数学（新阵地）答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260306浙江新阵地教育联盟2025-2026学年高三下学期开学考试_浙江省新阵地教育联盟2026届高三第二次联考数学试卷

浙江省新阵地教育联盟 2026 届第二次联考 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D B A B D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BC ACD ACD 三、填空题 12．24 13． 浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学答案 第 1 页 共 5 页 ( 1 3 , 3 3 ) 14． 2 2 4  四、解答题 15．（1）因为 P A = A B ，且 E 为线段 P B 中点，所以 A E ⊥ P B . 又因为 P A ⊥ 底面 A B C D ， B C  平面 A B C D ，所以 P A ⊥ B C . 而 B C ⊥ A B ，且PA AB= A，因此 B C ⊥ 平面 P A B . ........................................................ 3分 而 A E  平面 P A B ，因此BC ⊥ AE. 又因为 P B  B C = B ，所以 A E ⊥ 平面 P B C . 而AE平面PAB，所以平面AEF ⊥平面 P B C . ................................................................. 6分 （2）法一：由（1）可知直线 A F 与平面 P B C 所成角为  A F E ， ............................................. 8分 AE 因此sin=sinAFE= . .................................................................................................. 10分 AF 不妨设 A B = P A = a ，则 A E = 2 2 a ， A F  [ a , 2 a ] ， 所以 s in [ 1 2 , 2 2 ]   . ................................................................................................................ 13分 法二：以A为原点，AD,AB,AP所在直线分别为 x , y , z 轴，建立空间直角坐标系. 不妨设 A B = 1 ，设 B F = a , a  [ 0 ,1 ] ，则 B ( 0 ,1 , 0 ) , C (1 ,1 , 0 ) , P ( 0 , 0 ,1 ) , F ( a ,1 , 0 ) ...................... 8分  AF =(a,1,0),BC=(1,0,0),PB=(0,1,−1)， 设平面PBC 的一个法向量n=(x,y,z)，  n n   BP CB   = = 0 0 ，即  x y = − 0 z = 0 ，令y=1，则n=(0,1,1)， ...................................................... 10分   |nAF| 1 1 2 则sin=|cosn,AF |= = [ , ]. |n||AF| 2(a2 +1) 2 2 1 2 因此sin[ , ]. ................................................................................................................ 13分 2 2 {#{QQABLQC85wCYkJYACC46BU0cCUuYsIARLAgOgVAaqAYLiZFAFIA=}#}16．（1）因为 浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学答案 第 2 页 共 5 页 3 0  =  ，且 | A C |= 2 ，所以|AE|=4. ........................................................................... 2分 易知  B A D = 6 0  ，且 | A B |= 1 ，故 | A D |= 2 . ........................................................................ 4分 所以 | D E |= 4 2 + 2 2 − 2  c o s 6 0   4  2 = 2 3 . ..................................................................... 6分 （2）因为AEC=，所以EAC=90−. 又因为  D A E = 6 0  ，所以 B A D 3 0   = +  . 故 | A E | s 2 in , | A D | c o s ( 1 3 0 )   = = +  . ........................................................................................ 8分 因此 S A D E 1 2 A E A D s in 6 0 2 s in c o 3 s ( 3 0 )    =     = +  . .................................................... 10分 而 2 s in c o s ( 3 0 ) 3 s in c o s s in 2      +  = − . 2 3 s in 2 1 2 c o s 2 1 2   = + − ...................................................................................................... 12分 s in ( 2 6 ) 1 2 1 2   = + −  此时 6   = .故面积的最小值为 S  A D E = 2 3 . ...................................................................... 15分 17．（1）零假设 H 0 : 胜负情况与主、客场无关， 根据表中数据可得， 2 1 5 0 8 ( 0 6 0 7 0 3 0 1 0 2 0 0 5 4 0 0 ) 2 3 0 0 5 6 3 .8 4 1 x 0 .0 5  =     −   =  = ............................ 3分 根据小概率值 0 .0 5  = 的 2  独立性检验，我们推断 H 0 不成立，即认为胜负情况与主、客场 有关，该推断犯错的概率不超过0.05. ................................................................................... 5分 3 2 （2）（i）根据题意设甲在主场获胜的概率为 ，在客场获胜的概率为 . 5 5 第k场获胜的概率 P ( k ) ，可能存在两种情况，即第k−1场甲胜或甲负， 所以 P ( k ) = 3 5 P ( k − 1 ) + 2 5 (1 − P ( k − 1 ) ) 1 2 ，即P(k)= P(k−1)+ ,k2. ............................... 7分 5 5 3 1 1 1 因为P(1)= ，P(k)− = (P(k−1)− )， 5 2 5 2 1 1 1 所以数列{P(k)− }是以 为首项， 为公比的等比数列. 2 10 5 z P A D x E B F y C {#{QQABLQC85wCYkJYACC46BU0cCUuYsIARLAgOgVAaqAYLiZFAFIA=}#}所以 浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学答案 第 3 页 共 5 页 P ( k ) = 1 2 + 1 1 0  ( 1 5 ) k − 1 = 1 2 + 1 2  ( 1 5 ) k . ................................................................................ 10分 （ii） S ( n ) = n i= 1 i  P ( i ) = n i= 1 i 2 + 1 2 n i= 1 i  ( 1 5 ) i = n ( n 4 + 1 ) + 1 2 n i= 1 i  ( 1 5 ) i ， 1 2 3 n 记T = + + + + ， 5 52 53 5n 则 5 T = 1 + 2 5 + 3 2 5 +  5 n n − 1 ， 两式相减，得 4 T = 1 + 1 5 + 1 2 5 +  + 5 1 n − 1 − n n 5 = 1 − 1 ( − 1 51 5 ) n − n n 5 = 5 4 − 5 4 +  4 5 n n ， 故 T = 1 5 6 − 5 1 + 6  4 5 n n ， 则 S ( n ) = n ( n 4 + 1 ) + 1 2 ( 1 5 6 − 5 1 + 6  4 5 n n ) = n ( n 4 + 1 ) + 5 3 2 − 5 3 + 2  4 5 n n . ................................................. 15分 18．（1）因为 e = 2 5 ，则 a = 2 b ，将点 ( 5 , − 1 2 ) 代入双曲线方程， 得 4 5 b 2 − 4 1 b 2 = 1 ，解得 b = 1 ，则 a = 2 . ................................................................................. 2分 故双曲线方程为 x 4 2 − y 2 = 1 . .................................................................................................... 4分 （2）设过 P 的切线方程为 y = k x − 2 . 与双曲线方程C联立，得(1−4k2)x2 +16kx−20=0. ........................................................... 6分   1 − = 4 (1 k 6 2 k  ) 2 0 + 8 0 (1 − 4 k 2 ) = 8 0 − 6 4 k 2 = 0 ，即 k =  2 5 . ........................................................ 8分 故 l1 , l2 的直线方程为 y =  2 5 x − 2 . ....................................................................................... 9分 （3）已知 A ( 2 , t ) ，设 l3 : y = k ( x − 2 ) + t ，与双曲线方程 C 联立， 得 (1 − 4 k 2 ) x 2 − 8 k ( t − 2 k ) x − ( 4 + 4 ( t − 2 k ) 2 ) = 0 ，需满足 1 − 4 k 2  0 ，即 k   1 2 . 而  = 6 4 k 2 ( t − 2 k ) 2 + 4 (1 − 4 k 2 ) ( 4 + 4 ( t − 2 k ) 2 ) = 1 6 (1 + ( t − 2 k ) 2 − 4 k 2 ) = 0 ， 解得 k = t 2 4 + t 1 .因为 k   1 2 t2 +1 1 ，所以  ，即 4t 2 t   1 . 故 l3 : y = t 2 4 + t 1 ( x − 2 ) + t = t 2 4 + t 1 x + t 2 2 − t 1 ， 2(t2 +1) 2t 2(t2 +1) 切点E( , )，且 0，即 1−t2 1−t2 1−t2 t  (1 , +  ) . .................................................... 11分 当斜率不存在时，切线方程l :x=2，切点F(2,0). 4 故EF:x=2ty+2. {#{QQABLQC85wCYkJYACC46BU0cCUuYsIARLAgOgVAaqAYLiZFAFIA=}#}浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学答案 第 4 页 共 5 页 l1 与 l3 联立，得  y y = = − 2 t + 4 t 1 2 5 x x + − t 2 2 2 − t 1 ，解得 M ( − t 2 2 2 t + + 2 8 t 5 − t + 2 1 , 5 2 t 2 t + + 4 2 5 5 t t − + 1 5 − 2 ) . l2 与 l4  5 y= x−2 联立，得 2 ，解得  x=2 N ( 2 , 5 − 2 ) . ............................................................ 14分 故 k M N = y x M M − − y x N N = ( 4 − 4 t 5 2 − − 1 ( 0 8 ) + t − 4 2 5 5 ) t = 5 − 2 2 t 5 ， 所以 M N : y = 5 − 2 2 t 5 ( x − 2 ) + 5 − 2 . M N 与 E F 联立，得  y x = = 5 2 − ty 2 2 t + 2 5 ( x − 2 ) + 5 − 2 ，解得 y = 1 2 ， x = t + 2  ( 3 , +  ) . 故交点 Q 的轨迹为 y = 1 2 ( x  ( 3 , +  ) ) . ................................................................................... 17分 （若使用极点极线结论得到答案 y = 1 2 ，得2分） 19．（1）已知 f ( x ) 的定义域为 { x | x 2 k , k Z }    +  . .......................................................................... 1分 f '( x ) = e a x ( a s in c o x s c 2 o x s x + 1 ) = e a x ( a 2c s o in 2 s 2 x x + 1 ) ， ..................................................................... 3分 而 s in 2 x  1 ， | a 2 |  1 ，故 a 2 s in 2 x + 1  0 ，故 f '(x)0. 因此函数 f ( x )   的单调增区间为(− +k, +k)， 2 2 k  Z . ................................................ 5分 a eax( sin2x+1) 2 （2）（i） f '(x)= =0，即 cos2x s in 2 x = − 2 a .  不妨设x 为满足要求的最小极值点，易知x  ， 1 1 4 则2x=2x +2k或2x=−2x +2k. 1 1  即x=x +k或x= −x +k. 1 2 1 所以x =x +(n−1)， 2n−1 1 x 2 n 2 x 1 ( n 1 )   = − + − . f(x ) ea(x 1 +n)tan(x +n) 因此 2n+1 = 1 =ea(x 1 +n)−a(x 1 +(n−1)) =ea， f(x ) ea(x 1 +(n−1))tan(x +(n−1)) 2n−1 1 2 又因为sin2x=− ，故tanx 0，所以{f(x )}为等比数列. ....................................... 11分 a 1 2n−1 {#{QQABLQC85wCYkJYACC46BU0cCUuYsIARLAgOgVAaqAYLiZFAFIA=}#}（ii）由题意，n2,| f(x )+ f(x )|=|eax n tanx +eax n−1 tanx |， n n−1 n n−1 ①当 浙江省新阵地教育联盟2026届第二次联考 数学答案 第 5 页 共 5 页 n 为偶数时，  n n a( −x+( −1))  a(x+( −1)) | f(x )+ f(x )|=|e 2 1 2 tan( −x )+e 1 2 tanx | n n−1 2 1 1 e a ( n2 1 ) | e a ( ta 2 n x1 x 1 ) e a x1 ta n x 1 |   = − − +  a( n −1) e a( 2 −x 1 ) e 2 2 eax 1 tanx tanx 1 1 e a ( n2 1 ) 2 e a ( 2 x1 ) e a x1   = −  −  n  n 3 a( −1) a ( − )a =e 2 2e4 =2e 2 4 ； ............................................................................................. 14分 ②当 n 为奇数时， | f ( x n ) f ( x n 1 ) | | e a ( x1 ( n 2 1 ) ) ta n x 1 e a ( 2 x1 ( n 2 3 ) ) ta n ( 2 x 1 ) |     + − = + − + − + − − e a ( n 2 3 ) | e a ( x1 ) ta n x 1 e a ( ta 2 n x1 x 1 ) |    = − + + − e a ( n 2 3 ) 2 e a ( ta 2 n x1 x 1 ) e a ( x1 ) ta n x 1     −  −  + e a ( n 2 3 ) 2 e a ( 2 x1 ) e a ( x1 )    = −  −  + e a ( n 2 3 ) 2 e 34 a 2 e ( n2 34 )a    = −  = − ； 综上所述 | f ( x n ) f ( x n 1 ) | 2 e ( n2 34 )a  + −  − . .............................................................................. 17分 {#{QQABLQC85wCYkJYACC46BU0cCUuYsIARLAgOgVAaqAYLiZFAFIA=}#}