重庆市第八中学2026届高考适应性月考卷（六）数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260323重庆市第八中学2026届高考适应性月考卷（六）（全科）

数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A C C B D D
公众号：青禾试卷
【解析】
1．在阴影部分区域中任取一个元素x，则xð A且xB，或x[ð (A∩B)]且xB，所以图
U U
中阴影部分可表示为(ð A)∩B或[ð (A∩B)]∩B，故选A．
U U
2．∵等比数列{a }的前n项和为S ，S 4，S 12，由等比数列的性质得：S ，S S ，
n n 4 8 4 8 4
S S S S S S
S S ，S S 成等比数列. 又S 4，S S 8，∴ 8 4  12 8  16 12  2，
12 8 16 12 4 8 4 S S S S S
4 8 4 12 8
S S a a a a  32，故选B．
16 12 13 14 15 16
             
3．由向量a，b为单位向量，又ab，知ab 0，|a||b|1. 因为ca2b，则|c||a2b|
       
        b c b (a2b) 2b 2 ab
 (a2b)2  a24b24a b  5， 所 以 cosb，c        
|b||c| |b||c| |b||c|
2 2 5     5   1
  . 又b，c[0，π]，得sinb，c ，则tanb，c ，故选A．
| 5| 5 5 2
4．在△ABC中，AB AC，所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”
为 △ABC 边 BC 的 中 垂 线 AD ， 因 为 B(3，1) ， C(1，3) ， 所 以
D(1，1) .∵k 1，∴k 1，故l ： x y0 ，又“欧拉线”与圆 E:(xa4)2 
BC AD AD
|a4a|
(ya)2 r2相切，所以圆心(a4，a)到“欧拉线”的距离为 r2 2，故选C．
2
5．注意样本点(3，11)恰好在回归直线上，去掉这个样本点，x与y的样本相关系数r不变，
公众号：青禾试卷
故选C．
1
1  9 2
6．当t 0时，v0，即01m，所以m1，v1nt. 又 1n2，所以n

，所
10 10
t t
 9 2  9 2 2(1lg2) 21.3
以v1  . 令1  95%，解得t    65，故选B．
10 10 12lg3 120.48
数学参考答案·第1页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷7．记6个格子中染蓝色的格子数为X . 当X 6时，共有1种染色方法；当X 5时，共有C5 6
6
种；当X 4时，共有C4 2(C2 1)3C2 8种，当X 3时，共有2种，共17种，故选
6 3 2
D．
π3A π A π
8．因为C B2A，ABC  π，所以B ，C  ，且0 A . 由正弦定理
2 2 3
a b c c ab c 3
得   ，所以  . 因为ab3，所以  ，
sinA sinB sinC sinC sinAsinB sinC sinAsinB
π公众A号：青禾试卷 A
3sin 3cos
所 以 c 3sinC  2  2 . 因 为 cos 3A cos   A  A  
sinAsinB π3A 3A 2 2 
sin sin A cos sin A
2 2
A A A A A A A A
cos cosAsin sinAcos cosA2sin2 cos ， sinA2sin cos ， cos 
2 2 2 2 2 2 2 2
A A
3cos 3cos
  3 ，1   ， 所 以 c 2  2 
  2   cos 3A sinA cos A cosA2sin2 A cos A 2sin A cos A
2 2 2 2 2 2
3 3 A  1 3
 .令t sin ，则t0，  ，c
A A A A 2  2 4t2 2t1
cosA2sin2 2sin 14sin2 2sin
2 2 2 2
3 12 1 A 1 12
 ≥ ，当且仅当t  ，即sin  时，等号成立，所以c的最小值为 ，
 1 2 5 5 4 2 4 5
4t  
 4 4
故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ACD
【解析】
公众号：青禾试卷
1 1 1 2
9．随机事件A，B，C满足P(A) ，P(B) ，P(C) ，P(A∪B) . 对于A，由概率
3 2 3 3
2 1 1 1
加法公式得   P(AB) ，解得 P(AB)P(A)P(B) ，故 A 正确；对于 B，
3 3 2 6
P(AB) 1 P(AB) 1
P(A|B)  ，P(B|A)  ，故 B 错误；对于 C，因为P(C)P(AC)
P(B) 3 P(A) 2
数学参考答案·第2页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷1 1 1
P(AC) ，又P(AC)P(AC)，故P(AC)P(AC) ，所以P(A|C) ，故C正确；
3 6 2
对于 D，因为 P(C)P(AC)P(AC) ，所以 P(AC)P(C)P(AC) . 因为 P(C|A)
2 P(AC) P(AC) 2 3 2
P(C|A) ，所以由条件概率公式得   ，可得3P(AC) P(AC) ，
3 1 2 3 2 3
3 3
3 1 2 1
则3P(AC) [ P(AC)] ，解得P(AC) ，故D正确，故选ACD．
2 3 3 9
10．如图1，在正方体ABCDABCD 公中众号，：由青禾 A 试 B 卷CD ，AB∥CD ，
1 1 1 1 1 1 1 1
得四边形ABCD 为平行四边形，可得BC∥AD ，∴B AD 为
1 1 1 1 1 1
π
异面直线AB 与BC 所成的角，B AD  ，故A错误；由已
1 1 1 1 3
知可得， AC 2 3，由正方体的结构特征可知， AC  平面
1 1
图1
1 2
ABD ， 设 垂 足 为 G ， AG AC  3 ， 点 P 在 △ABD 内 且 AP 2 ，
1 1 1 3 1 3 1 1 1
4 6
∴PG 2  ，故AP与平面ABD 所成的线面角的正切值为 2，故B正确；而
3 3 1 1 1
6 2 6
正三角形ABD 内切圆的半径为 ，则P的轨迹是△ABD 的内切圆，其周长为 π，
1 1 3 1 1 3
故C正确；设O为正方体下底面中心，则OO 平面ABCD，当P为△ABD 的内切圆与
1 1 1
AO 的交点 E 时，点 P 到平面 ABCD 距离取得最小值，设 EF  平面 ABCD ，
1
2 6 AE 1 EF
∵AO  (2 2)2( 2)2  6 ， 内 切 圆 直 径 为 ， 可 得   ， 则
1 3 AO 3 OO
1 1
1 2
EF  OO  ，当P为BD 的中点O 时，点P到平面 ABCD距离取得最大值2，故D
3 1 3 1 1 1
正确，故选BCD．
11．如图2，由题可知，F 发出的光线公众经号： l 青反禾射试卷后，反射光线的
1
反向延长线经过点F ，所以FPH MPN F PH ，所
2 1 2
以切线l 平分FPF ，故 A 正确；由选项 A，切线l 平分
1 2
FPF ，且FH PH ，故△FPQ为等腰三角形，且H 是
1 2 1 1
底边FQ的中点，即|FH ||QH |，且H 是底边FQ的中点，
1 1 1
图2
数学参考答案·第3页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷1
又O为FF 的中点，所以|OH | |QF |．由双曲线定义可知，|PF ||PF |6，由△FPQ
1 2 2 2 1 2 1
1
为等腰三角形可知，|PF ||PQ|，因此|PQ||PF ||QF |6，所以|OH | |QF |3，
1 2 2 2 2
故B错误；由|QF |6，当P点趋近于A点时，Q点的横坐标趋近于5611，当P点
2
4
趋近于无穷远时，PF 的斜率趋近于渐近线的斜率 ，此时Q点的横坐标趋近于
2 3
56
3

7 ，故Q点横坐标的取值公众范号：围青为禾试

卷7
，11

 ，C选项正确；由于两个点以相同速度
5 5 5 
同时出发，故其运动的路程相等，记为S ,不妨设M 在右支上的反射点为T ，则有
|MF ||MT ||TF |S|TF ||TF |S 6 ，同理|NF |S 6，故M ，N始终同在以F
2 2 1 2 2 2
为圆心的圆上，D选项正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
 1   1
答案 300 2   ，0 ∪ 0， 
 e   e
【解析】
12．因为 X ~ N(100，2) ，且 P(80≤X≤100)0.35 ，所以 P(80≤X≤120)0.7， 所以
1 1
P(X≥120) [1P(80≤x≤120)] (10.7)0.15 ，所以估计学生数学成绩在120分
2 2
以上的人数为20000.15300人．
ab 2
13 ． log (a2 b2 1)log ab ， ∴a2 b2 1ab， ∴(ab)2 3ab1≤3  1，
4 2  2 
(ab)2
∴ ≤1，ab≤2，当且仅当ab1时取等号，所以ab的最大值是2．
4
1 1 1
14．易知x0，方程x(eaxeax)x21eax x . 设 f(x)x (x0)，则 f(eax)
公众号：青禾试卷
eax x x
1
 f(x). 且 f(x) 在(0，1)上单调递减，在(1，) 上单调递增，且 f(x) f  . 所以
x
1 lnx lnx lnx lnx
eax x或eax  ，所以a 或a ，在同一个坐标系中画出y 和y
x x x x x
 1   1
的图象，可知a

 ，0 ∪ 0，

时符合题意.
 e   e
数学参考答案·第4页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）∵函数 f(x)的最小正周期为π，
 π
∴2， f(x)2sin2x . …………………………………………（2分）
 6
6  π 6  π 3
由 f() ，即2sin2  ，则sin2  .
5  6 5  6 5
∵   π ， π  ，∴2 π   0， π公  众，号：∴青禾 c 试 o 卷 s  2 π  4 ， …………………（4分）
12 3 6  2  6 5
 π  4 π  π  π  3 10
∴2cos2  1 ，由 0，  ，∴cos  .
 12 5 12  4  12 10
………………………………………………………（6分）
 π
（2）由（1）知， f(x)2sin2x  ，
 6
π  π
其图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数为y2sin2x

，再向上平移1个单
12  3
 π
位得到的图象对应函数为y2sin2x 1，
 3
 π
即g(x)2sin2x 1. ……………………………………………（9分）
 3
 π π π  2π π
当x  ， 时，2x   ， ，
   
 6 3 3  3 3
π  2π π  2π π  π π
令t 2x ，t  ， ，则ysint在区间  ， 上单调递减，在区间  ，
     
3  3 3  3 2  2 3
上单调递增，
 π π  π 3  π
∴sin  ≤sint≤sin ，即1≤sin2x  ≤ ，∴1≤2sin2x 1≤1 3 .
 2 3  3 2  3
 π π
故函数yg(x)在

 ，

上的值公众域号为：青[禾试1，卷1 3]. ……………………………（13分）
 6 3
16．（本小题满分15分）
b2 3 1
解：（1）由e2 1  ，得b2  a2.
a2 4 4
1
又点  2， 1  在椭圆C，所以 4  4 1，
 2 a2 b2
数学参考答案·第5页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷5
解得a2 5，b2  ， …………………………………………………（3分）
4
x2 y2
故椭圆C的标准方程为  1. …………………………………（4分）
5 5
4
1
圆M 的标准方程为(x1)2  y2  . …………………………………（5分）
2
（2）设P(x，y )，Q(x，y )，中点N(x，y )，
1 1 2 2 0 0
公众号：青禾试卷
x2 4y2 x2 4y2 (x x )(x x ) 4(y y )(y  y )
则有 1  1 1， 2  2 1，两式作差得： 1 2 1 2  1 2 1 2  0.
5 5 5 5 5 5
y y
又x x 2x，y  y 2y ，k  1 2 代入化简得x 4ky 0.
1 2 0 1 2 0 x x 0 0
1 2
………………………………………………………………（9分）
1
N(x，y )在圆M 上，所以(x 1)2  y2  ①， ………………………（10分）
0 0 0 0 2
   
又ON MN ，ON (x，y )，MN (x 1，y )，
0 0 0 0
所以x (x 1) y2 0②， …………………………………………………（11分）
0 0 0
1 1
由①、②解得x  ，y  ， ……………………………………………（12分）
0 2 0 2
1 1 1 1
将中点N ，  代入椭圆方程  1，
2 2 20 5
所以存在满足条件的点N. ……………………………………………（13分）
1 1 1
中点N ，  代入x 4ky 0，可得k  ， ……………………………（14分）
2 2 0 0 4
1
又因为k 0，所以k  . ……………………………………………（15分）
4
公众号：青禾试卷
17．（本小题满分15分）
解：（1）因为a2， f(x)2x3 2x2， f(x)6x2 4x，
则 f(1)0， f(1)2．
故点(1，0)处的切线方程为y2(x1)，
即2x y20． …………………………………………………（4分）
数学参考答案·第6页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷（2） f(x)6x2 2ax(a0)，
 a a a 
x (，0) 0 0，   ，
 3 3 3 
f(x)  0  0 
a
f(x) 递减 0 递增 f   递减
3
 a a 
所以 f(x)的单调增区间是 0，

公，众单号：调青禾减试卷区间是(，0)和

，.
 3 3 
…………………………………………………………………（6分）
a  a a 
由 f(0) f  0知，当x0，  时， f(x)0，当x ， 时， f(x)0．
2  2 2 
因为对于任意的x (3，)，总存在x (2，)，使得 f(x ) f(x )2，
1 2 1 2
a
当 f(x )0时，不成立，故 f(x )0，所以 ≤3，所以a≤6. ………………（8分）
1 1 2
 2 
设A{f(x)|x(3，)}，B x(2，)，f (x)0，问题转化为AB．
 f(x) 
…………………………………………………………………（9分）
下面分两种情况讨论：
a
情形一：当 2，即a4时，有 f(2)0， f(x)在(2，)上单调递减，
2
 2 
故B ，0 ，A(，f(3))，所以AB，不符合题意；
 f(2) 
………………………………………………………………（12分）
a
情形二：当 2≤ ≤3，即 4≤a≤6 时，有 f(3)≤0， f(x) 在(3，) 上单调递减，故
2
A(，f(3))．
公众号：青禾试卷
4 a a 
由 4≤a≤6 ，得 ≤ ≤2 ，又 f(x) 在  ， 上递减，可知当 x(2，) 时，
3 3 3 
f(x)(，f(2))．
2  2 
当 f(x)(，f(2))时， (，0) ， ，
f(x)  f(2) 
数学参考答案·第7页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷 2 
因此有B(，0) ， ，所以AB，满足题意．
 f(2) 
综上，a的取值范围为[4，6]． ……………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
（1）解：若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时，
1
球面三角形ABC面积为整个球面面积的 ，
8
1 π 3 公众号：青禾试卷
故S 4πR2  R2  π. ……………………………………………（3分）
球面△ABC
8 2 2
AC2 R2 R2 2R2cos，
 1
（2）（i）证明：由余弦定理有BC2 R2 R2 2R2cos，且AC2 BC2  AB2，消掉R2，
2

AB2 R2 R2 2R2cos，
 3
有cos cos cos 1. ……………………………………………（7分）
1 2 3
（ii）解：由AD是球的直径，则ABBD，AC CD，又AC BC ，
所以AC 平面BCD，则AC BD，所以BD平面ABC. …………（8分）
π π
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ， ，
4 3
π π
所以DAB ，DCB .
4 3
由R 3，则AD2 3，ABBD 6，BC  2，AC 2，
由AC BC ，AC BD，BC BD ，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立
如图3所示的空间直角坐标系.
设BE t，t(0， 6]，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B( 2，0，0)，D( 2，0， 6)，
 2   2 6
则S(0，1，0)，T ，0，0，E( 2，0，t)，O ，1， . ………………（9分）
   
 2   2 2 
 公众号：青禾  试  卷   2 6
设平面OBC的法向量为m(x，y，z)，CB( 2，0，0)，CO ，1， ，
 
 2 2 
 
mCB 2x0，

则
 2 6
取z2，则y 6，x0，
mCO xy z  0，
 2 2

所以m(0， 6，2). ……………………………（10分）
图3
数学参考答案·第8页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷   2    2 
设平面EST 法向量n(x，y，z)，ST  ，1，0，TE  ，0，t，
   
 2   2 
   2
nST  xy0，
 2
则 取x 2t ，则yt ，z1，
  2
nTE  xtz 0，

 2

所以n( 2t，t，1). …………………………………………………（11分）
15 2
要使sin≤ ，则|cos|≥ 公，众号：青禾试卷
5 5
 
|mn| | 6t 2| 1 3t  2 2
所以令|cos|      ≥ ，
|m||n| 10  3t2 1 5 3t2 1 5
2
即6t2 4 6t≤0，解得0t≤ 6 . ………………………………………（13分）
3
作OO平行于AC 交DC于O，显然O点到平面AEC的距离即为O到平面AEC的距离，
2
即为O到EC的距离，故当t  6 时，O点到平面AEC的距离最小，此时截面积最大，
3
 2 
取点E 2，0， 6 ，
 3 
  2   
在平面AEC中，CE  2，0， 6 ，CA(0，2，0)，法向量k (2，0， 3)，
 3 
 
|AOk | 1
球心O到平面AEC距离为d    . ……………………………（15分）
|k | 14
1 41
设平面AEC截球O圆半径为r ，r2 R2 d2 3  ，
14 14
41
所以截面圆面积为πr2  π． ……………………………………………（17分）
14
19．（本小题满分17分）
8 8(a a )
（1）解：设等差数列的公差为d(d 0)，由a 0，得 1 8 0，
i 2
i1
公众号：青禾试卷
所以a a a a 0.
1 8 4 5
8
因为 d 0 ，所以 a 0，a 0 ， |a |(a a a )(a a a )4 ，则
4 5 i 1 2 4 5 6 8
i1
1
44d 4d  .
4
7d 7
由a a 0，可a a 7d 0a   . ……………………（4分）
1 8 1 1 1 2 8
数学参考答案·第9页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷（2）（i）证明：由题设条件可知a (i1，2，，n)不可能全为0，也不可能全同号，所以
i
存在一个下标m(1≤mn)使得a ≥0a .
m m1
因为数列满足a≥a ≥a ≥≥a ，所以a，a，，a 全为非负数，a ，a ，，a 全为
1 2 3 n 1 2 m m1 m2 n
负数，即a≥a ≥≥a ≥0，0a ≥a ≥≥a .
1 2 m m1 m2 n
令a a a ，a a a ，
1 2 m m1 m2 n
t t
则由题设条件可知0，t，∴ ， . ………………（7分）
2 2
公众号：青禾试卷
∴当1≤i≤m时，a≥0，S 0；当m1≤i≤n时，a≤0，S≥S 0.
i i i i n
………………………………………………………（10分）
n
∴|S ||S ||S ||S |S S S S 0，即S 0，矛盾.
1 2 3 n 1 2 3 n i
i1
∴数列{S }不是“n阶--t数列”. …………………………………（11分）
n
（ii）证明：因为 a≥a ≥a ≥≥a ，由（i）可知，a a a ≤ma ，即
1 2 3 n 1 2 m 1

≤ma，∴a≥ . ……………………………………………（13分）
1 1 m
 t t
a a a ≥(nm)a，a ≤ ，又 ， ，
m1 m2 n n n nm 2 2
………………………………………………………（15分）
  t t nt nt 2t
所以a a ≥     ≥  ，
1 n m nm 2m 2(nm) 2m(nm) mnm 2 n
2 
 2 
即n(a a )≥2t.
1 n
n t t
当且仅当n为偶数，m ， a a a  ，a a a  时取等号.
2 1 2 m 2m m1 m2 n 2m
……………………………………………………………………（17分）
公众号：青禾试卷
数学参考答案·第10页（共10页）
学科网（北京）股份有限公司
公众号：青禾试卷