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2025—2026 学年度第二学期高三第一次月考答案
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D D B A
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
题号 9 10 11
答案 BC ABD AC
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分。）
12． 13． 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．解：
（1）
…………2分
，解得 或 ， …………4分
又由题意知： ，∴ ，∴ 满足条件 …………5分
∴ ，即为三角形的三边. …………6分
（2）∵ ，
∴ ，……7分
高三数学第一次月考题参考答案 第1页 （共7页）
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∴ 或 ， …………8分
∵ ， ∴ ， …………9分
当 时， 边最长，与条件 矛盾，故舍去； ………10分
当 时，则 ，又 ，
∴ ，解得： ， ………11分
∴ ,∴ ,
又∵ 为 中点，∴ ， ………12分
∴在 中， ，
设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，即 ，
∴ 的外接圆半径为 ． ………13分
16．解：
（1）因为 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ． …………1分
过 作 ，垂足为 ， …………2分
因为底面 为直角梯形， ， ， ， ，
所以 ，则 ，
由 得 ，所以 …………3分
因为平面 平面 ，
且平面 平面 ， 平面 ， …………4分
所以 平面 ． …………5分
因为 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ．…7分
高三数学第一次月考题参考答案 第2页 （共7页）
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知， ， ， 两两垂直，以 为原点，过 且平行于
直线为 轴， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系， …………8分
则 ， ，
， ，
， ……10分
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ……12分
由（1）可知， 轴⊥平面 ，
不妨取平面 的法向量为 ， ………13分
则 ， ………14分
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ． ………15分
17．解：
（1）记3人中通过第一轮的人数为 ，
由题意可知 ， …………1分
记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件 ，
则 . …………4分
（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 ，通过第二轮的事件记为 ，
则由题意可知 ， ……6分
…………8分
则
所以 . …………9分
高三数学第一次月考题参考答案 第3页 （共7页）
学科网（北京）股份有限公司（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 ，
则 ，
，
， ………10分
由 相互独立可知 ，
………13分
所以 的分布列是
0 1 2 3
则 的数学期望是 ．…15分
18．解：
（1）当 时， ，则 ， …………1分
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， …………3分
的极小值为 ，无极大值. …………5分
（2） ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； …………6分
①当 时， 在 上单调递增，
若 在 上有唯一零点，则 ，
即 ，解得： （舍）； …………7分
高三数学第一次月考题参考答案 第4页 （共7页）
学科网（北京）股份有限公司②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； ……8分
当 ，即 时， ，
则 在 上无零点，不合题意；
当 ，即 时， 在 上有唯一零点 ，满足题意；
当 ，即 时，
由 得： ， ………10分
在 上有唯一零点，此时需 ，
即 ；
综上所述：当 或 时， 在 上有唯一零点，
即实数 的取值范围为 . ………11分
（3）若 对 恒成立，即 对 恒成立，
则 ，
令 ，则 ， ………13分
令 ，则 ， 在 上单调递增，
， ， ，使得
，
即 ，
则当 时， ；当 时， ； ………14分
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
， ， ， ………16分
高三数学第一次月考题参考答案 第5页 （共7页）
学科网（北京）股份有限公司， 整数 的最大值为 . ………17分
19．解：
（1）因为 ，所以 ， …………1分
又因为该椭圆的离心率为 ，
所以 ， …………2分
所以椭圆的方程为 ； …………4分
（2）当直线 的斜率为零时，此时方程为 ，此时 ，
显然此时 ，不符合题意， …………5分
故设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，得
，
因为 ，
所以设 ，则有 ， ……7分
由
， ……9分
所以直线 的方程为 ，或 ； ………10分
（3）由（2）可知： ，
所以
因此 的坐标为 ，…11分
设故设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，得
高三数学第一次月考题参考答案 第6页 （共7页）
学科网（北京）股份有限公司，
因为 ，
所以设 ，则有 ，
………12分
所以 的坐标为 ，
因为 的斜率乘积为 ，
所以 ，因此 的坐标为 ，……13分
显然边 与横轴平行，
因此 ，
即 . ………15分
即 时，取等号，即当 时取等号， ………16分
所以△OMN面积的最大值 . ………17分
高三数学第一次月考题参考答案 第7页 （共7页）
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