文档内容
科目：数学
(试题卷)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡
上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，将答案
写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．本试卷共 4 页。如缺页，考生须及时报告监考老师，
否则后果自负。
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名
准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！2026 年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则
A． B． C． D．
3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中依次不放回地
随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为
A． B．
C． D． D C
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的
E
中点，则
A． B． F
A B
C． D．
5．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与
球的表面积的比值为
A． B． C． D．
6．已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则椭圆
的离心率
A． B． C． D．
7．已知实数x，y满足： ，则
A． B．
C． D．
8．已知 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， 的面积 ，
数学试题第 1 页 (共4页)角C的平分线交AB于D点，且 ， ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ，则
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是
A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10
B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数 的值越大
C．根据分类变量 与 的成对数据，计算得到 ，依据 的独立
性检验，结论为变量 与 不独立
D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平
带状区域内
11．已知 成等差数列，若关于 的方程组 恰有2组解，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知曲线 在 处的切线 与圆 相交于A、B两点，则
____________.
13．已知函数 为奇函数，则实数 ____________.
14．函数 的值域为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知数列 的前n项和 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
数学试题第 2 页 (共4页)16．(本小题满分15分)
如图，三棱柱 中，平面 平面 ， ，
， 为 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．(本小题满分15分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量 X服从参数为
的泊松分布（记作 ），则其概率分布为 ， ，其中
为自然对数的底数.
（1）当 时，泊松分布可以用正态分布来近似，当 时，泊松分布基本上就等于
正态分布，此时可认为 .若 ，求 的值；
（2）设 ，当 且 时，二项分布可近似看成泊松分布，即
，其中 .
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产品
中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得 最大时的X值．
(参考数据： ；若 ，则有 ，
， )
数学试题第 3 页 (共4页)18．(本小题满分17分)
抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点，抛物线 上的一点
到焦点 的距离为2.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）已知直线 交抛物线 于 两点，直线 交抛物线的准线于点 ，且 轴.
（i)）证明：直线 过定点；
（ii）点 为抛物线 的准线与y轴的交点，若 的面积与 的面积相等，求直
线 的方程.
19．(本小题满分17分)
已知函数 (其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明： ；
（3）若 有两个不同的实数解 ，且 ，求证： .
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