专题02反比例函数大题（二大题型）解析版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 02 反比例函数大题（二大题型） 通用的解题思路： 题型一．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有 交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 1 ①当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有2个交点； 1 2 1 ②当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有0个交点． 1 2 1 题型二．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能 力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、 待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个 函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比 较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题） k 3 1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线y  与直线y  x交于A，B两点．点A(2,a)和点B(b,3) 1 x 2 2 在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． k （1）求双曲线y  的表达式和a，b的值； 1 x （2）请直接写出使得y  y 的x的取值范围； 1 2 （3）若ABC 的面积为12，求此时C点的坐标．3 k 【分析】（1）把点A(2,a)和点B(b,3)代入y  x，求出a与b的值，再将A点坐标代入y  ，即可求 2 2 1 x 出反比例函数解析式； （2）根据A与B横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x的范围即可； （3）根据S S S 12，求出OC的长，进而得到此时C点的坐标． ABC AOC BOC 3 【解答】解：（1） 直线y  x过点A(2,a)和点B(b,3)，  2 2 3 3 a 23， b3， 2 2 b2． k 双曲线y  过点A(2,3)，  1 x k 236， k 6 双曲线y  的表达式为y  ； 1 x 1 x （2）观察图象，可得当x2或0x2时，反比例函数值大于一次函数值， 即使得y  y 的x的取值范围是x2或0x2； 1 2 （3） A(2,3)，B(2,3)，  S S S 12， ABC AOC BOC 1 1  OC3 OC312， 2 2 OC 4， 此时C点的坐标为(4,0)． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键． k 2．（2023•苏州）如图，一次函数y2x的图象与反比例函数y (x0)的图象交于点A(4,n)．将点A沿x x 轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD， k BD的中点C在反比例函数y (x0)的图象上． x （1）求n，k的值； （2）当m为何值时，ABOD的值最大？最大值是多少？ 【分析】（1）首先将点A(4,n)代入y2x可求出n，再将点A的坐标代入yk /x即可求出k； （2）过点C作直线EF x轴于F ，交AB于E，先证ECB和FCD全等，得BE DF ，CECF 4， 进而可求出点C(8,4)，根据平移的性质得点B(m4,8)，则BE DF m4，OD12m，据此可得出 ABDDm(12m)，最后求出这个二次函数的最大值即可． 【解答】解：（1）将点A(4,n)代入y2x，得：n8， 点A的坐标为(4,8)， k 将点A(4,8)代入y ，得：k 32． x （2） 点B的横坐标大于点D的横坐标，  点B在点D的右侧． 过点C作直线EF x轴于F ，交AB于E，由平移的性质得：AB//x轴，ABm， BCDF， 点C为BD的中点，  BC DC， 在ECB和FCD中， BCDF  BC DC ，  BCEDCF ECBFCD(ASA)， BEDF ，CECF． AB//x轴，点A的坐标为(4,8)，  EF 8， CECF 4， 点C的纵坐标为4， 32 由（1）知：反比例函数的解析式为：y ， x 当y4时，x8， 点C的坐标为(8,4)， 点E的坐标为(8,8)，点F 的坐标为(8,0)， 点A(4,8)，ABm，AB//x轴，  点B的坐标为(m4,8)， BEm48m4， DF BEm4，OD8(m4)12m ABODm(12m)(m6)2 36 当m6时，ABOD取得最大值，最大值为36． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键 是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最 值． k 3．（2024•常州模拟）如图，反比例函数 y 1 的图象与一次函数 yk xb的图象交于点 A(1,2)， x 2 1 B(4, )． 2 k （1）求函数y 1 和yk xb的表达式； x 2 （2）若在x轴上有一动点C，当S 2S 时，求点C的坐标． ABC AOB 1 k 【分析】（1）将点A(1,2)，B(4, )分别代入反比例函数y 1 和一次函数yk xb的解析式，求解即 2 x 2 可； （2）设AB与y轴交于点D，过点C作CE//y轴交AB于点E，利用三角形的面积公式，列出方程，求解 即可． 1 k 【解答】解：（1）将点A(1,2)，B(4, )分别代入反比例函数y 1 和一次函数yk xb的解析式， 2 x 2 k b2  2 k 122， 1 ， 1 4k b   2 2  1 k    2 2 k 2， ． 1 3 b  2 2 1 3 反比例函数的解析式为：y ，一次函数的解析式为：y x ． x 2 2 （2）如图，设AB与y轴交于点D，过点C作CE//y轴交AB于点E，设C(m,0)， 1 3 E(m, m )． 2 2 1 3 CE| m |． 2 2 3 令x0，则y ， 2 3 D(0, )， 2 3 OD ， 2 1 1 3 15 S  OD(x x )  [4(1)] ． AOB 2 B A 2 2 4 15 S 2S  ． ABC AOB 2 1 15 1 1 3 15  CE(x x ) ，即 | m |5 ． 2 B A 2 2 2 2 2 解得m3或m9， 点C的坐标为(3,0)或(9,0)． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反 比例函数的性质是解题的关键． m 1 4．（2024•常州模拟）如图，一次函数y kxb(k 0)与函数为y  (x0)的图象交于A(4,1),B( ,a)两 1 2 x 2 点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y  y 0时x的取值范围； 1 2 （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M ，交函数y 的图象于点Q，若POQ的面积为 2 3，求点P的坐标．m 【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y  (x0)，求得函数的解析式，进而求得B的坐标， 2 x 再将A、B两点坐标分别代入y kxb，可用待定系数法确定一次函数的解析式； 1 （2）由题意即求y  y 的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取 1 2 值范围； 1 4 4 （3）由题意，设P(p,2p9)且 „ p„ 4，则Q(p, )，求得PQ2p9 ，根据三角形面积公式得到 2 p p 1 4 S  (2p9 )p3，解得即可． POQ 2 p m 【解答】解：（1） 反比例函数y  (x0)的图象经过点A(4,1)，  2 x m 1 ． 4 m4． 4 反比例函数解析式为y  (x0)． 2 x 1 4 把B( ，a)代入y  (x0)，得a8． 2 2 x 1 点B坐标为( ，8)， 2 1 一次函数解析式y kxb图象经过A(4,1)，B( ，8)，  1 2 4kb1  1 ． kb8  2 k 2  ． b9 故一次函数解析式为：y 2x9． 1 （2）由y  y 0， 1 2 y  y ，即反比例函数值小于一次函数值． 1 2 1 由图象可得， x4． 21 （3）由题意，设P(p,2p9)且 „ p„ 4， 2 4 Q(p, )． p 4 PQ2p9 ． p 1 4 S  (2p9 )p3． POQ 2 p 5 解得 p  ， p 2． 1 2 2 5 P( ，4)或(2,5)． 2 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关 键． k 5．（2024•沭阳县模拟）如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 ymxn的图象相交于 A(a,1)， x B(1,3)两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线AB交y轴于点C，点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM x轴交反比例函数 k y 的图象于点M ，连接CN ，OM ．若S 3，求t的取值范围． x 四边形COMN 【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数 解析式； （2）先求出点C坐标，由面积关系可求解． k 【解答】解：（1） 反比例函数y 的图象与一次函数ymxn的图象相交于A(a,1)，B(1,3)两点，  x k 13a(1)， k 3，a3， 3 点A(3,1)，反比例函数的解析式为y ， x3mn 由题意可得： ， 13mn  m1 解得： ， n2 一次函数解析式为yx2； （2） 直线AB交y轴于点C，  点C(0,2)， 3 1 S S S   2t， 四边形COMN OMN OCN 2 2 S 3，  四边形COMN 3 1   2t 3， 2 2 3 t  ． 2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的 性质等知识，求出两个解析式是解题的关键． 1 6．（2024•宿迁二模）已知函数y 的图象与函数ykx(k 0)的图象交于点P(m,n) x （1）若m2n，求k的值和点P的坐标． （2）当|m|„ |n|时，结合函数图象，直接写出实数k的取值范围． n 【分析】（1）由ykx(k 0)得k  ，然后由m2n可得到k的值，设P(2n,n)，将点P的坐标代入反比 m 例函数解析式可求得n的值； n （2）由ykx(k 0)得k  ，然后结合条件|m|„ |n|可得k的取值范围． m 【解答】解：（1） ykx(k 0)，  y n n 1 k     ． x m 2n 2 m2n，  P(2n,n)， 2 2n n1，解得：n ．  2 m 2． 2 2 P( 2， )或( 2 ， )． 2 2（2） ykx，  y n k   ， x m |m|„ |n|，  k…1． 【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解 题的关键． 1 7．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y x5和y2x的图象相交于 2 k 点A，反比例函数y 的图象经过点A． x （1）求反比例函数的表达式； 1 k （2）设一次函数y x5的图象与反比例函数y 的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO的面 2 x 积． 【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．  1 y x5 x2 【解答】解：（1）由 2 得 ，  y2x y4 A(2,4)， k 反比例函数y 的图象经过点A，  x k 248， 8 反比例函数的表达式是y ； x 8 y   x x2 x8 （2）解 得 或 ， y 1 x5 y4 y1  2 B(8,1)， 1 由直线AB的解析式为y x5得到直线与x轴的交点为(10,0)， 2 1 1 S  104 10115． AOB 2 2 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键． m 8．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数 ykxb的图象与反比例函数 y 的图象相交于点 x A(2,4)、B(4,n)．C是y轴上的一点，连接CA、CB． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）若ABC 的面积是6，求点C的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； 1 （2）先求得D(0,6)，再根据S S S 得 CD(42)6，进而得出CD6，据此可得点C的 ABC BCD ACD 2 坐标． m 【解答】解：（1） 点A(2,4)在反比例函数y 的图象上，  x m248， 8 反比例函数解析式为y ； x 8 又 点B(4,n)在y 上，  x n2， 点B的坐标为(4,2)， 2kb4 把A(2,4)和B(4,2)两点的坐标代入一次函数ykxb得 ， 4kb2 k 1 解得 ， b6 一次函数的解析为yx6． （2）对于一次函数yx6，令x0，则y6， 即D(0,6)，1 根据题意得：S S S  CD(42)6， ABC BCD ACD 2 解得：CD6， OC 0或12， C(0,0)或(0,12)． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标 同时满足一次函数与反比例函数解析式． k 9．（2024•姜堰区一模）如图，一次函数y 2xa的图象与反比例函数y  (k 0)的图象在第一象限相 1 2 x 交于点A(m,n)，B(m2,3n)． （1）求a、k的值； （2）当y  y 0时，直接写出x的取值范围． 1 2 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到m3，代入A、B点的坐标再代入一次函数解析 式组成方程组求出n和a，最后求出k值即可； （2）根据函数图象直接写出当y  y 0时自变量取值范围即可． 1 2 【解答】解：（1） 点A(m,n)，B(m2,3n)都在反比例函数图象上，  mn3n(m2)， 整理得：2n(m3)0， m0，n0， m30，解得m3． A(3,n)，B(1,3n)在直线y 2xa的图象上，  1 6an n2  ，解得 ， 2a3n a8 A(3,2)， A(3,2)在反比例函数图象上，  k 6． a8，k 6． （2）由（1）可知：A(3,2)，B(1,6)，根据函数图象可知，y  y 0时，x的取值范围为：1x3． 1 2 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． k 10．（2024•昆山市模拟）如图，一次函数yk xb(k 0)的图象与反比例函数y 2 (k 0)的图象相交于 1 1 x 2 A，B两点，其中点A的坐标为(2,1)，点B的坐标为(1,n)． （1）求这两个函数的表达式； k （2）根据图象，直接写出满足k xb 2 的取值范围； 1 x （3）求ABO的面积． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图像直接写出不等式的解集即可； （3）根据S S S 代入数据计算即可． AOB AOC BOC 【解答】解：（1） A(2,1)，B(1,n)在反比例函数图象上，  k 21n， 2 k n2， 22 反比例函数解析式为：y ， x A(2,1)，B(1,2)在一次函数图象上，  2k b1 k 1  1 ，解得 1 ， k b2 b1 1 一次函数解析式为：yx1． k （2）根据两个函数图象及交点坐标，不等式k xb 2 的解集为：x2或0x1． 1 x （3）设直线AB与y轴的交点为C，则C(0,1)即OC 1， 1 1 3 S S S  12 11 ． AOB AOC BOC 2 2 2 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． k 3 11．（2024•兴化市一模）已知函数y  (k 是常数，k 0)，函数y  x9． 1 x 2 2 （1）若函数y 和函数y 的图象交于点A(2,6)，点B(4,n2)． 1 2 ①求k，n的值． ②当y  y 时，直接写出x的取值范围． 1 2 （2）若点C(8,m)在函数y 的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰 1 好落在函数y 的图象上，求m的值． 1 【分析】（1）①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； ②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可； （2）先根据平移条件得到D(5,m1)，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m值即可． 【解答】解：（1）① 函数y 和函数y 的图象交于点A(2,6)，点B(4,n2)，  1 2 k 264(n2)，解得：k 12，n5． 12 ②由①可知，反比例函数解析式为y ，图象分布在第一、三象限，A(2,6)，B(4,3) xy  y 时，x的取值范围为：0x2或x4． 1 2 （2） 点C(8,m)在函数y 的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，  1 D(5,m1)， k D恰好落在函数y  图象上，  1 x 5 5(m1)8m，解得m ． 3 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． k 12．（2024•南通模拟）如图，直线AB交双曲线y 于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的 x 中点，连接OA．若S 6．求k的值． OAC 【分析】设出点B的坐标，进而可以表示出点A和点C的坐标，再根据OAC的面积即可解决问题． k 【解答】解：设点B坐标为(a, )， a 点B为线段AC的中点，  2k  y 2y  ， A B a a 2k 则点A的坐标为( , )， 2 a x x  A C a， 2 3  x  a， C 2 3 则点C坐标为( a,0)． 2 又 AOC的面积为6，  1 3 2k   a 6， 2 2 a 解得k 4， 故k的值为4．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的 关键． k 13．（2024•亭湖区模拟）如图，等腰三角形OAB中，AO AB，点B坐标为(4,0)顶点A在反比例函数y x 的图象上，且OAB的面积为12． （1）k  12 ． k （2）过B点直线对应的解析式为yxb与双曲线y 在第一，三象限交点分别为点M ，N． x ①求点M ，N的坐标． k ②直接写出不等式 xb…0的解集． x 【分析】（1）过点A作AC OB于点C，利用三角形面积求得AC 即可求得点A的坐标是(2,6)，将点A 的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； （2）①求得一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求解； ②根据图象即可求得． 【解答】解：（1）过点A作AC OB于点C， 等腰三角形OAB中，AO AB，点B坐标为(4,0)，  OB4， OAB的面积为12，  1  OBAC 12， 2 AC 6， A(2,6)， k 顶点A在反比例函数y 的图象上，  x 解得：k 2612， 故答案为：12；（2）①把B点的坐标代入yxb得：4b0， b4， 过B点直线解析式为yx4， yx4  x6 x2 联立 12 ，解得 或 ，  y y2 y6  x M(6,2)，N(2,6)； k ②观察图象，不等式 xb…0的解集是0x„ 6或x„ 2． x 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，待定系数 法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点的求法，函数与不等式的关系，求得A点的坐标 以及数形结合是解题的关键 1 14．（2024•常熟市模拟）如图，一次函数 y x1的图象与 y轴相交于 B点，与反比例函数 2 k y (k 0,x0)图象相交于点A(m,2)． x （1）求反比例函数的表达式； （2）点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接BD．设点C的横坐标 为a，求当a为何值时，BCD的面积最大，这个最大值是多少？ 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．1 【解答】解：（1） 点A(m,2)在一次函数y x1的图象上，  2 1  m12，解得m6， 2 A(6,2)， 点A(6,2)在反比例函数图象上，  k 6212， 12 反比例函数解析式为：y ； x 1 （2）在一次函数y x1中，令x0，则y1， 2 B(0,1)， 1 点C的横坐标为a，点C的纵坐标为 a1，  2 12 D(a, )， a 12 1 CD  a1， a 2 1 12 1 S  (  a1)a BCD 2 a 2 1 1  a2  a6 4 2 1 25  (a1)2  ， 4 4 1  0，  4 25 S 有最大值，当a1时，最大值S  ． BCD BCD 4 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数关系式是关键． k 15．（2024•东海县一模）一次函数yx5与反比例函数y 的图象在第一象限交于A，B两点，其中 x A(1,a)． （1）求反比例函数表达式； k （2）结合图象，直接写出x5„ 时，x的取值范围； x k （3）若把一次函数yx5的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数y 的图象只有一个交点，请 x 直接写出b的值．【分析】（1）待定系数法求出k值即可； （2）根据图像和两个函数的交点坐标，直线写出不等式的解集即可； （3）把一次函数 yx5的图象向下平移b个单位得到新的解析式为： yx5b，联立方程组得到 x2 (5b)x40，利用判别式等于0，解出b值即可． 【解答】解：（1） A(1,a)在一次函数图象上，  a154，即A(1,4)， A(1,4)在反比例函数图象上，  k 144， 4 反比例函数解析式为：y ； x  4 y x1 x4 （2）联立方程组 x ，解得 或 ，  yx5 y4 y1 A(1,4)，B(4,1)， k 根据两个函数图象可知：不等式x5„ 的解集为：0x„1或x…4； x （3）把一次函数yx5的图象向下平移b个单位得到新的解析式为：yx5b， yx5b  4 联立方程组 4 ，消掉y得：x5b ， y x   x 整理得：x2 (5b)x40， △(5b)2 160， 5b4， b9或1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． k 16．（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 yaxb的图象相交于点 xA(2,3)和点B(n,2)． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； k （2）直接写出不等式 axb的解集； x （3）若点P是x轴上一点，且满足PAB的面积是10，请求出点P的坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函 数解析式； （2）通过观察图象交点求解； （3）设点P坐标为(m,0)，通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解． k k 【解答】解：（1）将(2,3)代入y 得3 ， x 2 解得k 6， 6 反比例函数解析式为y ． x 2n6， 解得n3， 所以点B坐标为(3,2)， 把(3,2)，(2,3)代入yaxb得： 23ab  ， 32ab a1 解得 ， b1 一次函数解析式为yx1； k （2）由图象可得当x3或0x2时式 axb； x （3）设点P坐标为(m,0)，一次函数与x轴交点为E，把y0代入yx1得0x1， 解得x1， 点E坐标为(1,0)． 1 1 5 S S S  3PE 2PE PE， PAB PAE PBE 2 2 2 5 5  PE10，即 |m1|10， 2 2 解得m3或m5． 点P坐标为(3,0)或(5,0)． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与 不等式的关系． 17．（2024•姑苏区校级模拟）如图，以x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCD，矩形长AD、BC交直 k 线yx3于点F 、E，反比例函数y (x0)的图象正好经过点F 、E． x （1）线段EF 长为 2 ； （2）求k值． 【分析】（1）表示出E、F 的坐标，然后利用勾股定理即可求得EF 的长度； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k m(m3)(m1)(m2)，解得即可． 【解答】解：（1） 点F 、E在直线yx3图象上，  设F(m,m3)，则E(m1，(m1)3)，即(m1,m2) EF  (m1m)2 (m2m3)2  2． 故答案为： 2； k （2） 反比例函数y (x0)的图象正好经过点F 、E，  xk m(m3)(m1)(m2)， 解得m1， k m(m3)122． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求 反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键． 18．（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yk xb(k ，b为常数，且k 0)与 1 1 1 k 反比例函数y 2 (k 为常数，且k 0)的图象交于点A(m,6)，B(4,3)． x 2 2 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； k （2）当 2 k xb0时，直接写出自变量x的取值范围； x 1 （3）已知一次函数 yk xb的图象与x轴交于点C，点P在x轴上，若PAC 的面积为9；求点P的坐 1 标． 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在x轴上方时，自变量的取值范围，即可求 解； （3）先求得点C的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． k 【解答】解：（1）将B(4,3)代入y 2 ， x 解得：k 12， 2 12 反比例函数表达式为y ， x 12 将A(m,6)代入y ， x 解得：m2， A(2,6)，将A(2,6)，B(4,3)代入yk xb， 1 2k b6 得 1 ， 4k b3 1  3 k  解得： 1 2，  b3 3 一次函数的表达式为：y x3； 2 （2） A(2,6)，B(4,3)，  k 根据函数图象可得：当 2 k xb0时，2x0； x 1 3 （3） y x3，令y0，  2 解得：x2， C(2,0)， 设P(p,0)， 则PC | p2|， PAC的面积为9，  1  | p2|69， 2 解得： p5或1， P(5,0)或P(1,0)． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数 图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． k 19．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数y k xb的图象与反比例函数y  2 ，分别交于点A和点B， 1 1 2 x 且A、B两点的坐标分别是A(1,2)和B(2．m)，连接OA、OB． k （1）求一次函数y k xb与反比例函数y  2 的函数表达式； 1 1 2 x （2）求AOB的面积．【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式，用AB两点坐标求出直线解析式即可； （2）求出直线AB与x轴的交点M 的坐标，利用S S S 代入数据计算即可． AOB BMO AMO 【解答】解：（1） 点A(1,2)在反比例函数图象上，  2 k 2，反比例函数解析式为：y ； x B(2．m)在反比例函数图象上，  m1，即B(2,1)， 点AB在一次函数y k xb的图象上，  1 1 k b2 k 1  1 ，解得： 1 ， 2k b1 b1 1 一次函数解析式为：yx1， （2）设直线AB交x轴于点M ，当y0，x1，M(1,0)，OM 1． 1 1 3 所以S S S  11 12 ． AOB BMO AMO 2 2 2 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，是两个函数值大 小的分界点． 20．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y2xb的图象与x轴交于点 k A(1,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y (x0)的图象交于点C，且ABBC．点D是x轴正半轴 x 上一点，连接CD，ODC 45． （1）求b和k的值； （2）求ACD的面积．【分析】（1）将点 A坐标代入一次函数解析式，求出b的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出 OH OA1，CH 2OB4，求出C点坐标，即可求出k的值； （2）根据ODC 45得到DCH 是等腰直角三角形，求出AD，再求ACD的面积即可． 【解答】解：（1）将点A(1,0)代入一次函数y2xb， 得2b0， 解得b2， B(0,2)， OB2， 在y2x2中，令y0，则x1， A(1,0)， OA1， 过点C作CH x轴于点H ，则CH //OB， OA OB AB    ， AH CH AC ABBC，  1 2 1    ， AH CH 2 AH 2，CH 4， OH OA1， C(1,4)， k 反比例函数y (x0)的图象过点C，  x k 144； （2） ODC 45，CH x轴于点H ，  DCH 45，DCH 是等腰直角三角形， DH CH 4， AD1146， 1 1 ACD的面积为： ADCH  6412． 2 2 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成 比例定理，等腰直角三角形的性质，求出点C坐标是解决本题的关键． m 21．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数 y kxb的图象与反比例函数 y  (x0)的图象交于点 1 2 x A(4,1)和点B(2,n)． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）过点B作BC  y轴于点C，连接OA，求四边形OABC 的面积； m （3）根据图象直接写出使kxb 成立的x的取值范围． x 【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m值，再将点B 代入反比例函数解析式求出nn值，然后将A、B点坐标代入一次函数解析数即可． （2）四边形OABC 的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函 数与坐标轴的交点即可求出面积． （3）结合图象确定x的取值范围即可． m 【解答】解：（1）将点A(4,1)代入y  (x0)中， 2 xm 得1 ，解得m4， 4 4 故y  ； 2 x 4 4 将点B(2,n)代入y  ，可得n 2， 2 x 2 将A(4,1)，B(2,2)代入y kxb， 1  1 14kb k  得 ，解得 2， 22kb  b3 1 故y  x3； 1 2 （2）如图所示， 1 对于一次函数y  x3， 1 2 令x0，则y 3，即E(0,3) 1 令y 0，则x6，即D(6,0)， 1 OD6，OE3， B(2,2)，BC  y轴，  BC 2，CE 321， 设AOD的高为h，由A(4,1)可知h1， S S S S 四边形OABC DOE BOE AOD 1 1 1  ODOE BCCE ODh 2 2 2 1 1 1  63 21 61 2 2 2 5； m （3）结合图象可知，当kxb 时， x x的取值范围为0x2或x4．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求 得正确的点的坐标，将四边形OABC 放在大三角形中求解面积． k 22．（2024•新北区一模）如图，反比例函数y (x0)与一次函数y2xm的图象交于点A(1,4)，BC  y x 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AB，若OD1，求ABC 的面积． 【分析】（1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将y1分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1） 点A(1,4)在反比例函数图象上，  k 144， 4 反比例函数解析式为：y ， x y2xm的图象过点A(1,4)，  421m．解得m2， 一次函数解析式为：y2x2． 4 （2）将y1代入y 得x4， x B(4,1)， 1 将y1代入y2x2得x ， 2 1 C( ，1)， 2 1 9 BC 4( ) ， 2 2 1 9 27 S   (41) ． ABC 2 2 4 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 23．（2024•武进区校级模拟）如图，直线 yx3与 y轴交于点 A，与x轴交于点D，与反比例函数k y (k 0)的图象交于点C，过点C作CBx轴于点B，AD3AC． x （1）求点A的坐标及反比例函数的解析式； k （2）若点E是直线yx3与反比例函数y (k 0)图象的另一个交点，求COE的面积． x DA DO 【分析】（1）求出点A、点D的坐标，然后表示出AO、DO的长度，再根据CB//y轴得出  ，由 AC OB AD3AC得出OD3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函 数解析式； （2）联立两个函数解析式求出点E坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可． 【解答】解：（1） 直线yx3与y轴交于点A，与x轴交于点D，  A(0,3)，D(3,0)，即OA3，OD3， CBx轴，  CB//y轴， DA DO   ， AC OB AD3AC ，  OD3OB， OB1， 点C的横坐标为1， 点C在直线yx3上，  点C(1,4)， k 144， 4 反比例函数的解析式为y ； x yx3  （2）联立方程组 4 ， y   xx1 x4 解得 或 ， y4 y1 直线与反比例函数图象的另一个交点E的坐标为(4,1)， 1 1 1 1 15 S S S  OA|x | OA|x | 31 34 ． COE AOC AOD 2 C 2 D 2 2 2 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式， 求出反比例函数解析式是解答本题的关键． 24．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yxb的图象经过点A(2,0)，与反比 k 例函数y 的图象交于B(a,4)，C两点． x （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点M 是反比例函数图象在第一象限上的点，且S 4，请求出点M 的坐标； MAB （3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC 方向平移，使其经过点C，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB方向平移，使其经过点B，平移后的两 条曲线相交于P，Q两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， PQ为这只“眸”的 “眸径”，请求出“眸径” PQ的长． 【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）由S 4，得点M 满足在与yx2距离为 2的直线上，即M 在yx或yx4上，列方程组 MAB 求出交点，即可求出点M ； （3）将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出PQ长即可． 【解答】解：（1）把A(2,0)代入yxb，得02b， b2， yx2， 把B(a,4)代入yx2，得4a2， a2， k 248， 8 y ， x 8 一次函数和反比例函数的表达式分别为：yx2，y ； x （2）令yx2中y0，得x2， 点A(2,0)， AB 22 22 4 2， 1 S 4 4 2h，  MAB 2 h 2，即点M 满足在与yx2距离为 2的直线上， 点M 在yx或yx4上， yx   x 2 2  x 2 2 由 8 ，得 1 ， 2 ，  y y 2 2 y 2 2  x 1 2 点M 在第一象限，  点M 坐标为(2 2，2 2)， yx4   x 22 3  x 22 3 由 8 ，得 1 ， 2 ，  y y 22 3 y 22 3  x 1 2 点M 在第一象限，  点M 坐标为(22 3，22 3)， 综上点M 坐标为(2 2，2 2)或(22 3，22 3)；8 8 （3）平移之后的曲线为：y 6和y 6， x6 x6  8 y 6   x6  x 2 7  x 2 7 由 ，得 1 ， 2 ， y 8 6 y 1 2 7 y 2 2 7  x6 点P(2 7 ，2 7)点Q(2 7 ，2 7)， PQ (4 7)2 (4 7)2 4 14． 【点评】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键． m 25．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知A(4,n)，B(2,4)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y x 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． m 【分析】（1）先把B点坐标代入代入y ，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确 x 定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和AOB的面积S S 进行 AOC BOC 计算； （3）观察函数图象得到当4x0或x2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方． m 【解答】解： B(2,4)在反比例函数y 的图象上，  x m2(4)8， 8 反比例函数解析式为：y ， x 8 把A(4,n)代入y ， x 得4n8，解得n2，则A点坐标为(4,2)． 把A(4,2)，B(2,4)分别代入ykxb， 4kb2 k 1 得 ，解得 ， 2kb4 b2 一次函数的解析式为yx2； （2） yx2，  当x20时，x2， 点C的坐标为：(2,0)， AOB的面积AOC的面积COB的面积 1 1  22 24 2 2 6； （3）由图象可知，当4x0或x2时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是 解题的关键，注意数形结合思想的正确运用． 题型二．反比例函数综合题（共8小题） 2 26．（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A、C在反比例函数y x 4 的图象上，点B、D在反比例函数y 的图象上，顺次连接这四个点得到四边形ABCD． x （1）若对角线AC、BD交于点O，直线AC的表达式为y8x，直线BD的表达式为yx． ①求证：四边形ABCD为平行四边形； ②求 ABCD的面积；  （2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，AB平行于x轴，求AC、BD的交点坐标； （3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，求证：AC、BD相交于点O．【分析】（1）①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定即可； ②先求出ABCD坐标，利用S 4S 代入数据计算即可； 平行四边形ABCD AOB 2 4 2 4 （2）设A( ，m)，B( ，m)，C( ，n)，D( ，n)，根据平行四边形性质得到mn，简化坐标 m m n n 2 4 2 4 字母可得A( ，n)，B( ，n)，C( ，n)，D( ，n)，根据坐标分别求出直线AC和BD的解析 n n n n 式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为(0,0)； 2 4 2 4 （3）设A(m, )，B(s, )，C(n, )，D(t, )，根据平行四边形性质得到mn，st，简化坐标字 m s n t 2 2 4 4 母可得A(n, )，C(n. )，B(t, )，D(t, )，根据坐标分别求出直线AC和BD的解析式，都是正比例 n n t t 函数，都过原点，即可得到交点坐标为(0,0)． 【解答】（1）①证明：直线AC的表达式为y8x，直线BD的表达式为yx都过原点，且点A、C在反 2 4 比例函数y 的图象上，点B、D在反比例函数y 的图象上， x x 根据两个反比例函数图象都是中心对称图形， AOCO，BODO， 四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；  2 2 y ②解：将函数y 与y8x联立方程组得： x ， x  y8x  1  1 x  x  解得 1 2， 2 2，  y 4  y 4 1 2 1 1 A( ，4)，C( ，4)， 2 2 同理求得：B(2,2)，D(2,2)，如图1，作AM x轴，垂足为M ，作BN x轴，垂足为N， 1 5 1 1 1 9 S S S S  24  4  22 ， AOB 梯形AMNB AOM BON 2 2 2 2 2 2 9 S 4S 4 18． 平行四边形ABCD AOB 2 2 4 2 4 （2）解：设A( ，m)，B( ，m)，C( ，n)，D( ，n)， m m n n AB//CD，ABCD，  2 4 4 2     ， m m n n 2 2 4 4     ， m n m n 2(mn) 4(mn)   ， mn mn mn2(mn)， mn0， mn， 2 4 2 4 A( ，n)，B( ，n)，C( ，n)，D( ，n)， n n n n n2 设直线AC解析式为：ykxb，代入点A、C坐标得：k  ，b0， 2 n2 直线AC的解析式为：y x， 2 n2 同理可得BD解析式为：y x， 4 直线AC与BD交于原点，交点坐标为(0,0)． 2 4 2 4 （3）证明：设A(m, )，B(s, )，C(n, )，D(t, )， m s n t AB//CD，ABCD， 2 4 4 2 2 2 4 4 mstn，即mnts，    ，即    ， m s t n m n s t 2(mn) 4(st) 4(mn)    ， mn st st mn 2(mn)   ， mn st mn 2(mn)   0， mn st 1 2 (mn)(  )0， mn st mn0，st0，  1 2   0， mn st mn0st ， mn，st， 2 2 4 4 A(n, )，C(n. )，B(t, )，D(t, )， n n t t 2 待定系数法求得直线AC解析式为：y x，函数图象过原点； n2 4 待定系数法求得直线BD解析式为：y x，函数图象过原点； t2 AC与BD的交点坐标为(0,0)． 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握平行四边形性质和巧设参数是解答本题的关键． m 27．（2024•东台市一模）如图，已知A(3,2)，B(n,3)是一次函数ykxb的图象与反比例函数y 的 x 图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与y轴的交点坐标，根据S S S 代入 AOB AOC BOC 数据计算即可； （3）分两种情况讨论①当OAOP时，在坐标轴上存在四个P的位置满足AOP等腰三角形，②当PAPO 时，存在两个满足条件的P点，P点是线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点，分别求出满足条件的P点坐 标即可． m 【解答】解：（1） 已知A(3,2)，B(n,3)是一次函数ykxb的图象与反比例函数y 的图象的两个  x 交点， m323n， m6，n2， 6 反比例函数解析式为：y ； x （2） A(3,2)，B(2,3)在一次函数ykxb图象上，  3kb2 k 1  ，解得 ， 2kb3 b1 一次函数解析式为：yx1， 设一次函数与y轴交点为C，则C(0,1)，OC 1， 1 1 5 S S S  13 12 ； AOB AOC BOC 2 2 2 （3） A(3,2)，  OP 32 22  13， ①当OAOP时，在坐标轴上存在四个P的位置满足AOP等腰三角形， P(0, 13)、P( 13，0)、P(0, 13)、P( 13，0)； 1 2 3 4 ②当PAPO时，存在两个满足条件的P点，P点是线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点， A(3,2)在直线OA上，  2 3 直线OA的k  ，线段OA的中点坐标( ，1)， 3 2 3 设线段OA垂直平分线解析式为y xb， 2 3 9 13 将点( ，1)坐标代入得：1 b，解得b ， 2 4 4 3 13 线段OA垂直平分线解析式为y x ， 2 413 13 当x0时，y ；当y0时，x ， 4 6 13 13 P(0, )，P( ，0)． 5 4 6 6 综上所述，满足条件的P点有 6 个，坐标为：P(0, 13)、P( 13，0)、P(0, 13)、P( 13，0)、 1 2 3 4 13 13 P(0, )、P( ，0)． 5 4 6 6 【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 28．（2023•泰州）在平面直角坐标系 xOy中，点 A(m,0)、 B(ma， 0)(am0)的位置和函数 m ma y  (x0)、 y  (x0)的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数 1 x 2 x y 的图象相交于点E，CD边与函数y 、y 的图象分别相交于点G、H ，一次函数y 的图象经过点E、 1 1 2 3 G，与y轴相交于点P，连接PH ． （1）若m2，a4，求函数y 的表达式及PGH 的面积； 3 （2）当a、m在满足am0的条件下任意变化时，PGH 的面积是否变化？请说明理由； （3）试判断直线PH 与BC边的交点是否在函数y 的图象上？并说明理由． 2 【分析】（1）先确定E、G两个点的坐标，再利用待定系数法求出函数y 的表达式，进而求出点P的坐标， 3 结合H 点求PGH 的面积；（2）按（1）的思路求解； （3）用a，m表示直线PH 与BC边的交点，验证是否在函数y 的图象上． 2 【解答】（1） m2，a4，  2 2 点A(2,0)，B(2,0)，y  ，y  ， 1 x 2 x 1 1 点E(2,1)，G( ，4)，H( ，4)， 2 2 一次函数y 的图象经过点E、G，  3 设y kxb，则 3 2kb1  1 ， kb4  2 k 2  ， b5 函数y 的表达式为y 2x5， 3 3 P(0,5)， PM OPOM 1， 1 1 1 S  HGPM  11 ． PGH 2 2 2 m ma （2） 点A(m,0)，B(ma,0)，y  ，y  ，  1 x 2 x m ma 点E(m,1)，G( ，a)，H( ，a)， a a 设y k xb ，则 3 1 1 kmb 1  1 1 km ， 1 b a   a 1 b a1， 1 P(0,a1)， PM OPOM 1， 1 1 m ma 1 S  HGPM  (  )1 ． PGH 2 2 a a 2 当a、m在满足am0的条件下任意变化时，PGH 的面积不变化． ma （3）设直线 PH 与 BC边的交点为 N，设直线 PH 为 yk xa1，代入 H( ， a)，得 2 ak (ma) 2 a1a， a a k  ， 2 am a y xa1， am 当xma时，y1， N(ma,1)， ma 点N在y  (x0)的图象上． 2 x 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，难在用字母表示，计算繁琐易出错． 29．（2024•盐城模拟）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长 的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 4 m 设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则xy4，2(x y)m，即y ，yx ， x 2 4 m 那么满足要求的(x,y)应该是函数y 与yx 的图象在第 一 象限内的公共点坐标． x 2 （2）画出函数图象 4 ①画函数y (x0)的图象； x m ②在同一直角坐标系中直接画出yx的图象，则yx 的图象可以看成是由yx的图象向上平移 2 个单位长度得到．（3）研究函数图象 平移直线yx，观察两函数的图象； 4 ①当直线平移到与函数 y (x0)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ，周长m的值 x 为 ； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m 的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为 ． 【分析】（1）由x0，y0，可得(x,y)在第一象限； m （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出yx 与x轴的交点坐标，即可求解； 2 （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可 求解； （4）联立方程组，可得2x2 mx200，由根的判别式可求解． 【解答】解：（1） x，y都是边长，周长为m，  x0，y0，m0， 4 m 满足要求的(x,y)应该是函数y 与yx 的图象在第一象限内的公共点坐标． x 2 故答案为：一； 4 （2）①y 的图象如图所示： x②yx的图象如图所示， m m yx 与x轴的交点为( ，0)，  2 2 m m yx 的图象可以看成是由yx的图象向右平移 个单位长度得到， 2 2 m 故答案为： ； 2  m yx   2 （3）①联立方程组可得： ， 4 y  x 1 整理得：x2  mx40， 2 两图象有唯一交点，  1 △ m2 160， 4 m8， 1 x2  8x40， 2 解得：x2， 交点坐标为(2,2)， 故答案为：(2,2)，8； ②由①知：0个交点时，0m8；2个交点时，m8；1个交点时，m8； 10 m （4）设相邻的两边长为x、y，则xy10，2(x y)m，即y ，yx ， x 2 10 y   x 联立方程组可得 ， m yx  2 整理得：2x2 mx200， 两函数有交点，  △m2 4220…0， m…4 10 ， 故答案为：m…4 10． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的 坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． k 30．（2023•镇江）如图，正比例函数y3x与反比例函数y (k 0)的图象交于A、B(1,m)两点，C点 x 在x轴负半轴上，ACO45． （1）m 3 ，k  ，点C的坐标为 ； （2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与AOC相似，求点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，在AOC中，tanAOH 3，ACO45，AO 10 ，用 解直角三角形的方法求出CO，即可求解； （2）证明点P在x轴的正半轴时，存在AOC∽BOP和AOC∽POB，即可求解． 【解答】解：（1）当x1时，y3x3m，即点B(1,3)， 将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k 313， 3 即反比例函数的表达式为：y ， x 根据正比例函数的对称性，点A(1,3)，由点O、A的坐标得，OA 10，过点A作AH x轴于点H ， 由直线AB的表达式知，tanAOH 3， 而ACO45， 设AH 3xCH ，则OH x，则AO 10x 10，则x1， 则AH CH 3，OH 1， 则COCH OH 4， 则点C的坐标为：(4,0)， 故答案为：3，3，(4,0)； （2）当点P在x轴的负半轴时， BOP90AOC，  又 BOPACO，BOPCAO，  BOP和AOC不可能相似； 当点P在x轴的正半轴时，AOC BOP， OA OC 若AOC∽BOP，则  1， OB OP 则OPOC 4， 即点P(4,0)； AO CO 若AOC∽POB，则  ， OP OB 10 4 即  ， OP 10 解得：OP2.5，即点P(2.5,0)， 综上，点P的坐标为：(4,0)或(2.5,0)． 【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到解直角三角形、三角形相似等知识点，其中（2），分类求解是 本题解题的关键． 31．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB4，M 是CD的中点，AE BM ，垂足为E．设BC x，AE  y， 试用含x的代数式表示y． 【由数想形 新知初探】 （2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具 有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象． 【数形结合 深度探究】 （3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；② 函数值y的取值范围是4 2  y4 2 ；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、 B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归 拓展总结】 （4）若将（1）中的“AB4”改成“AB2k”，此时y关于x的函数表达式是 ；一般地，当k 0， x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出 3条即可）． AB AE 1 1 【分析】（1）证得RtABE∽RtBMC，得出  ，由题意CM  CD AB2，利用勾股定理求 BM BC 2 2 4 y 4x 4x x2 4 得，BM  x2 4 ，即可得到  ，从而得到y  (x0)； x2 4 x x2 4 x2 4 （2）把P点的对称点Q(a,b)代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性； （3）观察图象即可判断；（4）分析函数的解析式即可得出函数的性质． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中，ABC BCM 90， ABEMBC 90， AEBM ，  AEB90， BAEABE90， AEBBCM ，MBC BAE， RtABE∽RtBMC， AB AE   ， BM BC AB4，点M 是CD的中点，  1 1 CM  CD AB2， 2 2 在RtBMC中，BM  BC2 CM2  x2 22  x2 4， 4 y   ， x2 4 x 4x 4x x2 4 y  (x0)； x2 4 x2 4 （2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下： 4a a2 4 若P(a,b)为图象上任意一点，则b ， a2 4 设P(a,b)关于原点的对称点为Q，则Q(a,b)， 4(a) (a)2 4 4a a2 4 当xa时，y  ，  (a)2 4 a2 4 4x x2 4 Q(a,b)也在函数y 的图象上， x2 4 4x x2 4 当x取任意实数时，函数y 的图象关于原点对称； x2 4 （3）观察图象，①函数值y随x的增大而增大；故正确， ②函数值y的取值范围是4 y4；故错误， ③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，④在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确． 故答案为：①④； 2kx x2 k2 （4）y关于x的函数表达式为y (x0,k 0)， x2 k2 当k 0，x取任意实数时，有如下相关性质： 当k 0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范围为2k  y2k； 当k 0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的取值范围为2k  y2k； 函数图象经过原点； 函数图象关于原点对称； 2kx x2 k2 故答案为：y (x0,k 0)． x2 k2 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象 和性质，数形结合是解题的关键． 32．（2024•武进区校级模拟）如图，在RtABC中，AC 8，BC 4，AC x轴，垂足为C，AB边与y k 轴交于点D，反比例函数y (x0)，的图象经过点A． x BD 1 （1）若  ，求直线AB和反比例函数的表达式； AB 4 （2）若k 8，将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F ，求点E的坐 标．【分析】（1）根据题意求得A(3,8)，B(1,0)，然后利用待定系数法即可求得线AB和反比例函数的表达式； 8 （2）作EH x轴于H ，由题意可知CF BC 4，进而求出OF ，CF ，设点E的坐标为(x, )，利用平 x 行线分线段成比例定理得求出x即可． 【解答】解：（1）在RtABC中，AC 8，BC 4，AC x轴，垂足为C， AC//OD， BD BO 1    ， AB BC 4 BO 1   ， 4 4 BO1， OC 3， A(3,8)，B(1,0)， 设直线AB为yaxb， 3ab8  ， ab0 a2 解得 ， b2 直线AB为y2x2， k 反比例函数y (x0)的图象经过点A，  x k 3824， 24 反比例函数的表达式为y ； x （2）作EH x轴于H ，由题意可知CF BC 4，AC 8， 设A(a,8)， 8 点A在反比例函数y 的图象上，  x A(1,8)， OC 1， OF 5， 8 设点E的坐标为(x, )， x OH x， FH 5x EH //AC，  EH HF   ， AC FC 8 x 5x 即  ， 8 4 解得x 1，x 4， 1 2 点E的坐标为(4,2)． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求 函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得交点坐标是解决问题的关键． m 33．（2024•苏州一模）如图，反比例函数y 的图象与一次函数ykxb的图象相交于A(3,1)，B(1,n) x 两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M ，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行 四边形，求点M 的坐标． m 3 【分析】（1）把A(3,1)代入 y 可得m3，即得反比例函数关系式为 y ，从而B(1,3)，将A(3,1)， x x B(1,3)代入ykxb即可得一次函数的关系式为yx2； 3 （2）在yx2中得C(0,2)，设M(m, )，N(n,n2)，而O(0,0)，由CM 、ON中点重合列方程组可得 m M( 3， 3)或M( 3， 3)． m 【解答】解：（1）把A(3,1)代入y 得： x m 1 ， 3 m3， 3 反比例函数关系式为y ； x 3 把B(1,n)代入y 得： x 3 n 3， 1 B(1,3)， 将A(3,1)，B(1,3)代入ykxb得： 3kb1  ， kb3 k 1 解得 ， b2一次函数的关系式为yx2； 3 答：反比例函数关系式为y ，一次函数的关系式为yx2； x （2）在yx2中，令x0得y2， C(0,2)， 3 设M(m, )，N(n,n2)，而O(0,0)， m 四边形OCNM 是平行四边形，  CM 、ON为对角线，它们的中点重合， 0mn0   3 ， 2 n20   m  m 3  m 3 解得 或 ， n 3 n 3 M( 3， 3)或( 3， 3)； 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题 的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．