共 4 页）18．（17分）
a2
已知函数 f(x)=2lnx−x+ ，其中a≥0．
x
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）若 f(x)恰有两个极值点x,x (x
