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2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题解析
第I卷 选择题（共9小题，每小题5分，共45分）
题1：集合运算
题目： 设集合 ，求 。
答案： C
解析：
首先计算交集： （因为只有元素1同时属于A和B）。
然后计算并集： 。
因此，结果为选项C。
关键点： 交集取公共元素，并集取所有不重复元素。
题2：充分必要条件
题目： 已知 ，判断“ ”是“ ”的什么条件。
答案： A（充分不必要条件）
解析：
充分性：若 ，则 必然成立（因为平方函数在正数区间单调递增），故充分性成立。
必要性：若 ，则 或 ，不一定推出 （例如 也满足），故必要性
不成立。因此，是充分不必要条件。
关键点： 充分性要求“前推后”成立，必要性要求“后推前”成立。
题3：函数图像识别
题目： 函数 的图像大致为（）。
答案： B
解析：
分析函数性质：
定义域为 ，且 ，故函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除选项A和C。
当 时， 而 ，因此 ，排除选项D（因为D在区间 (0,1) 上函
数值为正）。
因此，正确图像为B。
关键点： 利用奇偶性和区间符号快速排除错误选项。
题4：频率分布直方图应用
题目： 从400部影视作品中，根据频率分布直方图，求评分在区间 [82,86) 内的数量。答案： D（80）
解析：
直方图显示区间 [82,86) 的频率为 （组距为4）。
数量 = 总样本 × 频率 = 。
关键点： 频率 = 组面积，数量 = 总样本 × 频率。
题5：指数与对数大小比较
题目： 设 ，比较大小。
答案： D（ ）
解析：
，故 。
，故 。
（因为底数小于1，指数大于0）。
因此 。
关键点： 对数函数单调性：底数>1时递增，底数<1时递减；指数函数值域。
题6：球与圆锥的体积计算
题目： 两圆锥共底面且在球面上，球体积为 ，圆锥高比1:3，求体积和。
答案： B（ ）
解析：
球体积公式 → 。
设两圆锥高为 和 ，则 → ，故高分别为1和3。
利用相似三角形求底面半径 。
体积和 = 。
关键点： 球半径与圆锥高的关系，相似三角形求底面半径。
题7：指数方程与对数运算
题目： 若 ，求 。
答案： C（1）
解析：
由题： , 。则 。
关键点： 换底公式： 。
题8：双曲线与抛物线的离心率
题目： 双曲线与抛物线焦点重合，已知条件求离心率。
答案： A（ ）
解析：
公共焦点为 ，抛物线准线 。
代入双曲线方程求 ，代入渐近线求 。
由 得 ，结合 → 。
离心率 。
关键点： 焦点与准线性质，双曲线参数关系。
题9：函数零点问题
题目： 函数 在 内恰有6个零点，求参数 的取值范围。
答案： A（ ）
解析：
分段函数：当 时， ；当 时，
。
分析各部分零点个数：二次部分最多2个根，余弦部分需至少有4个根。
通过区间讨论（如 时根的范围与 的关系），结合二次函数判别式，得满足条件的 范围。
关键点： 分段讨论零点个数，利用三角函数周期性和二次函数性质。
第II卷 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
题10：复数运算
题目： 计算复数 。
答案：
解析：
分子分母同乘共轭复数：。
关键点： 复数除法需分母实数化。
题11：二项式展开系数
题目： 求 展开式中 的系数。
答案： 160
解析：
通项公式： 。
令 → 。
系数 = 。
关键点： 二项式通项公式，指数对齐求 。
题12：直线与圆的位置关系
题目： 斜率为 的直线与圆相切，求切线长 。
答案：
解析：
直线方程 ，圆心 ，半径1。
圆心到直线距离公式： → 或 。
取合理值（如 ），则 ，由勾股定理：
。
关键点： 切线垂直于半径，勾股定理求切线长。
题13：不等式最值
题目： 若 ，求 的最小值。
答案：
解析：
两次应用均值不等式：
。则原式 。
等号当 时成立。
关键点： 均值不等式链式应用。
题14：概率计算
题目： 甲、乙猜谜活动，求一次活动中甲获胜的概率及3次活动中甲至少获胜2次的概率。
答案： ；
解析：
一次活动：甲获胜即甲猜对且乙猜错，概率 = 。
三次活动：设获胜次数 ，则
。
关键点： 独立事件概率，二项分布模型。
题15：向量与几何应用
题目： 等边三角形中向量模长与最小值问题。
答案： 1；
解析：
设 ，通过几何关系得 （计算平方化简）。
，二次函数最小值在 时为 。
关键点： 向量模长平方化简，二次函数最值。
第II卷 解答题（共5小题，共75分）
题16：三角形边角关系
题目： 在 中，已知 ， ，求：
(I) 边 的值；
(II) 的值；
(III) 的值。答案：
(I) ；
(II) ；
(III)
解析：
(I) 正弦定理： ，由 得 。
(II) 余弦定理： 。
(III) 先求 ，再求 ， ，代入差角公式。
关键点： 正弦定理化边比，余弦定理求角，二倍角公式结合差角公式。
题17：立体几何证明与计算
题目： 正方体中证明平行、求线面角及二面角。
答案：
(I) 证明见解析；
(II) ；
(III)
解析：
建系计算向量：
(I) 求法向量 ，证 得平行。
(II) 线面角公式： 。
(III) 求平面法向量夹角正弦。
关键点： 空间向量法证明平行和求角。
题18：椭圆方程与直线方程
题目： 椭圆性质与切线方程。
答案：
(1) ；
(2)
解析：
(1) 由离心率和 得 ， ， 。(2) 设点 ，切线方程 ，通过垂直和平行条件解出 。
关键点： 椭圆切线方程形式，几何条件转化。
题19：数列与不等式证明
题目： 等差数列与等比数列的通项、等比数列证明及求和不等式。
答案：
(I) ， ；
(II) (i) 证明见解析；(ii) 证明见解析
解析：
(I) 等差数列求和求首项，等比数列公比求解。
(II)(i) 计算 ，证等比。
(II)(ii) 放缩后错位相减法证不等式。
关键点： 等差等比通项公式，错位相减求和。
题20：函数与导数综合
题目： 切线方程、极值点存在性及不等式恒成立。
答案：
(I) ；
(II) 证明见解析；
(III)
解析：
(I) 求导得斜率 ，点斜式得切线。
(II) 令 化为 ，证函数 与水平线唯一交点。
(III) 构造 ，求最小值得 范围。
关键点： 导数几何意义，零点存在性，参数分离求最值。
