1-8
CDAABAAD
9~11
ABD
AD
ABC
12.
40
13.
3
6
14.
1
(
, 1]
{ }
2
15. 已知
3π
3 cos2
2sin
sin π
2
f x
x
x
x
，xR .
（1）求
y
f x
的最小正周期和单调增区间；
（2）已知锐角
ABC
V
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
3
f
A
，
2
a
，
求BC 边上的高的最大值.
【答案】
（1）由已知
f x
π
3 cos2
2cos sin
3 cos2
sin 2
2sin
2
3
x
x
x
x
x
x
，
……………………2 分
最小正周期为
2π
π
2
T
.
…………………3 分
当
π
π
3π
2 π
2
2 π+
2
3
2
k
x
k
，k Z 时，即
7π
π
π
π
12
12
k
x
k
，k Z 时，函数
y
f x
单调递增，所以
y
f x
的单调增区间为
)
](
12
π
π
,
12
π
7
π
[
Z
k
k
k
……6 分
（2）由
3
f
A
得
π
3
sin
2
3
2
A
，而
π
0, 2
A
，故
π
2π π
2
,
3
3
3
A
，
π
π
2
3
3
A
，
3
π
A
……………………9 分
由余弦定理可知：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
，故
2
2
4
b
c
bc
.
设BC 边上的高为h ，所以有1
1
sin
2
2
ah
bc
A
，故
3
4
h
bc
.
………………11 分
而
2
2
2
b
c
bc
，故
2
2
4
2
b
c
bc
bc
bc
bc
，所以
4
bc
，当b
c
时，取等号.
所以
3
3
4
h
bc
，因此BC 边上的高的最大值3 .……………………13 分
16. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段
由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少
投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3 次，每次投中得5 分，未投中
得0 分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次
投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.
（1）若
0.5
p
，
0.6
q
，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0 分的情况下，求甲第一
阶段被淘汰的概率；
（2）若0
p
q
，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？
解：（1）记事件A “该队成绩为0 分”，事件B “甲第一阶段被淘汰”，则
3
0.5
P AB
，
3
3
3
181
0.5
1 0.5
0.4
1000
P A
，
……………………2 分
于是所求为
1000
1448
P AB
P B A
P A
= 181
125 …………………………………………………………5 分
（2）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 、Y 的所有可能取值为0，5，10，15，
则
3
3
3
0
1
1
1
1
P X
p
p
q
，
3
2
1
3
5
1
1
C
1
P X
p
q
q
，
3
2
2
3
10
1
1
C
1
P X
p
q
q
，
3
3
15
1
1
P X
p
q
，
……………………9 分
则
3
3
2
15 1
1
15
3
3
E X
p
q
p
p
p
q
，
同理有
3
2
15
3
3
E Y
q
q
q
p
，
…………………………11 分
所以
15
3
15
3
E X
E Y
pq p
q
p
q
pq p
q
p
q pq p
q
.
因为
0
p
q
，
3
1 1 3
0
p
q
，则
3
0
p
q pq p
q
，…………15 分
故应该由甲参加第一阶段比赛.
17. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=3，AB=AP，CD=2，∠CDA=45°.
（1）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长；
（2）是否存在线段AD 上一点E，使得E 到点P，B，C，D 的距离都相等？说明理由.
【答案】
（1）
（2）以A 为坐标原点，以
}
,
,
{
AP
AD
AB
为空间正交基底建立空间直角坐标系，设AB=t(0<t<3)
则
)
0,
2
3,
2
(
),
0,
3,0
(
),
,0,0
(
),
0,0,
(
),
0,0,0
(
t
C
t
D
t
P
t
B
A
)
,0,
(
t
t
PB
，
)
,
3,0
(
),
0,
2
,
2
(
t
t
PD
CD
，设平面PCD 的法向量为
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
m
，
则由
0
0
PD
m
CD
m
，不妨取
)
3,
,
(
t
t
t
m
，则
2
1
30
sin
,
cos
PB
m
PB
m
PB
m
，即
2
1
)
3
(
|
3
2
|
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
化简可得
0
9
18
5 2
t
t
，解得
5
3
t
，即
5
3
AB
…………………………………………10 分
（3）由（2）设
)
3
0
)(
0,
,0
(
s
s
E
,
)
0,
2
3,
2
(
),
0,
3,0
(
),
,0,0
(
),
0,0,
(
t
C
t
D
t
P
t
B
，则有
2
2
2
2
2
2
)
2
3
(
2
|,
3
|
,
t
s
EC
t
s
ED
t
s
EP
EB
所以
2
2
2
2
)
3
2
(
2
|
3
|
t
s
t
s
t
s
，…………………………………………11 分
解得
2
3
2
2
2
s
t
s
t
，………………………………………………………………………13 分
消去t，有
0
2
6
9
)
2
3
(
2
2 2
s
s
，此方程的判别式
0
)
2
6
9
(
8
)
2
3
(
4
2
，
记函数
0
)
2
2
3
(
,0
)
0
(
,
2
6
9
)
2
3
(
2
2
)
(
2
f
f
s
s
s
f
，可
0
)
(
),
2
2
3
,0
(
s
f
s
所以存在点E 使得E 到点P，B，C，D 的距离都相等………………15 分
18.
所以
12
1
3
1
6
2
4
)
(
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
t
t
y
y
y
y
y
y
S ABC
，解得
3
7
t
或
0
t
所以直线BC 的直线方程为
0
6
7
3
y
x
或
2
x
…………………………8 分
设
)
,
(
0
0 y
x
T
由
GQ
PT
TQ
GP
，
|
|
|
|
TQ
TP
GQ
GP
，
又因为
13
2
2
TF
TD
，可得
所以不存在T 使之成立.…………………………………………………………17 分
19.（1）当
2
a
时，可得
( )
e
sin
2
x
f x
x
x
，可得
( )
e
cos
2
x
f
x
x
，……1 分
令( )
e
cos
2
x
g x
x
，可得
( )
e
sin
x
g x
x
，
当
0
x
时，e
1,cos
1
x
x
，可得( )
e
cos
2
0
x
g x
x
，
即
( )
0
f
x
，
f x 单调递减；
…………………………2 分
当
0
x
时，e
1, sin
1
x
x
，所以
( )
e
sin
0
x
g x
x
，
g x 单调递增，
则
0
0
e
cos0
2
0
g x
g
，即
( )
0
f
x
，
f x 单调递增，
所以函数
f x 的单调递减区间为(
,0)
，单调递增区间为[0,
)
.………………4 分
（2）解：令
( )
cos
e
sin
cos ,
[0,
)
x
h x
f x
x
x
ax
x x
，
可得
e
cos
sin
x
h x
x
a
x
，令
e
cos
sin
x
m x
h x
x
a
x
，
则
π
e
sin
cos
e
2 cos(
)
4
x
x
m x
x
x
x
，
当
π
0
4
x
时，
π
4
1
e
e
x
，
π
π
0
4
2
x
，
π
2
0
cos
4
2
x
，故
0
m x
，
…………………………5 分
当
π
4
x
时，
π
π
1
4
4
2
e
e
2
2
2
x
，
π
2
2 cos
2
4
x
，故
0
m x
，
所以当
[0,
)
x
时，可得
0
m x
，
m x 单调递增，即
h x
单调递增，
0
2
h
a
，
…………………………6 分
当
2
a
时，
0
0
h
，则
0
0
h x
h
，
h x 在
[0,
)
x
上单调递增，
所以
0
0
h x
h
，所以
( )
cos
f x
x
成立，满足题意；…………………………7 分
当
2
a
时，存在
0
(0,
)
x
，使得
0
0
h x
，
当
0
[0,
)
x
x
时，
0
h x
，
h x 单调递减；
当
0
(
,
)
x
x
时，
0
h x
，
h x 单调递增，
当
0
0,
x
x
时，
0
0
h x
h
，不满足题意，
综上可得，实数a 的取值范围为(
,2]
.………………………………9 分
（3）当
1
a
时，
( )
e
sin
x
f x
x
x
，可得
( )
e
cos
1
x
f
x
x
，
设
1
e
cos
1
x
f
x
f
x
x
，可得
1
e
sin
x
f
x
x
，
设
2
1
e
sin
x
f
x
f
x
x
，可得
2
e
cos
x
f
x
x
，
设
3
2
e
cos
x
f
x
f
x
x
，可得
3
e
sin
x
f
x
x
，
当
[ 2π, π)
x
时，e
si
0, n
0
x
x
，可得
3
e
sin
0
x
f
x
x
，
则
3f
x 在
[ 2π, π)
x
上单调递增，
…………………………10 分
因为
2π
π
3
3
2π
e
1 0,
π
e
1 0
f
f
，
所以存在唯一
0
( 2π, π)
x
，使得
3
0
0
f
x
，
可得
2f
x 在
0
( 2π,
)
x
上单调递减，在
0
(
, π)
x
上单调递增，……………………11 分
3π
2π
π
2
2
2
2
3π
2π
e
0,
e
1
0,
π
e
0
2
f
f
f
，
所以存在唯一的
3π
3π
( 2π,
),
(
, π)
2
2
，使得e
sin ,e
sin
，
且
1f
x 在( 2π, )
上单调递增，在( , )
上单调递减，在( , π)
上单调递增，
………………………………12 分
由
2π
1
2π
e
>0
f
，
π
1
π
e
2
0
f
，
3π
2
1
3π
(
)
e
1
0
2
f
，
又由
1
π
e
cos
1
sin
cos
1
2 sin
1
4
f
1
π
( )
e
cos
1
sin
cos
1
2 sin(
) 1
4
f
，
因为
3π
( 2π,
)
2
，
3π
(
, π)
2
，可得
π
7π
5π
(
,
)
4
4
4
，
π
5π
3π
(
,
)
4
4
4
，
可得
π
2 sin
1
4
，
π
2 sin
1
4
，所以
1
1
0,
0
f
f
，
则存在唯一
1
3π
( 2π,
)
2
x
，使得
0
f
x
，
且
f x 在
1
( 2π,
)
x
上单调递增，在
1
( , π)
x
上单调递减，
…………13 分
当
( π,0)
x
时，e
0,sin
0
x
x
，
1 ( )
0
f
x
，则
f
x
在( π,0)
上单调递增，
则
π
2
π
0
1
0,
e
1
0
2
f
f
，则存在唯一
2
π
(
,0)
2
x
，使得
2
0
f
x
，
当
2
π
x
x
时，
0
f
x
，当
2
0
x
x
时，
0
f
x
，
当
0
x
时，
1,sin
1
ex
x
，可得
1 ( )
0
f
x
，
f
x
在
0,上单调递增，
0
1
0
f
，
0
f
x
，
综上可得，函数
f
x
在
1
( 2π,
)
x
上单调递增，在
1
2
( ,
)
x x
上单调递减，在
2
(
,
)
x 上单调
递增，
…………………………………………………………15 分
要使得y
m
与
( )
y
f x
的图像有三个交点，
则
1
2
3
3π
3π
π
π
( 2π,
),
(
,
),
(
,
)
2
2
2
2
x
x
x
，
2π
π
2π
e
2π,
π
e
π
2π
f
f
f
，则
2
3π
(
, π)
2
x
，
又因为
0
1
2π
f
f
，则
3
(0,
)
x
，则
1
3
2
2π
2
x
x
x
，
所以
1
3
2
2x
x
x
，得证.…………………………………………………………17 分
