文档内容
成都外国语学校 2025 级高一数学 12 月月考试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分；
2.本堂考试 120 分钟，满分 150 分；
3.答题前，考生务必将自己的姓名、学号正确填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂；
4.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题
目要求.
1. 设 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的概念进行运算即可.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
2. “ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.
【详解】根据题意，显然当 ，可得 成立，所以充分性满足；
当 时，可得 或 ，所以必要性不满足；
即“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
第 1页/共 17页3. 已知函数 ，在下列区间中，一定包含 零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断.
【详解】由 ，
根据零点存在性定理，由函数 在区间 上是连续的,且 ，
所以函数在区间 上一定存在零点，故 B 正确；
而 ，则在 上不一定有零点，故 A 错误；
又 ，则在 ， 上也不一定有零点，故 CD 错误；
故选：B
4. 设奇函数 的定义域为 ，当 时，函数 的图象如图所示，则使函数值 的
的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数图象得到 时， ，当 时， ，结合函数的奇偶性得到当
时 ，求出不等式的解集.
【详解】由图象可得到 时， ，当 时， ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以当 时， ，故 ，
第 2页/共 17页当 时， ，故 ，
综上，函数值 的 的取值集合为 .
故选：D
5. 若函数 为 上的奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和对数的运算性质即可求解.
【详解】由题意知， .
故选：D
6. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简 ，通过讨论函数 和 的单调性和取值范围即可得出 的大小关
系.
【详解】解：由题意，
，
在 中，函数单调递增，且 ，
∴ ，
在 中，函数单调递增，且当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A.
第 3页/共 17页7. 年 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．考
古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 的质量
随时间 （单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳 原有的质量）．经过测定，良渚古城遗
址文物样本中碳 的质量是原来的 至 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约（ ）年到 年之
间？(参考数据： ， )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得 ，利用对数运算性质及对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题意， ，即 ，
∴ ，则 ,
∴ ，即 .
故选：A．
8. 已知函数 定义域为 ，且 的图象关于 对称，当 时， 单
调递减，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知函数 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数 的值，根据函数
的单调性、偶函数的性质，结合 可得出关于实数 的不等式组，由此可解得
的取值范围.
第 4页/共 17页【详解】因为函数 的图象关于 对称，
令 ，则 ，即 ，
即 ，所以， ，
故函数 是定义在 上的偶函数，则 ，解得 ，
所以，函数 是定义在 上的偶函数，
由题意可知，函数 在 上单调递减，
由 可得 ，
所以， ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 与 是同一个函数
C. 函数 满足 ，若 ，则实数
D. 幂函数 在区间 上 减函数，等价于 或
【答案】AC
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为存在性命题，可判定 A 正确；根据同一函数的判定方法，可判定 B 错误；
第 5页/共 17页令 ，求得 ，得到 ，可判定 C 正确；根据幂函数的定义与性质，可判定
D 正错误.
【详解】对于 A，根据全称命题的否定为存在性命题，可得命题“ ， ”的否定是
“ ， ”，所以 A 正确；
对于 B，函数 满足 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
函数 满足 ，解得 ，所以 的定义域为 ，
所以两个函数的定义域不同，所以两函数不是同一个函数，所以 B 不符合题意；
对于 C，令 ，可得 ，所以 ，
令 ，解得 ，所以 C 正确；
对于 D，要使得函数 满足 在区间 上是减函数，
则满足 且 ，解得 ，所以 D 错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的序号是（ ）
A. ， ，使得 时， 恒成立
B. 函数 的值域为
C. 利用二分法求方程 的近似解，可以取的一个区间是
D. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围
【答案】AD
【解析】
【分析】选项 A 根据指数函数、对数函数、幂函数在给定条件下增长速度情况来分析，选项 B 利用换元法
将函数转化为二次函数求值域即可；构造函数利用函数零点存在性定理判断即可得出选项 C；将函数转化
为二次函数来分析即可得出选项 D.
【详解】选项 A，对 时，随着自变量的增大，
第 6页/共 17页指数函数 增长速度远快于幂函数 ，
幂函数 增长速度远快于对数函数 ，
所以 ，使得 时， 恒成立，
故 A 选项正确；
选项 B，令 ，则 ，
所以原函数化为： ，
由该二次函数开口向下，对称轴为 ，
所以当 时，函数单调递减，
所以 ，
所以函数的值域为： ，
故 B 选项不正确；
选项 C，设函数 ，
因为函数 和 在 单调递增，
所以 在 单调递增，
又函数在 上的图象连续不断，
且 ，
，
所以函数在区间 上无零点，
故 C 选项不正确；
选项 D，令 ，当 时， ，
则函数化为： ，
该函数为开口向上的二次函数，对称轴为： ，
所以要使函数 在区间 上单调递增，
则实数 满足： ，
第 7页/共 17页即实数 的取值范围 ，
故 D 选项正确；
故选：AD.
11. 已知函数 ， ， .则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 与函数 互为反函数
B. 函数 在区间 内有零点
C. 若 ， ， 均为正实数，且满足 ，则
D. 若函数 的图象与函数 的图象和函数 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 ， ，
则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可.
【详解】对于 A：
因为 ，所以与 互为反函数，A 正确；
对于 B：
令 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
根据零点存在定理，则函数 在区间 内有零点，B 正确；
已知函数 ， ， ，画出图像为：
第 8页/共 17页如图符合题意 ，而 ，所以 C 错误；
对于 D：
令 ，则 ，令 ，则
因为函数 的图象与函数 的图象和函数 的图象在第一象限内交点的横坐标分别为 ， ，
所以 ①， ②，假设 ，则 .
将其代入①式中得 ，与②式相同，所以 D 正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点，该定点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据 求类指数函数经过的定点坐标.
【详解】因为当 且 时， 恒成立，
所以当 时， .
所以函数 的图象经过定点 .
故答案为：
第 9页/共 17页13. 函数 的递减区间为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数的单调性只需求出 的单调递增区间，且要满足 ，从
而求出答案.
【详解】因为 在 上单调递减，
由复合函数的单调性可知， 的递减区间为 的单调递增区间，
且要满足 ，解得 或 ，
其中 在 上单调递增，
故 的递减区间为 .
故答案为：
14. 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定
项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，
连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为
，并称其为双曲余弦函数.若 恒有 ，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用函数单调性与奇偶性的定义与判定方法，求得 为偶函数，且在 上
第 10页/共 17页为单调递增函数，把不等式转化为 在 上恒成立，结合二次函数的性质，列出
不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
所以函数 为偶函数，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上为单调递增函数，在 上为单调递减函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，则满足 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， ， .
（1）求 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
第 11页/共 17页【解析】
【分析】（1）首先化简集合 ，再根据交集、并集的定义计算可得；
（2）首先可判断 ，即可得到 ，解得即可.
【小问 1 详解】
由 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ；
【小问 2 详解】
因为 ，又 且 恒成立，即 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
16. 计算求值
（1） .
（2）已知 ， ，求 的值.
（3）已知： ，求 的值.
【答案】（1）0 （2）8
（3）10
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质计算即可.
（2）根据指数与对数的互化计算即可.
（3）先对式子进行化简，进而根据已知条件进行求解计算即可.
小问 1 详解】
.
第 12页/共 17页【小问 2 详解】
由 ， ，可得 ， .
所以 .
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
，所以
17. 已知函数 是指数函数.
（1）求 的表达式；
（2）判断 的奇偶性，并加以证明；
（3）解不等式： .
【答案】（1） ；
（2）奇函数，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由函数为指数函数有 ， 且 求出参数值，即可得解析式；
（2）利用奇偶性定义判断证明函数的奇偶性；
（3）利用指数函数的单调性列不等式求解集.
【小问 1 详解】
由题意 ，可得 或 ，
又指数函数中 且 ，故 ，则 ；
【小问 2 详解】
是奇函数，由解析式知函数定义域为 R，
第 13页/共 17页由 ，故 为奇函数；
【小问 3 详解】
由 在定义域 R 上单调递增，则 ，
所以 ，可得 或 ，解集为 .
18. 学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司 一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素
影响，该种产品在 2022 年 8 月份（价格浮动较大的一个月，以 31 天计）的最后 7 天无法进行销售，日销
售单价 （单位：千元/千克）与第 天（ ， ）的函数关系满足 （k
为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量 （单位：千克）与 的如下数据：
， ， ，已知第 4 天该产品的日销售收入为 256 千元（日销售收入 日
销售单价 日销售量）．
（1）给出以下三种函数模型：① ；② ；③ ，请
你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在 2022 年 8 月份的日销售量
与 的关系，并求出该函数的解析式；
（2）在（1）的基础上，求出该公司在 2022 年 8 月份第 1 天到第 12 天中，该产品日销售收入 （单位，
千元）的最小值．
【答案】（1） ；
（2）最小值为 250 千元.
【解析】
【分析】（1）由第 4 天该产品的日销售收入及 求出 k，再由销量的变化关系及函数模型选择函数
的关系式，再代入计算作答.
（2）利用（1）的函数模型求出 的表达式，再求出当 时， 的最小值作答.
【小问 1 详解】
当 时，由 ，得 ，即 ，（ ， ），
因为 ， ，则 ，而 ，即日销售量数据有增有减，
显然 ，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，
第 14页/共 17页将 ， 代入模型③得： ，解得 ，
所以模型③的函数解析式为 .
【小问 2 详解】
由（1）知，当 时， ， ，
因此
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时，该产品日销售收入 最小，最小值为 250 千元.
【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的
数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.
19. 已知函数 是偶函数.
（1）求 的值；
（2）当 ，函数 存在零点，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若函数 与 的图象只有一个公共点，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的概念结合对数运算即可求得 的值；
（2）将函数 存在零点，转化为方程 有实数根，令
确定函数 在 时的单调性与取值范围，即可得实数 的取值范围；
（3）若函数 与 的图象只有一个公共点，则转化为方程 ，令 （ ），
第 15页/共 17页得 ，根据一次方程分类讨论即可求得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
由题得 的定义域为 ，
∵ 是偶函数，∴ ，
即 对任意 恒成立，
∴ ，
∴ ；
【小问 2 详解】
即 ，因为当 ，函数 有零点，即方程 有
实数根.
令 ，则函数 与直线 有交点，∵
，
根据复合函数单调性可得 在 上单调递减，当 时有 ，
∴ ，则 ，
所以 a 的取值范围是 ；
【小问 3 详解】
因为 ，
又函数 与 的图象只有一个公共点，则关于 x 的方程 只有一个
解，
又函数 的定义域为 ，函数 的定义域满足 ，即当 时，定义域为
，当 时，定义域为 ，
第 16页/共 17页所以 ，令 ，得 ，
①当 ，即 时，此方程的解为 ，不满足题意；
②当 ，即 时，则 ，即 ，此时
，
又 ， ，所以此方程有一正一负根，且正根大于 ，
所以 ，解得 ，所以 ；
③当 ，即 时，则 ，即 ，若方程 有根两根
，
又 ， ，所以此时方程为两个负根，不符合题意；
④当 时，则 ，即 ，要使得方程 唯一的在 内的
根，
则 ，解得 ，
综合①②③④得，实数 m 的取值范围为： .
第 17页/共 17页
