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2025—2026 学年度第二学期高三第一次月考试题
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
5．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法
有（ ）
A．48 种 B．12 种 C．36 种 D．24 种
6．已知A，B是随机事件，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在 上的奇函数 和偶函数 ， ，则当
时， 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
8．有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，
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学科网（北京）股份有限公司因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边
时，便不能继续对折了. 一张长边为 ，厚度为 的矩形纸张沿两个方向不断对折，
则经过两次对折后，长边变为 ，厚度变为 ．在理想情况下，对折次数 满足
关系： ．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对
折后的厚度的最大值为（参考数据： ）（ ）
A．6.4cm B．2.56cm C．12.8cm D．1.28cm
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分。）
9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，
68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5 个评分
为有效数据，则（ ）
A．有效数据的极差是10 B．有效数据的平均数是80
C．有效数据的第80 百分位数是86 D．有效数据的方差是50
10．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列 是公差为1的等差数列
11．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 两点，
下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为5
C．以线段 为直径的圆与直线 相切
D．若 ，则直线 的斜率为
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学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。）
12．已知平面向量 ， ，若 方向相反，则 ．
13．已知 ，则 ．
14．在正三棱柱 中，直线 与平面 所成角为 ，且四棱锥
的体积为 ，则该三棱柱的外接球的表面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分 13 分）
在△ABC中，内角 的对边分别为 ．若 ．
（1）已知 ，求三角形的三边长；
（2）若 ， 为 中点，求 外接圆半径．
16.（本小题满分 15 分）
如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ， ， ，
， 为等边三角形，平面 平面 ， ， 为
的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
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学科网（北京）股份有限公司17.（本小题满分 15 分）
2026 年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-
动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和
家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，
举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后
即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3 位同学通过第一轮的
概率均为 ，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 ,假设
他们之间通过与否相互独立．
（1）求这3 人中至多有2 人通过第一轮的概率；
（2）从3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
（3）设这3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望．
18.（本小题满分 17 分）
已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若函数 在 有唯一零点，求实数 的取值范围；
（3）若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最大值．
19.（本小题满分 17 分）
已知椭圆 的离心率为 是 的左、右焦点，且
，直线 过点 与 交于 两点.
（1）求 的方程；
（2）若 ，求 的方程；
（3）若直线 过点 与 交于 两点，且 的斜率乘积为 分别是线
段 的中点，求△OMN面积的最大值.
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