数学-华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考期末_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年02月高三试卷_260205广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考期末

华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考 数学 命题学校:广东广雅中学 定稿人:黄淑珍 胡玲 ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1.已知集合A= x|x   ≤2  ,B=x∣3x-1<1  ，则A∩B= A. -2,2  B. -2,1  C. -2,1  D. 1,2  2.已知数列a n  是公差不为零的等差数列,若s,t,p∈N+,则“2a =a +a ”是“2t=s+p”的 t s p A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2025年到该地旅游的游客 中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的游客比例，如下图 所示，则估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 4.有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有 A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 5.任意一个复数z=a+bia,b∈R  都可以表示成三角形式，即a+bi=r(cosθ+isinθ)θ∈R,r≥0  .法国 数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是:设两个复数z 1 =r 1cosθ 1 +isinθ 1  ,z 2 =r 2cosθ 2 +isinθ 2  ，则z z = 1 2 r 1 r 2 cosθ 1 +θ 2  +isinθ 1 +θ 2     1 3 ，已知复数z= - i，则z2026= 2 2 1 3 1 3 1 A. - - i B. - + i C. D. -1 2 2 2 2 2 6.设动直线l:mx-y-2m+3=0m∈R  交圆C:x-4  2+y-5  2=12于A,B两点(点C为圆心)，当 ∠ACB最小时其余弦值为 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 3 6 数学试题 第 1 页 共 4 页7.已知函数 fx  =ex-2m,gx  =x2-mx，gx  在点m,0  处的切线与曲线y= fx  也相切，则实数m 的值为 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 8.已知数列a n  lnn -1 满足a = - n n  n ，则关于a n n  说法正确的是 A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1 9.已知二项式ax2+ x  n (其中a∈R,n≤8,n∈N+)的展开式中存在常数项,则下列说法正确的是 A. n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B. 若当n取最大值时常数项为30,则a=± 2 C. 若当n取最小值时函数fx  1 =ax2+ x  n 的图象在点 1,f1    1 处的切线与x轴平行,则a= 2 D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0,则a=-1 y2 x2 10.已知O为坐标原点，椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  3 的长轴长为4，离心率为 ，过抛物线C :y2=4x 2 2 的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并分别延长交椭圆C 于M,N两点，则下列结论 1 正确的是 y2 A. 椭圆C 的方程为 +x2=1 1 4   B. 若AF=2FB，则AB=4 1 C. 若直线OM,ON的斜率分别为k ,k ,则k k =- 1 2 1 2 4 D. OM 2+ON 2=5 11.在棱长为a的正四面体ABCD中，P,Q分别为棱AB和CD(包括端点)的动点，直线PQ与平面ABC、平 面ABD所成角分别为α,β，则 A. 点Q到平面ABC和平面ABD的距离之和是定值 B. sinα-sinβ的正负由点Q位置确定，与点P位置无关 4 3 C. sinα+sinβ的最大值为 3 3 3πa2 D. 正四面体顶点在球O的球面上，当CQ= CD时，则过点Q截球O的截面面积最小值为 4 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列a n  的前n项和为S ，且S ，2S ，3S 成等差数列，则数列a n 1 2 3 n  的公比为 . 13.已知函数 fx  = 3sinx+cosx  1 cosx- ，若 fx 2  π 在区间 - ,m  6  1 上的值域为 - ,1  2  ，则实数m的 取围是 . 14.已知函数 fx  π 的定义域为0, 2  π ，且满足 f 6  π =e6，fx  1 ≥1- tanx  fx  π ，则 f 3  的最小值为 数学试题 第 2 页 共 4 页四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 π 15.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知a=6，2acos -C 3  =b+c. (1)求角A的大小； (2)若D为BC的中点，且AD=3 3，求△ABC的面积. 16.如图，圆台O O 的轴截面为等腰梯形A ACC ,AC=2AA =2A C =4,B为底面圆周上异于A,C的任 1 2 1 1 1 1 1 一点.  (1)若劣弧BC中点为E(如图1)，过点E作出平面α⊥平面BCC ，请说明平面α的作法，并证明平行；α 1 ⊥平面BCC ; 1 (2)现定义:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交点所 形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直的距离.  当B为半圆弧AC的中点(如图2)所示,设平面A AB∩平面C CB=l,Q∈l,求异面直线CQ与A l距离 1 1 1 的最大值. A 1 O 1 C 1 A 1 O 1 C 1 A O 2 C A O 2 C E B B 图1 图2 数学试题 第 3 页 共 4 页17.(15分)某商场为庆祝元旦，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其 中3个黑球和2个红球. 取球结果 2个红球 2个黑球 红、黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 (1)消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖 金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望; (2)若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一位抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖 箱里仍然是3个黑球和2个红球,每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球,若取出黑球,则放回小盒中, 无奖励；若取出红球，则将球放回后再往盒子中加1个黑球，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在 前一位抽奖后的箱中继续抽奖.该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖. 设“第i个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件A ，设“第 j个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼 1 品”记为事件B. j (i)求PA 1 B 3  和PA 2 ∣B 3  ; (ii)求第kk≥2  位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率Pk  . 18.已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于2，右焦点F到其渐近线的距离等于 3. (1)求双曲线C的方程； (2)经过点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，以AB为直径的圆记作⊙M. (i)求证:⊙M恒过某个定点,并求出此定点的坐标; (ii)是否存在某个定圆与⊙M相切,若存在,请求出此定圆的方程,若不存在,请说明理由. 19.已知函数fx  =x+1  lnx+1  -asinx a∈R  . (1)讨论函数fx  在区间0,π  内的零点个数; (2)若∃a∈0,1  ，使得fx-1  1 +ax2≤ bebx对∀x∈1,+∞ 2  恒成立，求实数b的取值范围； (3)若方程fx-1  =x+1  lnx-2axa>0  1 有两个不相等的实根x ,x ，求证:x ⋅x < . 1 2 1 2 a2 数学试题 第 4 页 共 4 页华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C D A C A C BCD AD ABD 1 π π 12. . 13.   , 3  6 2  3 π 14. e3 3 π 15.(1)因b+c=2acos -C 3  π π =2acos cosC+sinCsin 3 3  = 3asinC+acosC，...1分 由正弦定理和两角和正弦公式得：sinB+sinC= 3sinAsinC+sinAcosC，.......2分 又因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以cosAsinC+sinC= 3sinAsinC，.......4分 π 因为sinC>0，所以cosA+1= 3sinA，即sinA- 6  1 = .........................5分 2 π π 5π π π π 由00，所以cos = 3sin ，所以tan = ，.......5分 2 2 2 2 2 2 3 A π π 所以 = ，即A= ；....................................................6分) 2 6 3 (2)因为点D为BC中点，且AD=3 3， b2+c2-62 1 在△ABC中，a=6，cosA= = ，即bc=b2+c2-36，.................8分 2bc 2 AD2+BD2-c2 AD2+CD2-b2 在△ABD和△ACD中，cos∠ADB=-cos∠ADC，即 =- ，...9分 2AD⋅BD 2AD⋅CD 化简得b2+c2=72，.......10分 所以bc=b2+c2-36=72-36=36，.....................................11分 1 1 π 故S = bcsinA= ×36×sin =9 3，所以△ABC的面积为9 3．.......13分 △ABC 2 2 3 16.(1)连接O E,EO ,O O ，平面EO O 即为所求作的平面α，............2分 1 2 1 2 1 2 证明如下： ∵在圆台O O 中，O O ⊥面CBA，BC⊂面CBA，∴O O ⊥BC，............3分 1 2 1 2 1 2  ∵E为劣弧BC中点，O E为圆O 的半径，∴O E⊥BC， ......................4分 2 2 2 又∵O O ∩O E=O ，O O ,O E⊂平面O O E，∴BC⊥平面O O E，............5分 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 又∵BC⊂平面BCC ，∴平面O O E⊥平面BCC ............................6 1 1 2 1 分 (2)延长AA ,CC 交于点D，故D∈AA ⊂平面ABA ,D∈CC ⊂平面 1 1 1 1 1 CC B,故平面A AB∩平面C CB=BD,BD即l,.......7分 1 1 1 在△ACD中，DC,DA,DB均为圆锥母线. 由AC=2AA =2A C =4，得DC=2CC ，BC=2 2 1 1 1 1 故DO =2 3...................8分 2    以O 为原点，O B,O C,O O 方向为x,y,z轴正向建立空间直角坐 2 2 2 2 1 参考答案 1 页 共 5 页标系， C0,2,0  ,B2,0,0  ,D(0,0,2 3),A 10,-1, 3  ,C 10,1, 3   AA 1 =0,1, 3   ,AB=2,2,0   ,CC 1 =0,-1, 3   ,BC=-2,2,0   ，BD=(-2,0,2 3)...........9分        设BQ=λBD(λ∈R且λ≠1),则CQ=BQ-BC=λBQ-BC=(-2λ+2,-2,2 3λ),........10分  将AA ,CQ平移至平面β，设平面β的法向量平面n=(x ,y ,z )， 1 0 0 0   则   n  ⋅A  A 1 =0 ，即   y 0 + 3z 0 =0 取n  = 3λ+1 n⋅CQ=0 x 0 (2-2λ)-2y 0 +2 3λz 0 =0   , 3(1-λ),λ-1  ..........11分     AC⋅n  AC=(0,4,0)，则异面直线CQ与A A的距离d为AC在n上的投影向量的长度即 1   n    AC⋅n 则d=   n  1-λ =4 3⋅  ..........................12分 7λ2-2λ+7 4 3t 令t=1-λ，则d=  ， 7t2-12t+12 当t=0时，λ=1，此时CQ与A A相交，不为异面直线(舍)；.........................13分 1 4 3 4 3 当t≠0时，00,b>0 a2 b2  ，右焦点Fc, 0  b ，则点F到其渐近线y=± x即bx±ay=0的距离 a bc bc 为 = =b，故b= 3 ①，.......................................1分 a2+b2 c c a2+b2 b e= = = 1+ a a a  2 b =2，得 = 3 ②，................................2分 a ①代入②，得a=1， ........................................................3分 y2 故双曲线C的方程为：x2- =1． ......................................4分 3 (2)(i)F2, 0  ，当直线AB的斜率不为0时，设AB:x=my+2，与C:3x2-y2=3联立， 得3m2-1  y2+12my+9=0(1分给分点)，则3m2-1≠0，Δ=36m2+1  >0恒成立，......5分 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  12m 9 ，则y +y =- ，y y = ， 1 2 3m2-1 1 2 3m2-1 2 6m ⊙M的圆心即AB的中点M- , - 3m2-1 3m2-1  ，..................................................6分 由弦长公式，得 AB  = 1+m2  y 1 +y 2   2-4y y 1 2  = 1+m2  12m - 3m2-1   2 36  -  3m2-1  6m2+1 =  3m2-1  ， 1 则⊙M的半径r= AB 2  3m2+3 = 3m2-1  . .....................................7分 (以下步骤，酌情按证法一、证法二给分) 证法一：⊙M的方程为： 2 x+ 3m2-1  2 6m +y+ 3m2-1  2 3m2+3 = 3m2-1  2 . ........................................8分 2 令y=0，得x+ 3m2-1  2 3m2-3 = 3m2-1  2 3m2-5 ，解得：x =-1, x = . .................9分 1 2 3m2-1 参考答案 3 页 共 5 页故⊙M与x轴交于P-1, 0  3m2-5 , Q , 0 3m2-1  两点. .......................10分 而当直线AB的斜率为0时，⊙M:x2+y2=1也经过定点P-1, 0  (1分给分点)； 综上，⊙M恒过定点P-1, 0  . .............................11分 证法二：当直线AB的斜率为0时，⊙M 1 :x2+y2=1；当AB的斜率不存在时，⊙M 2 :x-2  2+y2=9. (注：只要写对其中一个圆方程就给1分).......................................8分 因为⊙M 1 与⊙M 2 内切，它们有唯一的公共点P-1, 0  ， 由此猜想：⊙M恒过定点P-1, 0  (1分给分点)，下面给予证明. .................9分   故PA∙PB=x 1 +1  x 2 +1  +y 1 y 2 =my 1 +3  my 2 +3  +y 1 y 2 =m2+1  y 1 y 2 +3my 1 +y 2  +9 =m2+1  9 12m ⋅ +3m⋅- 3m2-1 3m2-1  9m2+9-36m2+9(3m2-1) +9= =0. 3m2-1 则PA⊥PB即∠APB=90°，故以AB为直径的⊙M恒过定点P-1, 0  . .........11分 (ii)根据直线AB的斜率为0与AB的斜率不存在，这两种特殊情形时⊙M的方程，结合对称性， 猜想：存在定圆(设为⊙N)的方程为 x-3  2+y2=4(2分给分点)，下面给予证明. ...13分 2 6m 由(i)知，⊙M的圆心M- , - 3m2-1 3m2-1  3m2+3 ，半径r= 3m2-1  ； 而 ⊙ N : x-3  2 + y2 = 4 的圆心 N (3 , 0)，半径为 2；所以 ⊙ M 与 ⊙ N 的圆心距 MN  = 2 - -3 3m2-1  2 6m +- 3m2-1  2 9m2+1 = 3m2-1  . ........................14分 ①当3m2-1>0即m  3 3m2+3 9m2+1 > 3 时，⊙M与⊙N的半径之和r 1 +r 2 = 3m2-1 +2= 3m2-1 =MN  ， 此时，⊙M与⊙N外切. ..............................................15分 ②当3m2-1<0即m  3 < 3 时，⊙M与⊙N的半径之差的绝对值r 1 -r 2  3m2+3 = -2 1-3m2  9m2+1 = = 1-3m2 MN  ， 此时，⊙M与⊙N内切. ..........................................16分 综上所述，存在定圆⊙N:x-3  2+y2=4与⊙M相切. .........................17分 1 说明：若设直线AB的方程为AB:y=k(x-2)，则只要将上述解答过程种的m用 代，就能得到相应的 k 运算结果，注意要讨论直线AB的斜率不存在的情况，阅卷时请参照上述评分标准相应给分即可. 19.(1)由fx  =x+1  lnx+1  -asinx，得fx  =lnx+1  +1-acosx， fx  1 = +asinx，(注：以上求导只要对一个就给1分) ...................1分 x+1 ①当a<0时，因为x∈0, π  ，所以x+1  lnx+1  >0，asinx<0，故fx  >0恒成立，此时，fx  在区 间0, π  内无零点. ..............................2分 ②当0≤a≤1时，因为x∈0, π  ，所以fx  >0，则fx  单调递增， 故fx  >f0  =1-a≥0，则fx  单调递增，故fx  >f0  =0， 此时，fx  在区间0, π  内无零点. .....................3分 ③当a>1时，因为x∈0, π  ，所以fx  >0，则fx  单调递增， 因为f0  π =1-a<0，f 2  π =1+ln +1 2  >0， π 所以存在唯一的x ∈0, 0 2  使得fx 0  =0. ................4分 当x∈0, x 0  时，fx  fx 0  =0，fx  单调递增. 因为f0  =0，所以fx 0  0， 故fx  在区间0, π  内只有1个零点x 1 ，且x 1 ∈x 0 , π  . ...........5分 综上所述，当a≤1时，fx  在区间0, π  内的零点个数为0； 当a>1时，fx  在区间0, π  内的零点个数为1. .....................6分 (2)不等式fx-1  1 +ax2≤ bebx⇔φa 2  = x2-sinx-1    1 a+xlnx- bebx≤0， 2 则∃a∈0, 1  ，使得φa  ≤0，转化为φa  ≤0. ...........................7分 min 因为x∈1, +∞  ，所以x2-sinx-1  ≥x2-1>0，则φa  在a∈0, 1  上单调递增， 故φa  =φ0 min  1 1 =xlnx- bebx≤0，转化为xlnx≤ bebx对∀x∈1, +∞ 2 2  恒成立，...8分 即x2⋅lnx2≤bx⋅ebx，即lnx2⋅elnx2≤bx⋅ebx(**)对∀x∈1, +∞  恒成立，......9分 因为当x>1时，lnx2>0，所以bx>0. 构造函数hx  =xexx>0  ，则hx  =x+1  ex>0，故hx  在0, +∞  上单调递增. 不等式(**)等价于hlnx2  ≤hbx  ，则lnx2≤bx，..............................10分 2lnx 分参，得b≥ =mx x  对∀x∈1, +∞  恒成立，转化为b≥mx  . max mx  21-lnx =  ，令mx x2  =0，得x=e. ..............................11分 当x∈1, e  时，mx  >0，mx  单调递增；当x∈e, +∞  时，mx  <0，mx  单调递减. 故mx  =me max  2 2 = ，故b的取值范围是  , +∞ e  e  . .......................12分 （3）方程fx-1  =x+1  lnx-2axa>0  代入有 xlnx-asin(x-1)=(x+1)lnx-2ax即2ax-asin(x-1)=lnx有两个不相等实根x ,x ， 1 2 不妨设x 1 gx 2  ，得sinx 1 -1  -sinx 2 -1  >x -x . ........................................................14分 1 2 lnx 1 -lnx 2 <2ax 1 -x 2  -ax 1 -x 2  =ax 1 -x 2  x -x 1 ，即 1 2 < . ...........................15分 lnx -lnx a 1 2 x -x x -x x x x 下证 x x < 1 2 ⇔ 2 1 >lnx -lnx ⇔ 2 - 1 >ln 2 ， 1 2 lnx -lnx x x 2 1 x x x 1 2 1 2 1 2 1 x 1 令t= 2 ，则只要证t- >2lnt t>1 x t 1  ，...............................................................16分 设Ft  1 =t- -2lnt t>1 t  ，则Ft  1 2 (t-1)2 =1+ - = >0， t2 t t2 故当t>1时，Ft  单调递增，故Ft  >F1  1 =0，则t- >2lnt t>1 t  ，得证！ x -x 1 1 故 x ⋅x < 1 2 < ，故x ⋅x < . .......................................................17分 1 2 lnx -lnx a 1 2 a2 1 2 参考答案 5 页 共 5 页