重庆市第八中学2026届高考适应性月考卷（六）数学答案_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260323重庆市第八中学2026届高考适应性月考卷（六）（全科）

数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C C B D D 公众号：青禾试卷 【解析】 1．在阴影部分区域中任取一个元素x，则xð A且xB，或x[ð (A∩B)]且xB，所以图 U U 中阴影部分可表示为(ð A)∩B或[ð (A∩B)]∩B，故选A． U U 2．∵等比数列{a }的前n项和为S ，S 4，S 12，由等比数列的性质得：S ，S S ， n n 4 8 4 8 4 S S S S S S S S ，S S 成等比数列. 又S 4，S S 8，∴ 8 4  12 8  16 12  2， 12 8 16 12 4 8 4 S S S S S 4 8 4 12 8 S S a a a a  32，故选B． 16 12 13 14 15 16               3．由向量a，b为单位向量，又ab，知ab 0，|a||b|1. 因为ca2b，则|c||a2b|                 b c b (a2b) 2b 2 ab  (a2b)2  a24b24a b  5， 所 以 cosb，c         |b||c| |b||c| |b||c| 2 2 5     5   1   . 又b，c[0，π]，得sinb，c ，则tanb，c ，故选A． | 5| 5 5 2 4．在△ABC中，AB AC，所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线” 为 △ABC 边 BC 的 中 垂 线 AD ， 因 为 B(3，1) ， C(1，3) ， 所 以 D(1，1) .∵k 1，∴k 1，故l ： x y0 ，又“欧拉线”与圆 E:(xa4)2  BC AD AD |a4a| (ya)2 r2相切，所以圆心(a4，a)到“欧拉线”的距离为 r2 2，故选C． 2 5．注意样本点(3，11)恰好在回归直线上，去掉这个样本点，x与y的样本相关系数r不变， 公众号：青禾试卷 故选C． 1 1  9 2 6．当t 0时，v0，即01m，所以m1，v1nt. 又 1n2，所以n  ，所 10 10 t t  9 2  9 2 2(1lg2) 21.3 以v1  . 令1  95%，解得t    65，故选B． 10 10 12lg3 120.48 数学参考答案·第1页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷7．记6个格子中染蓝色的格子数为X . 当X 6时，共有1种染色方法；当X 5时，共有C5 6 6 种；当X 4时，共有C4 2(C2 1)3C2 8种，当X 3时，共有2种，共17种，故选 6 3 2 D． π3A π A π 8．因为C B2A，ABC  π，所以B ，C  ，且0 A . 由正弦定理 2 2 3 a b c c ab c 3 得   ，所以  . 因为ab3，所以  ， sinA sinB sinC sinC sinAsinB sinC sinAsinB π公众A号：青禾试卷 A 3sin 3cos 所 以 c 3sinC  2  2 . 因 为 cos 3A cos   A  A   sinAsinB π3A 3A 2 2  sin sin A cos sin A 2 2 A A A A A A A A cos cosAsin sinAcos cosA2sin2 cos ， sinA2sin cos ， cos  2 2 2 2 2 2 2 2 A A 3cos 3cos   3 ，1   ， 所 以 c 2  2    2   cos 3A sinA cos A cosA2sin2 A cos A 2sin A cos A 2 2 2 2 2 2 3 3 A  1 3  .令t sin ，则t0，  ，c A A A A 2  2 4t2 2t1 cosA2sin2 2sin 14sin2 2sin 2 2 2 2 3 12 1 A 1 12  ≥ ，当且仅当t  ，即sin  时，等号成立，所以c的最小值为 ，  1 2 5 5 4 2 4 5 4t    4 4 故选D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 【解析】 公众号：青禾试卷 1 1 1 2 9．随机事件A，B，C满足P(A) ，P(B) ，P(C) ，P(A∪B) . 对于A，由概率 3 2 3 3 2 1 1 1 加法公式得   P(AB) ，解得 P(AB)P(A)P(B) ，故 A 正确；对于 B， 3 3 2 6 P(AB) 1 P(AB) 1 P(A|B)  ，P(B|A)  ，故 B 错误；对于 C，因为P(C)P(AC) P(B) 3 P(A) 2 数学参考答案·第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷1 1 1 P(AC) ，又P(AC)P(AC)，故P(AC)P(AC) ，所以P(A|C) ，故C正确； 3 6 2 对于 D，因为 P(C)P(AC)P(AC) ，所以 P(AC)P(C)P(AC) . 因为 P(C|A) 2 P(AC) P(AC) 2 3 2 P(C|A) ，所以由条件概率公式得   ，可得3P(AC) P(AC) ， 3 1 2 3 2 3 3 3 3 1 2 1 则3P(AC) [ P(AC)] ，解得P(AC) ，故D正确，故选ACD． 2 3 3 9 10．如图1，在正方体ABCDABCD 公中众号，：由青禾 A 试 B 卷CD ，AB∥CD ， 1 1 1 1 1 1 1 1 得四边形ABCD 为平行四边形，可得BC∥AD ，∴B AD 为 1 1 1 1 1 1 π 异面直线AB 与BC 所成的角，B AD  ，故A错误；由已 1 1 1 1 3 知可得， AC 2 3，由正方体的结构特征可知， AC  平面 1 1 图1 1 2 ABD ， 设 垂 足 为 G ， AG AC  3 ， 点 P 在 △ABD 内 且 AP 2 ， 1 1 1 3 1 3 1 1 1 4 6 ∴PG 2  ，故AP与平面ABD 所成的线面角的正切值为 2，故B正确；而 3 3 1 1 1 6 2 6 正三角形ABD 内切圆的半径为 ，则P的轨迹是△ABD 的内切圆，其周长为 π， 1 1 3 1 1 3 故C正确；设O为正方体下底面中心，则OO 平面ABCD，当P为△ABD 的内切圆与 1 1 1 AO 的交点 E 时，点 P 到平面 ABCD 距离取得最小值，设 EF  平面 ABCD ， 1 2 6 AE 1 EF ∵AO  (2 2)2( 2)2  6 ， 内 切 圆 直 径 为 ， 可 得   ， 则 1 3 AO 3 OO 1 1 1 2 EF  OO  ，当P为BD 的中点O 时，点P到平面 ABCD距离取得最大值2，故D 3 1 3 1 1 1 正确，故选BCD． 11．如图2，由题可知，F 发出的光线公众经号： l 青反禾射试卷后，反射光线的 1 反向延长线经过点F ，所以FPH MPN F PH ，所 2 1 2 以切线l 平分FPF ，故 A 正确；由选项 A，切线l 平分 1 2 FPF ，且FH PH ，故△FPQ为等腰三角形，且H 是 1 2 1 1 底边FQ的中点，即|FH ||QH |，且H 是底边FQ的中点， 1 1 1 图2 数学参考答案·第3页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷1 又O为FF 的中点，所以|OH | |QF |．由双曲线定义可知，|PF ||PF |6，由△FPQ 1 2 2 2 1 2 1 1 为等腰三角形可知，|PF ||PQ|，因此|PQ||PF ||QF |6，所以|OH | |QF |3， 1 2 2 2 2 故B错误；由|QF |6，当P点趋近于A点时，Q点的横坐标趋近于5611，当P点 2 4 趋近于无穷远时，PF 的斜率趋近于渐近线的斜率 ，此时Q点的横坐标趋近于 2 3 56 3  7 ，故Q点横坐标的取值公众范号：围青为禾试  卷7 ，11   ，C选项正确；由于两个点以相同速度 5 5 5  同时出发，故其运动的路程相等，记为S ,不妨设M 在右支上的反射点为T ，则有 |MF ||MT ||TF |S|TF ||TF |S 6 ，同理|NF |S 6，故M ，N始终同在以F 2 2 1 2 2 2 为圆心的圆上，D选项正确，故选ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14  1   1 答案 300 2   ，0 ∪ 0，   e   e 【解析】 12．因为 X ~ N(100，2) ，且 P(80≤X≤100)0.35 ，所以 P(80≤X≤120)0.7， 所以 1 1 P(X≥120) [1P(80≤x≤120)] (10.7)0.15 ，所以估计学生数学成绩在120分 2 2 以上的人数为20000.15300人． ab 2 13 ． log (a2 b2 1)log ab ， ∴a2 b2 1ab， ∴(ab)2 3ab1≤3  1， 4 2  2  (ab)2 ∴ ≤1，ab≤2，当且仅当ab1时取等号，所以ab的最大值是2． 4 1 1 1 14．易知x0，方程x(eaxeax)x21eax x . 设 f(x)x (x0)，则 f(eax) 公众号：青禾试卷 eax x x 1  f(x). 且 f(x) 在(0，1)上单调递减，在(1，) 上单调递增，且 f(x) f  . 所以 x 1 lnx lnx lnx lnx eax x或eax  ，所以a 或a ，在同一个坐标系中画出y 和y x x x x x  1   1 的图象，可知a   ，0 ∪ 0，  时符合题意.  e   e 数学参考答案·第4页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）∵函数 f(x)的最小正周期为π，  π ∴2， f(x)2sin2x . …………………………………………（2分）  6 6  π 6  π 3 由 f() ，即2sin2  ，则sin2  . 5  6 5  6 5 ∵   π ， π  ，∴2 π   0， π公  众，号：∴青禾 c 试 o 卷 s  2 π  4 ， …………………（4分） 12 3 6  2  6 5  π  4 π  π  π  3 10 ∴2cos2  1 ，由 0，  ，∴cos  .  12 5 12  4  12 10 ………………………………………………………（6分）  π （2）由（1）知， f(x)2sin2x  ，  6 π  π 其图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数为y2sin2x  ，再向上平移1个单 12  3  π 位得到的图象对应函数为y2sin2x 1，  3  π 即g(x)2sin2x 1. ……………………………………………（9分）  3  π π π  2π π 当x  ， 时，2x   ， ，      6 3 3  3 3 π  2π π  2π π  π π 令t 2x ，t  ， ，则ysint在区间  ， 上单调递减，在区间  ，       3  3 3  3 2  2 3 上单调递增，  π π  π 3  π ∴sin  ≤sint≤sin ，即1≤sin2x  ≤ ，∴1≤2sin2x 1≤1 3 .  2 3  3 2  3  π π 故函数yg(x)在   ，  上的值公众域号为：青[禾试1，卷1 3]. ……………………………（13分）  6 3 16．（本小题满分15分） b2 3 1 解：（1）由e2 1  ，得b2  a2. a2 4 4 1 又点  2， 1  在椭圆C，所以 4  4 1，  2 a2 b2 数学参考答案·第5页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷5 解得a2 5，b2  ， …………………………………………………（3分） 4 x2 y2 故椭圆C的标准方程为  1. …………………………………（4分） 5 5 4 1 圆M 的标准方程为(x1)2  y2  . …………………………………（5分） 2 （2）设P(x，y )，Q(x，y )，中点N(x，y )， 1 1 2 2 0 0 公众号：青禾试卷 x2 4y2 x2 4y2 (x x )(x x ) 4(y y )(y  y ) 则有 1  1 1， 2  2 1，两式作差得： 1 2 1 2  1 2 1 2  0. 5 5 5 5 5 5 y y 又x x 2x，y  y 2y ，k  1 2 代入化简得x 4ky 0. 1 2 0 1 2 0 x x 0 0 1 2 ………………………………………………………………（9分） 1 N(x，y )在圆M 上，所以(x 1)2  y2  ①， ………………………（10分） 0 0 0 0 2     又ON MN ，ON (x，y )，MN (x 1，y )， 0 0 0 0 所以x (x 1) y2 0②， …………………………………………………（11分） 0 0 0 1 1 由①、②解得x  ，y  ， ……………………………………………（12分） 0 2 0 2 1 1 1 1 将中点N ，  代入椭圆方程  1， 2 2 20 5 所以存在满足条件的点N. ……………………………………………（13分） 1 1 1 中点N ，  代入x 4ky 0，可得k  ， ……………………………（14分） 2 2 0 0 4 1 又因为k 0，所以k  . ……………………………………………（15分） 4 公众号：青禾试卷 17．（本小题满分15分） 解：（1）因为a2， f(x)2x3 2x2， f(x)6x2 4x， 则 f(1)0， f(1)2． 故点(1，0)处的切线方程为y2(x1)， 即2x y20． …………………………………………………（4分） 数学参考答案·第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷（2） f(x)6x2 2ax(a0)，  a a a  x (，0) 0 0，   ，  3 3 3  f(x)  0  0  a f(x) 递减 0 递增 f   递减 3  a a  所以 f(x)的单调增区间是 0，  公，众单号：调青禾减试卷区间是(，0)和  ，.  3 3  …………………………………………………………………（6分） a  a a  由 f(0) f  0知，当x0，  时， f(x)0，当x ， 时， f(x)0． 2  2 2  因为对于任意的x (3，)，总存在x (2，)，使得 f(x ) f(x )2， 1 2 1 2 a 当 f(x )0时，不成立，故 f(x )0，所以 ≤3，所以a≤6. ………………（8分） 1 1 2  2  设A{f(x)|x(3，)}，B x(2，)，f (x)0，问题转化为AB．  f(x)  …………………………………………………………………（9分） 下面分两种情况讨论： a 情形一：当 2，即a4时，有 f(2)0， f(x)在(2，)上单调递减， 2  2  故B ，0 ，A(，f(3))，所以AB，不符合题意；  f(2)  ………………………………………………………………（12分） a 情形二：当 2≤ ≤3，即 4≤a≤6 时，有 f(3)≤0， f(x) 在(3，) 上单调递减，故 2 A(，f(3))． 公众号：青禾试卷 4 a a  由 4≤a≤6 ，得 ≤ ≤2 ，又 f(x) 在  ， 上递减，可知当 x(2，) 时， 3 3 3  f(x)(，f(2))． 2  2  当 f(x)(，f(2))时， (，0) ， ， f(x)  f(2)  数学参考答案·第7页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷 2  因此有B(，0) ， ，所以AB，满足题意．  f(2)  综上，a的取值范围为[4，6]． ……………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） （1）解：若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时， 1 球面三角形ABC面积为整个球面面积的 ， 8 1 π 3 公众号：青禾试卷 故S 4πR2  R2  π. ……………………………………………（3分） 球面△ABC 8 2 2 AC2 R2 R2 2R2cos，  1 （2）（i）证明：由余弦定理有BC2 R2 R2 2R2cos，且AC2 BC2  AB2，消掉R2， 2  AB2 R2 R2 2R2cos，  3 有cos cos cos 1. ……………………………………………（7分） 1 2 3 （ii）解：由AD是球的直径，则ABBD，AC CD，又AC BC ， 所以AC 平面BCD，则AC BD，所以BD平面ABC. …………（8分） π π 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ， ， 4 3 π π 所以DAB ，DCB . 4 3 由R 3，则AD2 3，ABBD 6，BC  2，AC 2， 由AC BC ，AC BD，BC BD ， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立 如图3所示的空间直角坐标系. 设BE t，t(0， 6]，则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B( 2，0，0)，D( 2，0， 6)，  2   2 6 则S(0，1，0)，T ，0，0，E( 2，0，t)，O ，1， . ………………（9分）      2   2 2   公众号：青禾  试  卷   2 6 设平面OBC的法向量为m(x，y，z)，CB( 2，0，0)，CO ，1， ，    2 2    mCB 2x0，  则  2 6 取z2，则y 6，x0， mCO xy z  0，  2 2  所以m(0， 6，2). ……………………………（10分） 图3 数学参考答案·第8页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷   2    2  设平面EST 法向量n(x，y，z)，ST  ，1，0，TE  ，0，t，      2   2     2 nST  xy0，  2 则 取x 2t ，则yt ，z1，   2 nTE  xtz 0，   2  所以n( 2t，t，1). …………………………………………………（11分） 15 2 要使sin≤ ，则|cos|≥ 公，众号：青禾试卷 5 5   |mn| | 6t 2| 1 3t  2 2 所以令|cos|      ≥ ， |m||n| 10  3t2 1 5 3t2 1 5 2 即6t2 4 6t≤0，解得0t≤ 6 . ………………………………………（13分） 3 作OO平行于AC 交DC于O，显然O点到平面AEC的距离即为O到平面AEC的距离， 2 即为O到EC的距离，故当t  6 时，O点到平面AEC的距离最小，此时截面积最大， 3  2  取点E 2，0， 6 ，  3    2    在平面AEC中，CE  2，0， 6 ，CA(0，2，0)，法向量k (2，0， 3)，  3    |AOk | 1 球心O到平面AEC距离为d    . ……………………………（15分） |k | 14 1 41 设平面AEC截球O圆半径为r ，r2 R2 d2 3  ， 14 14 41 所以截面圆面积为πr2  π． ……………………………………………（17分） 14 19．（本小题满分17分） 8 8(a a ) （1）解：设等差数列的公差为d(d 0)，由a 0，得 1 8 0， i 2 i1 公众号：青禾试卷 所以a a a a 0. 1 8 4 5 8 因为 d 0 ，所以 a 0，a 0 ， |a |(a a a )(a a a )4 ，则 4 5 i 1 2 4 5 6 8 i1 1 44d 4d  . 4 7d 7 由a a 0，可a a 7d 0a   . ……………………（4分） 1 8 1 1 1 2 8 数学参考答案·第9页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷（2）（i）证明：由题设条件可知a (i1，2，，n)不可能全为0，也不可能全同号，所以 i 存在一个下标m(1≤mn)使得a ≥0a . m m1 因为数列满足a≥a ≥a ≥≥a ，所以a，a，，a 全为非负数，a ，a ，，a 全为 1 2 3 n 1 2 m m1 m2 n 负数，即a≥a ≥≥a ≥0，0a ≥a ≥≥a . 1 2 m m1 m2 n 令a a a ，a a a ， 1 2 m m1 m2 n t t 则由题设条件可知0，t，∴ ， . ………………（7分） 2 2 公众号：青禾试卷 ∴当1≤i≤m时，a≥0，S 0；当m1≤i≤n时，a≤0，S≥S 0. i i i i n ………………………………………………………（10分） n ∴|S ||S ||S ||S |S S S S 0，即S 0，矛盾. 1 2 3 n 1 2 3 n i i1 ∴数列{S }不是“n阶--t数列”. …………………………………（11分） n （ii）证明：因为 a≥a ≥a ≥≥a ，由（i）可知，a a a ≤ma ，即 1 2 3 n 1 2 m 1  ≤ma，∴a≥ . ……………………………………………（13分） 1 1 m  t t a a a ≥(nm)a，a ≤ ，又 ， ， m1 m2 n n n nm 2 2 ………………………………………………………（15分）   t t nt nt 2t 所以a a ≥     ≥  ， 1 n m nm 2m 2(nm) 2m(nm) mnm 2 n 2   2  即n(a a )≥2t. 1 n n t t 当且仅当n为偶数，m ， a a a  ，a a a  时取等号. 2 1 2 m 2m m1 m2 n 2m ……………………………………………………………………（17分） 公众号：青禾试卷 数学参考答案·第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 公众号：青禾试卷