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重庆市2026 届高考模拟调研卷（三）
数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
B
A
B
B
D
C
1 题【
—解析】
2,3,5,7,11,13,17,19
U
，
{3 7 13 19}
U A
，，，
ð
．
2 题【
—解析】折线图更能体现变化趋势．
3 题【
—解析】
2
2
lg
log
2lg
(log
2)lg
0
x
x
x
x
x
2
log
2
x
或lg
0
x
，即
4
x
或
1
x
．
4 题【
—解析】直线l 与函数
1
y
x
相切即直线l 是函数的切线，显然只有一个公共点，如直线
1
x
与
函数
1
y
x
只有一个公共点，但直线
1
x
不与
1
y
x
函数相切．
5 题【
—解析】圆心角为π
2
的扇形OAB 绕着OA 旋转一周得到几何体为一个半径为r 的半球，故几
何体的体积为
3
3
1
4
2
π
π
18π
2
3
3
V
r
r
，解得
3
r
．
6 题【
—解析】由
2
A
B
，则有sin
sin 2
A
B
，即sin
2sin
cos
A
B
B
，即
2 cos
a
b
B
，若
2
a
b
，
则cos
1
B
，显然不成立，A 错；由
2 cos
a
b
B
有，
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
2
a
c
b
a
b
a c
b
b c
b
ac
，
若b
c
，有
2
2
a
b
bc
，若b
c
，则有
ABC
△
是等腰直角三角形，
2
2
a
b
bc
成立，B 正确；
由A
B
C
，
2
A
B
得
3
C
B
，所以cos
cos3
C
B
．C 错误；
sin
sin
sin
sin3
2sin 2
cos
2sin
cos
B
C
B
B
B
B
A
B
，因为
π
(0,
)
3
B
，则
1
cos
( ,1)
2
B
，
所以sin
sin
sin
B
C
A
，D 错误．
7 题【
—解析】不妨设
1
i
z
a
b
（,a b 不同时为零），2
i
z
c
d
（,c d 不同时为零），则
1
( , )
OZ
a b
，
2
( , )
OZ
c d
，由条件
2
2
1
2
0
z
z
有
2
2
2
2
a
c
b
d
ab
cd
，若
0
a
，则有
0
d
，所以两复数一个
在实轴上，一个在虚轴上，所以
1
2
OZ
OZ
；若
0
a
，则有
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
a
a
c
d
a
c
，显然
2
2
0
a
c
，则
2
2
a
d
，若a
d
，则有b
c
，所以
0
ac
bd
，有
1
2
OZ
OZ
，若a
d
，
则有b
c
，所以
0
ac
bd
，即
1
2
OZ
OZ
，所以
1
2
OZ Z
△
为直角三角形．
8 题【
—解析】
2
4
2
4
4
6
( )
sin
cos
(1 cos
)cos
cos
cos
f x
x
x
x
x
x
x
，令
2
cos
t
x
，则
[0,1]
t
，
2
3
( )
f t
t
t
，则
2
( )
2
3
f t
t
t
，所以
( )
f t 在
2
(0, )
3
t
上单调递增，在2
( ,1)
3
上单调递减，
所以
2
3
max
2
2
2
4
( )
( )
( )
( )
3
3
3
27
f
t
f
．
9
10
11
BC
ABD
BCD
9 题【
—解析】设幂函数
( )
y
f x
x
（为实数），则
4
16
2
2
，解得
1
4
1
( )
4
f x
x
；
故
( )
f x 在定义域[0,
)
上单调递增，不具有奇偶性，故A 错误、B 正确；
函数
4
1
( )
f x
x
是定义域[0,
)
上的凸函数，故
1
2
1
2
(
)
(
)
2
2
f x
f x
x
x
f
成立，故C 正确、D
第2 页共6 页
错误．
10 题【
—解析】抛物线
2
4
y
x
的焦点为
(1,0)
F
；设直线
:
1
AB x
my
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
联立方程
2
1
4
x
my
y
x
，消去x 可得
2
4
4
0
y
my
，故
1
2
1
2
,
4
4
y
y
m y y
；
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
)
16
(
y
x
y
y y
x
，故
1
2
1
2
1 4
3
OA OB
y y
x x
为定值，故A 正确；
令
1
2
( 1,
),
( 1,
)
C
y
D
y
，故
1
2
( 2,
),
( 2,
)
FC
y
FD
y
，故
1
2
4
0
FC FD
y y
，故以CD 为
直径的圆经过焦点F ，B 正确；
又AB
AF
BF
AC
BD
，故以AB 为直径的圆的圆心到准线的距离
1
2
2
AC
BD
d
AB
，故以AB 为直径的圆与准线相切，故
90
APB
，故C 错误；
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
16
16
4
1
y
y
y
y
y y
m
m
，
故
2
2
1
2
1
1
1 4
1
2
1
2
2
2
OAB
S
OF
y
y
m
m
△
，当且仅当
0
m
时等号成立，
所以
OAB
△
面积的最小值为2，故D 正确．
11 题【
—解析】以D 为原点建立空间直角坐标系D
xyz
：
1
(1,0,0), (1,1,0),
(0,1,0),
(0,0,2)
A
B
C
D
；
则
1
(
,
,2 )
(
,1
,2 ),
(1
,
,2 )
BP
BD
AP
CP
；
当
1
2
时，
1
1
1 1
,
, 1 ,
,
, 1
2
2
2 2
PA
PC
，故
1
cos
0
3
APC
，故A 错误；
若
1
BD ⊥平面APC ，则
1
1
,
BD
AP BD
CP
，故
1
1
0
BD
AP
BD CP
，解得
1
6
，故B
正确；
因为
|
|
AP
PC
，只须求AP 的最小值：AP 取最小值时
1
AP
BD
，此时由选项B 知
1
6
，
故C 正确；
取平面ACP 的法向量
(2 ,2 ,2
1)
n
，故顶点B 到平面APC 的距离
2
2
2
1
12
4
1
1
1
2
2
4
AB n
d
n
，故当1
1
2
0
2
时，距离取得最大值，
故D 正确．
12
13
14
16
5
3
3
x
x
11
5
第3 页共6 页
12 题【
—解析】因为//
a b ，所以30
16 6
x
16
5
x
．
13 题【
—解析】由
(
1)
(1
)
0
f x
f
x
得
( )
f x 为奇函数，( )
f x 在( 1,1)
上单调递减，在(1,
)
上单调递增，则
( )
f x 在(
, 1)
上单调递增，则可取
3
( )
3
f x
x
x
．
14 题【
—解析】如图建立直角坐标系，
(0,0)
B
，
(2,0)
C
，
(0,2)
A
，
(0,1)
E
，
(2,2)
D
，
则直线ED 为
1
1
2
y
x
，联立
2
2
1
1
2
4
y
x
x
y
，解得
6 8
( , )
5 5
F
，
所以
1
6
1
8
11
1
2
2
5
2
5
5
BCFE
BEF
BCF
S
S
S
．
四、解答题：
15．（13 分）
解：（1）假设{
}
na
是常数列，有
1(
2)
n
n
a
a
n
，则
3
4
n
n
a
a
，
整理得
2
3
4
0
n
n
a
a
，解得
4
na
，或
1
na （舍），
经验证成立，所以数列{
}
na
可以是常数列，
4
na
．……………………6 分
（2）当
2
n
时，当
4
na
时，
1
3
|
4 | 0
|
4 |
4
n
n
a
a
，
当
4
na
时，
1
1
1
1
| ( 3
4
4)( 3
4
4) |
|
4 | |
3
4
4 |
3
4
4
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
1
1
1
3|
4 |
3 |
4 |
4
3
4
4
n
n
n
a
a
a
，
综上，
1
3
|
4 |
|
4 |
4
n
n
a
a
．
……………………13 分
16．（15 分）
解：（1）抽出3 张彩票奖金总额不高于700 的情况有三种，3 张彩票都是三等奖，2 张三等奖彩票加1 张二等奖
彩票或1 张一等奖彩票，1 张三等奖彩票加2 张二等奖彩票，
故所求概率为
2
1
7
7
5
1
7
2
3
2
3
1
3
220
161
C C
C C
C
P
C
．……………………5 分
（2）X 可能的取值为0，1，2．
3
10
3
12
C
6
0
C
11
P X
，
2
1
10
2
3
12
C C
90
9
1
C
220
22
P X
，
1
2
10
2
3
12
C C
10
1
2
C
220
22
P X
．………………12 分
故X 的分布列为
X
0
1
2
P
6
11
9
22
1
22
故
6
9
1
1
(
)
0
1
2
11
22
22
2
E X
．……………………15 分
17．（15 分）
解：（1）连接BD ，因为
2
BC
CD
，
60
BCD
，
D
E
B
C
A
F
x
y
第4 页共6 页
所以
BCD
△
是等边三角形，所以
2
BD
，
因为
//
AB CD ，所以
60
ABD
BDC
，
所以在
ABD
△
中，
1
4
2 1 2 cos60
3
AD
，
所以
2
2
2
BD
AB
AD
，所以AD
AB
，
因为
2
2
2
PD
PA
AD
，所以AD
PA
，因为PA
AB
A
，所以AD 平面PAB ，………5 分
（2）因为AD 平面PAB ，所以
PAB
是二面角P
AD
C
的平面角，
则
2
2
2
1 1 3
1
cos
2
2
2
PA
AB
PB
PAB
PA AB
，所以
2π
3
PAB
，
所以二面角P
AD
C
为2π
3
．……………………10 分
（3）取PD ，BD 中点
1
O ，2
O ，因为
PAD
△
，ABD
△
均为直角三角形，所以
1
O ，2
O 分别是
PAD
△
，ABD
△
的外接圆的圆心，过
1
O ，
2
O 分别作平面PAD 和平面ABD 的垂线，交于点O ，即为三棱锥P
ABD
外
接球的球心，取AD 中点M ，连接
1
O M ，
2
O M ，
1
O O ，
2
O O ，如图
1
1
2
O M
，
2
1
2
O M
，
1
2
120
O MO
，
在
1
2
MO O
△
中，
2
2
1
2
1
1
1
1
1
3
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
O O
，
1
2
MO O
△
外接圆的直径
1
2
1
sin120
O O
，所以
1
OM
，
所以
2
2
2
7
4
OD
OM
MD
，
2
4π
7π
S
OD
，
所以三棱锥P
ABD
外接球的表面积为7π ．……………………15 分
18．（17 分）
解：（1）
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
c
a
b
a
b
c
，所以
2
2
4
3
a
b
，
，椭圆
2
2
1
4
3
C
y
x
：
.……………………4 分
（2）设
(
0)
l
y
kx
m k
：
，
1
1
2
2
(
)
(
)
A x
y
B x
y
，
，
，
，
联立
2
2
2
2
2
(3
4
)
8
4
12
0
3
4
12
y
kx
m
k
x
kmx
m
x
y
，
2
2
48(4
3)
0
k
m
，所以
2
2
4
3
m
k
……①，
2
1
2
1
2
2
2
8
4
12
3
4
3
4
km
m
x
x
x x
k
k
，
，
………………6 分
第5 页共6 页
所以
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
AF
BF
y
y
kx
m
kx
m
k
k
k
x
x
x
x
，化简得
1
2
(
)(
2)
0
m
k
x
x
，
因为l 不过
1( 1,0)
F
，所以m
k
，所以
1
2
2
x
x
，即
2
8
2
3
4
km
k
，所以
2
4
3
4
k
m
k
……②，
②代入①得：
2
2
2
2
2
(4
3)
1
4
3
16
4
k
k
k
k
，解得
1
1
,
,
2
2
k
.……………………10 分
（3）设
0
0
(
,
)
P x y
，切线1
1
0
0
:
(
)
l
y
k x
x
y
，联立
2
2
1
4
3
y
x
可得：
2
2
2
1
1
0
1
0
0
1
0
(3
4
)
8 (
)
4(
)
12
0
k
x
k y
k x x
y
k x
，
0
，得
0
1
0
3
4
x
k
y
；
所以
0
0
4
3
y
k
x
，则l
y
kx
：
，设
1
1
2
2
(
)
(
)
A x
y
B x
y
，
，
，
，
联立
2
2
2
2
(3
4
)
12
3
4
12
y
kx
k
x
x
y
，
所以
2
2
1
2
2
4 3 1
|
|
1
|
|
3
4
k
AB
k
x
x
k
，又因为
0
0
2
|
|
1
P l
kx
y
d
k
，
所以
0
0
2
2 3 |
|
1 |
|
2
3
4
ABP
P l
kx
y
S
AB d
k
△
，因为
0
0
4
3
y
k
x
，
所以
0
2
0
2
2
2
0
0
0
2 3 |
|
2 3
3
64
64
3
3 3
9
9
ABP
y
S
y
y
x
x
△
，
……………………15 分
因为
2
2
0
0
1
4
3
x
y
，所以
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
3
64
3
64
25
49
9
4
3
9
4
27
9
x
y
x
y
y
x
y
x
，
所以
2 3
7
ABP
S△
………………16 分
当且仅当
2
2
0
0
16
9
7
7
x
y
，
时取等. ……………………17 分
19．（17 分）
解：（1）令( )
( )
( )
ln(1
)
ln(1
) 1
1
1
1
x
h x
f x
g x
x
x
x
x
，
则( )
h x 的定义域为( 1
)
，
，且
2
2
1
( )
1
(1
)
(
)
1
1
h x
x
x
x
x
；
当
( 1 0)
x，时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递减；当
(0
)
x
，
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递增；
故
min( )
(0)
0
h
x
h
，故( )
h x 只有1 个零点，即曲线
( )
y
f x
与
( )
y
g x
的公共点个数为1．
……………………4 分
（2）①
2
2
2
( )
[ ( )]
( )
ln (1
)
1
x
x
f x
xg x
x
x
的定义域为( 1
)
，
，求导得：
第6 页共6 页
2
2
2
2
2ln(1
)
2
2(1
)ln(1
)
2
( )
1
(1
)
(1
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
令
2
( )
2(1
)ln(1
)
2
x
x
x
x
x
，则
( )
2ln(1
)
2
x
x
x
，
2
2
( )
2
1
1
x
x
x
x
；
当
( 1 0)
x，时，
( )
0
x
，
( )x
单调递增；当
(0
)
x
，
时，
( )
0
x
，
( )x
单调递减；
故
( )
(0)
0
x
恒成立，故( )x
在定义域( 1
)
，
上单调递减；
故当
( 1 0)
x，时，( )
(0
( )
0
)
0
x
x
；当
(0
)
x
，
时，( )
(0
( )
0
)
0
x
x
；
故( )x
的单调增区间为( 1 0)
，，单调减区间为(0
)
，
．
……………………10 分
②两边取对数，得：1
ln(1
)
1
a
x
x
对任意的
(0 1]
x
，都成立；
参数分离：
1
1
(0 1]
ln(1
)
x
x
x
a
，
，都成立；
令
1
1
( )
(0 1]
ln(1
)
G x
x
x
x
，
，，则
2
2
2
2
2
1
1
(1
)ln (1
)
( )
(1
)ln (1
)
(1
)ln(1
)
x
x
x
G x
x
x
x
x
x
x
；
由①知：当
(0 1]
x
，时，( )x
单调递减，故
2
2
ln (1
)
(0)
0
( )
1
x
x
x
x
，
即
2
2
(1
)ln (1
)
0
( )
0
x
x
x
G x
，故
( )
G x 在(0 1]
，上单调递减，故
min
1
( )
(1)
1
ln 2
G
x
G
；
故a 的最大值为1
1
ln 2 ．
……………………17 分
