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专题 02 实数
实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，
主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．实数的相关概念和运算．如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幂等知识点直
接考查．
2．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运
算理解的考查力度较．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作
平方根概念：如果一个数的平方等于 ，那么这个数就叫做 的平方根或二次方根，即 ，那么x叫做a
的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用 表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作
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负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
、
一、单选题
1．下列说发正确的的是（ ）
A．22的平方根是2 B．4是 16的算术平方根
C． 4平方根是 2 D．2的平方根是2
2．若m4 与m2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B．3 C．1 D．1
3． 25的算术平方根是（ ）
A．5 B．-5 C． 5 D． 5
4．估计 56的大小应在（ ）
A．7.1～7.3之间 B．7.3～7.5之间 C．7.5～7.7之间 D．7.7～7.9之间
5．下列各式正确的有（ ）个
7 4 7 13
① 0.4 0.2；② 1 ；③22的平方根是±2；④ 是1 的平方根．
9 3 6 36
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
7．若 (x2)2|3 y|0，则xy的正确结果是（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
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8． 17.2 4.147， 1.72 1.311，则 1720的值为（ ）
A．13.11 B．13.11 C．41.47 D．41.47
9．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形
的边长感受了 2dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，
下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知 8dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知 50dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知 13dm的大小
D．利用一个边长为 5dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 6dm的大小
1 1 1
10．已知：x (1991n 1991 n)（n是自然数）．那么(x 1+x2)n的值是（ ）
2
A．19911 B．19912 C．1n1991 D．1n19911
二、填空题
11．若m0，则 2m _________； 81的平方根是_________．
12．如下图55网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为_______．
13． 16 __； 49的算术平方根是 __.
14．一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是________．
15．如图是一个计算程序，当输出值y=9时，输入值x为_________．
y x
16．已知x、y是实数，且x y3 2，且xy1，则 ＝____．
x y
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三、解答题
17．已知一个正数的两个平方根是m3和2m15．
(1)求这个正数是多少？
(2)m5的算术平方根是多少？
18．某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的
边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计
划．
19．（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则
a ；b ；c ；d ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求3abcd32的值．
二 、立方根和n次方根
1、立方根概念：如果一个数的立方等于 ，即 那么x叫做 的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作 ，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的
立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示： （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
2、 次方根
概念：如果一个数的 次方（ 是大于１的整数）等于 ，这个数就叫做 的 次方根。
当 为奇数时，这个数叫做 的奇次方根。
当 为偶数时，这个数叫做 的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个： ；０的偶次方根为０： ；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
、
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．216的立方根是6 B．立方根是等于其本身的数为0
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1
C． 没有立方根 D．64的立方根是4
8
2．已知a，b满足 2a6 b2 0，则ab的立方根是（ ）
A．1 B．1 C．1 D．0
3．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则ab（ ）
A．1 B．0 C．1 D．2
4．82的6次方根是（ ）
A．2 B．-2 C．2 D．4
5．在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（ ）
A．立方 B．n次方 C．开奇次方 D．开偶次方
6．n a表示的含义是（ ）
A．a的正的n次方根 B．a的n次方根
C．当a0时，表示a的正的n次方根 D．当a0时，且n为奇数时，表示a的n次方根
7．下列运算中，正确的是（ ）
A．6 (ab)6 ＝a﹣b B．8 (a2b2)8 a2b2
C．4 a4 ﹣4b4 ＝a﹣b D．10(ab)10 ＝a+b
8．将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ）
8
A．2cm B．3cm C． cm D．2 2cm
3
二、填空题
9．计算 0=___________； 225=___________；3 216 ____________
10． 49的算术平方根是______， 64的立方根是______．
11．已知x13 27，则x的值是________．
12．a3的算术平方根是3，b2的立方根是2，则a3b的算术平方根为___________．
13．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是___________．
14．如果 15.62 3.9522，则 156200 ________； x 39.522，则x ________；如果323.72.872，
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3 2.37 1.3333，则3 0.0237 ________；3 x 1333.3，则x________．
15．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若a(a0)不是某个有理数的平方，则方
程x2 a有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程x3 b在有理数范围无解．而在实数范围
内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．现给出以下结论：①x9 3在实数范围内有解；②
x2022100在实数范围内的解不止一个；③x2x4 5在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任
意的a(a0)，恒有 a 3 a．其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
16．计算：682 _______________________．
三、解答题
17．计算：
(1)( 3)2 163 8；
121
(2)(2)3 (1)20133 27；
4
1 3
(3) (4)2 2 33 3242 ．
4 8
18．己知6a34的立方根是4，5ab2的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求3abc的平方根．
19．已知cb0a，且|b||a|，求 ab2 c2 bc b 3ba3 的值．
4x2 x244 xy
20．已知y ，求 的n次方根（n为大于1的整数）
x2 2
三 、实数与分数指数幂
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
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实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示
一个实数．
的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
2
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即 ≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即 ≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
m
nam an(a0)
（其中m、n为整数，n 1）.
1 m
a n(a0)
nam
1
说明：在说明ap 同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
ap
m m
上面规定中的an 和a n 叫做分数指数幂，a是底数.
、
一、单选题
1．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（ ）
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3 31 52 21
A． B． C． D．
2 3 3 2
1 2
2．在实数 ， ， 2，0.5，3.010010001（每2个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ）
2 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
4．纳米是一种长度单位，1纳米=0.000 000 001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用
科学记数法表示为（ ）
A．5.3104 B．5.3105 C．5.3106 D．5.3107
5．下列说法正确的是（ ）
A．38是无理数
B．38大于2
C．面积为8的正方形边长是 8
D．数轴上表示 8的点不存在
1
6．根式 （a0 ，m、n为正整数，n＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
n am
A． n B． m C． n D． m
am an a m a n
二、填空题
31 3
7．比较大小：3 5_______1； _________
4 4
22
8．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， 16 ，﹣0.9，5.4，39 ，0，﹣3.6，1.2020020002…
7
（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
9．如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示数为1，若AD AE，则数轴上点E所表示
的数为___________．
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10．把354 写成幂的形式是_____．
1
11．如果 3n ，那么n______．
33 3
12．已知m，n是两个连续整数，且m＜ 3+1＜n，则m+n＝_____．
13．已知m，n分别是 17的整数部分和小数部分，那么2mn 17的值是______．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为 3．若子轩同学
先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示
的数是_______．
三、解答题
1 1 1
15．计算：52 52 (3)0 ．
2
1 1
16．利用幂的性质计算：4824 32 6．
2 1 1
17．（1）计算： 5352 (3525)6 （结果表示为含幂的形式）．
3 7 1 1 1
（2）计算：2 53 552 5(1 )2 (2 )2．
9 4
18．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．
(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数
轴上表示的数．
19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近 2的近似值，请
回答如下问题：
(1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4 21.5，请用“逐步逼近”的方法估算 11在哪两个近似数之间
（精确到0.1）；
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(2)大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部地写出来，可
以用 21来表示 2的小数部分．
又例如：∵ 4 7 9，即2 7 3，
∴ 7的整数部分为2，小数部分为 72 ．
请解答：① 19的整数部分是___________，小数部分是___________；
②如果 6的小数部分为a， 13的整数部分为b，求ab 6的值；
x
③若x是 2 11的整数部分，y是 2 11的小数部分，求 y 2 11 的平方根．
一、单选题
1．（2018·上海·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．81平方根是9 B． 81的平方根是9
C．平方根等于它本身的数是1和0 D． a21一定是正数
2．（2022·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
2
A．38 B． C． 5 D．0.2022022022…
7
3．（2021·上海浦东新·模拟预测）无理数2 6的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．（2021·上海奉贤·三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A表示的数一定是整数
B．点A表示的数一定是分数
C．点A表示的数一定是有理数
D．点A表示的数可能是无理数
5．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）已知a0，下列四个选项中正确的是（ ）
A．a0 1 B．a1 a C．a2 a2 D． a 2 3 a3
6．（2022·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为 16 4；
n
③把237145精确到万位是240000；④对于实数a，规定
am man
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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二、填空题
7．（2022·上海嘉定·二模）化简：| 3 2|＝_____．
8．（2021·上海松江·二模）计算： 1＝___．
83
9．（2019·上海松江·中考模拟）计算： 5 ( 21)0 __．
10．（2018·上海·模拟预测）用幂的形式表示：3 72 =________．
11．（2019·上海虹口·中考模拟）在数轴上，实数2﹣ 5对应的点在原点的_____侧．（填“左”、“右”）
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距
离为 3的点所表示的数是________．
三、解答题
13．（2022·上海·二模）计算： (3)2 2 2(1)2021 8．
1 2
14．（2018·上海·模拟预测）利用幂的运算性质计算：
4934 ( 27)9
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