文档内容
上海市宝山区 2025-2026 学年九年级上学期 1 月期末数学试题
考生注意：
1．本试卷共25题．
2．试卷满分150分．考试时间100分钟．
3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效．
4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一
个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，用放大镜观察一个三角形，下列说法错误的是（ ）
A. 三角形各角的度数扩大 B. 三角形的各边的长度扩大
C. 三角形的周长扩大 D. 三角形的面积扩大
3. 如图， ，直线 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，则下列结论
不正确的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司4. 下列关于向量的说法中，正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 B. 如果 （ 为非零向量），那么
是
C. 如果 单位向量，那么 D. 如果 与 互为相反向量，那么
5. 已知二次函数 的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（ ）
A. B. C. D. ．
6. 我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开
一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小
孔O到人 的距离、小孔O到所成像 的距离均为6米，要使像 的长度变为原来的 倍，下列
操作正确的是（ ）
A. 人向暗室后退2米 B. 人向暗室前进2米
C. 人向暗室后退4米 D. 人向暗室前进4米
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位
置上，超出答题区域书写的答案无效】
7. 计算： __________．
8. 如果 那么 _________
的
9. 已知抛物线 开口向下，那么 取值范围是__________．
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知线段 ，如果线段 是线段 和 的比例中项，那么线段 的长为__________．
11. 如果 是抛物线 图像上的两点，那么 __________ ．（填“>”、
“＜”或“＝”）
12. 已知线段 的长为 ，点 是线段 的黄金分割点，那么较长线段 的长是_____．
13. 如图，某滑雪爱好者沿着坡比为1 的斜坡笔直滑下 米，那么他下降的高度是__________米．
14. 如图，在 中， ，点 是 的重心，如果 ，那么点 与点 的距
离为__________．
15. 如图，在矩形 中， ， 是边 的中点，连接 ， ，如果 ，那么
的长为__________．
16. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 、 、 都在网格小正方形的顶点上．
、 是线段 、 与小正方形边的交点．那么 的长为__________．
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学科网（北京）股份有限公司17. 将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ， ，点
在边 上，点E，F在边 上，如果 ，那么 的长为__________．
18. 定义：有两个内角的差为 的三角形叫做“差直三角形”，在 中， ， ，
，如果 是“差直三角形”，那么 的长为__________．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
.
19 计算： ．
的
20. 将抛物线 平移，使平移后 抛物线经过点 ， ．
（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）说明由抛物线 如何平移得到新抛物线．
在
21. 如图， 梯形 中， ，连接 ，过点 作 交
于点 、 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）设 ，试用 的线性组合表示向量 ；
（2）已知 ， ，求 的值．
22. 某辆自行车（图1）放置地面（水平面）时，侧面示意图如图2所示，已知座椅 、上管 都平行
于地面，下管 的长为 ，后叉脚 的长为 ，上下管的夹角 为 ，座管 与上
管 的夹角 为 、与后叉脚 的夹角 为 ，车座顶端 到牙盘中心 的距离
为 ，车轮半径均为 ．（参考数据： ， ， ，
， ， ， ）
（1）求座管 的长：（精确到 ）
（2）求座椅 到地面的距离．（精确到 ）
23. 如图，在菱形 中， 是 上一点，联结 并延长交 的延长线于点 ，交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若 是 的中点，且 ，求证： ．
24. 在平面直角坐标系 中，将抛物线 绕其顶点旋转 后再适当平移得到抛物线 ，如果抛物线
经过抛物线 的顶点，那么称抛物线 是抛物线 的“子抛物线”．已知抛物线
与 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线 的表达式和点 的坐标；
（2）如果抛物线 是 的“子抛物线”，且 经过原点，顶点为 ．
①求证：抛物线 也是抛物线 的“子抛物线”；
②设直线 与抛物线 分别交于点M、N，是否存在 ，使得四边形 是平行四边形？如
果存在，试求 的值；如果不存在，试说明理由．
25. 如图，已知 ， ， ， ， 是边 上一点（不与点A、B重合），
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学科网（北京）股份有限公司，且 ．
（1）当 时， 的长；
（2）当点 在边 上运动时， 的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生
变化，试说明理由；
（3）当直线 与直线 相交时，记交点为点 ，如果 是等腰三角形，求 的长．
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