文档内容
科目：数学
试题卷
( )
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在
答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答
题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．本试卷共 4 页。如缺页，考生须及时报告监考老
师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名
准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！2026 年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
x+1
1．已知集合M ={x| <0}，N ={x|1≤x≤3}，则M N =
x−2
A．{x|1≤x≤2} B．{x|1≤x<2}
C．{x|−10,b>0)的渐近线相切，则椭圆
a2 b2
x2 y2
T: + =1 的离心率e=
a2 b2
A． 6 B． 3 C． 2 D． 1
3 3 3 3
7．已知实数x，y满足：5x =7y −2y，则
A．x≥1 B．y≥1
C．(x−1)(y−1)≥0 D．(x−1)(y−1)≤0
1
8．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积S = (b2−ab)tanC，
4
5
角C的平分线交AB于D点，且a=2，CD= ，则BD=
3
3 4 5
A． B． C． D．3
5 3 2
数学试题第 1 页 (共4页)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知tanx=2，则
2sinx+cosx 5 4
A． = B．sin2x=−
sinx+cosx 3 5
6 3
C．sin2 x+sinxcosx= D．cos2x=−
5 5
10．下列说法正确的是
A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10
B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越大
C．根据分类变量x与y的成对数据，计算得到χ2 =2.947＜x ，依据α=0.05的独
0.05
立性检验，结论为变量x与y不独立
D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平
带状区域内
ax+by+c=0
11．已知a,b,c成等差数列，若关于x,y的方程组 恰有2组解，则
ln(x−1)− y−1=0
a
A．ab<0 B．a>0 C．a+b>0 D． +1>0
b
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知曲线y=ex在x=0处的切线l与圆C : (x −1)2 + y2 = 4相交于A、B两点，则
|AB|=____________.
2
13．已知函数 f(x)=1+ 为奇函数，则实数a=____________.
ex −a
cosx
14．函数y= 的值域为____________.
5+4sinx
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知数列{a }的前n项和S =2a −2，n∈N∗.
n n n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）设b =log 2，数列{bb }的前n项和为T ，求证：T <1．
n an n n+1 n n
数学试题第 2 页 (共4页)16．(本小题满分15分)
如图，三棱柱ABC−ABC 中，平面BCC B ⊥平面AACC，BC= AC=2CC =2，
1 1 1 1 1 1 1 1
π
∠BCC= ，M 为AC的中点.
1 1 3
（1）证明：平面ABM ⊥平面AACC；
1 1 1
π
（2）若∠CAA = ，求直线AB与平面ABM 所成角的正弦值.
1 3 1
17．(本小题满分15分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量 X 服从参数为
λk
λ(λ＞0)的泊松分布（记作X π(λ)），则其概率分布为P(X =k)= e−λ，k∈N ，其
k!
中e为自然对数的底数.
（1）当λ≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当λ≥50时，泊松分布基本上就
等于正态分布，此时可认为X N(λ，λ).若X π(81)，求P(90＜X＜99)的值；
（2）设X B(n，p)，当 p≤0.05且n≥20时，二项分布可近似看成泊松分布，即
λk
p(X =k)=Ckpk(1− p)n−k ≈ e−λ，k∈N ，其中λ=E(X).
n
k!
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产
品中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得P(X =i)最大时的X值．
(参考数据：e−3 ≈0.05；若X N(µ，σ2)，则有P(µ−σ＜X＜µ+σ)≈0.6827，
P(µ−2σ＜X＜µ+2σ)≈0.9545，P(µ−3σ＜X＜µ+3σ)≈0.9973)
数学试题第 3 页 (共4页)18．(本小题满分17分)
抛物线C：x2 =2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上的一点M(2，m)
到焦点F 的距离为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点P，且BP⊥x轴.
（i)）证明：直线l过定点；
（ii）点Q为抛物线C的准线与y轴的交点，若△MAB的面积与△QAB的面积相等，求
直线l的方程.
19．(本小题满分17分)
已知函数 f(x)=(x−1)lnx+e(其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数 f(x)的单调区间；
1
（2）当x∈( ,1)时，证明： f(x)<−x+e+1；
e
1 1
（3）若 f(x)=b有两个不同的实数解x ,x ，且
