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2025 学年第一学期期末学情诊断初三数学试卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷共23题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的，选择正确的选项并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 在抛物线 上的一个点是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 中， ， ， ，那么下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系 中，对于抛物线 （其中 是常数，且 ），下列叙述中正
确的是（ ）
A. 当 时，抛物线开口向下
B. 抛物线与 轴交点坐标为
C. 顶点坐标是
D. 当 时，顶点是抛物线的最低点
4. 下列命题中真命题是（ ）
A. 如果 ，那么
B. 如果两个相等的向量相减，那么结果为0
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学科网（北京）股份有限公司C. 如果 和 都是单位向量，那么
D. 如果 ，那么
5. 在等边 中，点 分别在边 上，将 沿 折叠，使得点 与 的重心
重合， 与 交于点 ，延长 交 于点 ，那么 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分）
.
6 如果 ，那么 _____
7. 已知 ，那么 ____
8. 将抛物线 向左平移3个单位后，得到的新抛物线的表达式为_____．
9. 小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的
远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化
石的长度分别为 和 ，笔的实际长度为 ，那么该化石的实际长度为____ ．
10. 为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度
与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为 ，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环
保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆____听．
11. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海
东方明珠广播电视塔，塔高 为468米，其上球体点 位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，
具有审美效果，且 ．那么上球体到塔底的距离 为_____米．（结果保留根号的形式）
第2页/共8页
学科网（北京）股份有限公司12. 对于抛物线 ，沿着 轴正方向看，抛物线在直线 左侧的部分是下降的，写出一
个符合条件的 的值是____．
13. 在 中，设 ，点 是 的边 的中点，如果用 的线性组合表示向量
，那么 的值为____．
14. 如果一个图形上的点 和另一个图形上的点 ，．．．分别对应，并且它
们的连线 都经过同一点 ，那么这两个图形叫做位似图
形，点 是位似中心．如图，四边形 和四边形 是位似图形，点 的坐标分别为
、 ，如果 的长为 ，那么 的长为_____．
15. 在矩形 中，过点 作 ，垂足为 ，以 为斜边作直角三角形 ， 与 交
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学科网（北京）股份有限公司于点 ．如果 ，那么 的取值范围是_____．
三、解答题（本大题共8题，满分90分）
16. 计算： ．
17. 如图，在 中， ， ，点 在边 上， ， ，过点
作 交 的延长线于点 ．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
在
18. 如图， 中， ，点 分别在边 上， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
19. 在平面直角坐标系 中，把抛物线 向下平移1个单位长度，所得的新抛物线顶点坐
标为 ．
（1）求原抛物线的表达式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若新抛物线与 轴交于点 ，原抛物线顶点为 ，求 的正切值．
20.
甲
组
， ，
坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘
坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较 ．
吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道
设计需满足以下关键要求：最大坡度为 ，
这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过
，超过时需设置休息平台．为此，几个学
习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图
1、图2、图3． 乙
组
同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连
廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返
形坡道（坡道 一休息平台 一坡道 ）
设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道
最大坡度为 ，水平长度最大 ，休息
平台宽度最小 ，轮椅入口宽度最小
．
丙
组
休息平台宽为 ，轮椅入口宽为 ，点 到连廊的距离 为 ．
（1）根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（ 或 ），并判断是否安全；
（2）为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道
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学科网（北京）股份有限公司、坡道 ）的坡度和坡高以及设计过程．
21. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为 ，点
．
（1）若抛物线经过点 和 ，求 的值；
（2）如果 的面积小于3，求 的取值范围；
（3）点 关于原点的对称点 ，连接 ，且 ，直线 与抛物线交于点 （点 在
点 右侧），当 与 相似时，求抛物线的表达式．
22. 某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究．
重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望
极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表
高与表高之比 或“南戴日下”与南影之比 ，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之
比 ．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍．
如图1，为了测量海岛的高度，设 为岛的顶点，过点 的铅垂线与地面的交点为 ，则岛的高度即为
．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立
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学科网（北京）股份有限公司在地面上距离点 较近的点 处，从点 处透过测量杆的上端 望岛顶 的连线（把它叫做测量
线）延长后交地面于点 ．第二次，把测量杆竖直立在距离点 较远的点 处 三点在一条直
线上），同样地，从点 处透过测量杆的上端 望岛顶 （即测量线）的连线延长后交地面于点 ．
连接 并延长交 于点 ．
求证： ①或 ②．
学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明 和①或②成立．大家分别
提出了自己的分析或证明思路．
小海同学：针对问题及求证结论 的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质
有关知识加以解决；
的
小明同学：锐角三角比是沟通边角关系 一座桥梁，记 ；
欢欢同学：利用相似三角形的性质；
乐乐同学：过点 作 的平行线．．．．．．；
请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）．
（1）求证： ；
（2）求证： ①；
（3）在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设 是矩形 的对角线 上任意
一点，过点 分别作一组邻边的平行线 ，直线 分别与边 交于点 ，直线
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学科网（北京）股份有限公司分别与边 交于点 ，那么矩形 的面积等于矩形 的面积．说理如下：如果把
图形看作由 移置到 处，同时 、 各移到 、 ，那么依据出入相补原理，得
（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立．
23. 在四边形 中，点 在边 上， ，点 在边 上．
（1）如图1，若四边形 为矩形，且 ，连接 ，
求证： ；
的
（2）如图2，若四边形 为等腰梯形， ．请连接 并延长，交 延长线于点 ，
连接 ，如果 ，求 的长；
（3）如图3，若四边形 为平行四边形，点 是 中点，连接 交于点 ，连接 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，求 值．
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