专题02反比例函数大题（二大题型）原卷版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 02 反比例函数大题（二大题型） 通用的解题思路： 题型一．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有 交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 1 ①当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有2个交点； 1 2 1 ②当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有0个交点． 1 2 1 题型二．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能 力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、 待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个 函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比 较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题） k 3 1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线y  与直线y  x交于A，B两点．点A(2,a)和点B(b,3) 1 x 2 2 在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． k （1）求双曲线y  的表达式和a，b的值； 1 x （2）请直接写出使得y  y 的x的取值范围； 1 2 （3）若ABC 的面积为12，求此时C点的坐标．k 2．（2023•苏州）如图，一次函数y2x的图象与反比例函数y (x0)的图象交于点A(4,n)．将点A沿x x 轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD， k BD的中点C在反比例函数y (x0)的图象上． x （1）求n，k的值； （2）当m为何值时，ABOD的值最大？最大值是多少？k 3．（2024•常州模拟）如图，反比例函数 y 1 的图象与一次函数 yk xb的图象交于点 A(1,2)， x 2 1 B(4, )． 2 k （1）求函数y 1 和yk xb的表达式； x 2 （2）若在x轴上有一动点C，当S 2S 时，求点C的坐标． ABC AOB m 1 4．（2024•常州模拟）如图，一次函数y kxb(k 0)与函数为y  (x0)的图象交于A(4,1),B( ,a)两 1 2 x 2 点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y  y 0时x的取值范围； 1 2 （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M ，交函数y 的图象于点Q，若POQ的面积为 2 3，求点P的坐标．k 5．（2024•沭阳县模拟）如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 ymxn的图象相交于 A(a,1)， x B(1,3)两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线AB交y轴于点C，点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM x轴交反比例函数 k y 的图象于点M ，连接CN ，OM ．若S 3，求t的取值范围． x 四边形COMN 1 6．（2024•宿迁二模）已知函数y 的图象与函数ykx(k 0)的图象交于点P(m,n) x （1）若m2n，求k的值和点P的坐标． （2）当|m|„ |n|时，结合函数图象，直接写出实数k的取值范围．1 7．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y x5和y2x的图象相交于 2 k 点A，反比例函数y 的图象经过点A． x （1）求反比例函数的表达式； 1 k （2）设一次函数y x5的图象与反比例函数y 的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO的面 2 x 积． m 8．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数 ykxb的图象与反比例函数 y 的图象相交于点 x A(2,4)、B(4,n)．C是y轴上的一点，连接CA、CB． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）若ABC 的面积是6，求点C的坐标．k 9．（2024•姜堰区一模）如图，一次函数y 2xa的图象与反比例函数y  (k 0)的图象在第一象限相 1 2 x 交于点A(m,n)，B(m2,3n)． （1）求a、k的值； （2）当y  y 0时，直接写出x的取值范围． 1 2 k 10．（2024•昆山市模拟）如图，一次函数yk xb(k 0)的图象与反比例函数y 2 (k 0)的图象相交于 1 1 x 2 A，B两点，其中点A的坐标为(2,1)，点B的坐标为(1,n)． （1）求这两个函数的表达式； k （2）根据图象，直接写出满足k xb 2 的取值范围； 1 x （3）求ABO的面积．k 3 11．（2024•兴化市一模）已知函数y  (k 是常数，k 0)，函数y  x9． 1 x 2 2 （1）若函数y 和函数y 的图象交于点A(2,6)，点B(4,n2)． 1 2 ①求k，n的值． ②当y  y 时，直接写出x的取值范围． 1 2 （2）若点C(8,m)在函数y 的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰 1 好落在函数y 的图象上，求m的值． 1 k 12．（2024•南通模拟）如图，直线AB交双曲线y 于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的 x 中点，连接OA．若S 6．求k的值． OACk 13．（2024•亭湖区模拟）如图，等腰三角形OAB中，AO AB，点B坐标为(4,0)顶点A在反比例函数y x 的图象上，且OAB的面积为12． （1）k  ． k （2）过B点直线对应的解析式为yxb与双曲线y 在第一，三象限交点分别为点M ，N． x ①求点M ，N的坐标． k ②直接写出不等式 xb…0的解集． x 1 14．（2024•常熟市模拟）如图，一次函数 y x1的图象与 y轴相交于 B点，与反比例函数 2 k y (k 0,x0)图象相交于点A(m,2)． x （1）求反比例函数的表达式； （2）点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接BD．设点C的横坐标 为a，求当a为何值时，BCD的面积最大，这个最大值是多少？k 15．（2024•东海县一模）一次函数yx5与反比例函数y 的图象在第一象限交于A，B两点，其中 x A(1,a)． （1）求反比例函数表达式； k （2）结合图象，直接写出x5„ 时，x的取值范围； x k （3）若把一次函数yx5的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数y 的图象只有一个交点，请 x 直接写出b的值． k 16．（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 yaxb的图象相交于点 x A(2,3)和点B(n,2)． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； k （2）直接写出不等式 axb的解集； x （3）若点P是x轴上一点，且满足PAB的面积是10，请求出点P的坐标．17．（2024•姑苏区校级模拟）如图，以x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCD，矩形长AD、BC交直 k 线yx3于点F 、E，反比例函数y (x0)的图象正好经过点F 、E． x （1）线段EF 长为 ； （2）求k值． 18．（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yk xb(k ，b为常数，且k 0)与 1 1 1 k 反比例函数y 2 (k 为常数，且k 0)的图象交于点A(m,6)，B(4,3)． x 2 2 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； k （2）当 2 k xb0时，直接写出自变量x的取值范围； x 1 （3）已知一次函数 yk xb的图象与x轴交于点C，点P在x轴上，若PAC 的面积为9；求点P的坐 1 标．k 19．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数y k xb的图象与反比例函数y  2 ，分别交于点A和点B， 1 1 2 x 且A、B两点的坐标分别是A(1,2)和B(2．m)，连接OA、OB． k （1）求一次函数y k xb与反比例函数y  2 的函数表达式； 1 1 2 x （2）求AOB的面积． 20．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y2xb的图象与x轴交于点 k A(1,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y (x0)的图象交于点C，且ABBC．点D是x轴正半轴 x 上一点，连接CD，ODC 45． （1）求b和k的值； （2）求ACD的面积．m 21．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数 y kxb的图象与反比例函数 y  (x0)的图象交于点 1 2 x A(4,1)和点B(2,n)． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）过点B作BC  y轴于点C，连接OA，求四边形OABC 的面积； m （3）根据图象直接写出使kxb 成立的x的取值范围． x k 22．（2024•新北区一模）如图，反比例函数y (x0)与一次函数y2xm的图象交于点A(1,4)，BC  y x 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AB，若OD1，求ABC 的面积．23．（2024•武进区校级模拟）如图，直线 yx3与 y轴交于点 A，与x轴交于点D，与反比例函数 k y (k 0)的图象交于点C，过点C作CBx轴于点B，AD3AC． x （1）求点A的坐标及反比例函数的解析式； k （2）若点E是直线yx3与反比例函数y (k 0)图象的另一个交点，求COE的面积． x 24．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yxb的图象经过点A(2,0)，与反比 k 例函数y 的图象交于B(a,4)，C两点． x （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点M 是反比例函数图象在第一象限上的点，且S 4，请求出点M 的坐标； MAB （3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC 方向平移，使其经过点C，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB方向平移，使其经过点B，平移后的两 条曲线相交于P，Q两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， PQ为这只“眸”的 “眸径”，请求出“眸径” PQ的长．m 25．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知A(4,n)，B(2,4)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y x 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 题型二．反比例函数综合题（共8小题） 2 26．（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A、C在反比例函数y x 4 的图象上，点B、D在反比例函数y 的图象上，顺次连接这四个点得到四边形ABCD． x （1）若对角线AC、BD交于点O，直线AC的表达式为y8x，直线BD的表达式为yx． ①求证：四边形ABCD为平行四边形； ②求 ABCD的面积；  （2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，AB平行于x轴，求AC、BD的交点坐标； （3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，求证：AC、BD相交于点O．m 27．（2024•东台市一模）如图，已知A(3,2)，B(n,3)是一次函数ykxb的图象与反比例函数y 的 x 图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求AOB的面积； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标． 28．（2023•泰州）在平面直角坐标系 xOy中，点 A(m,0)、 B(ma， 0)(am0)的位置和函数 m ma y  (x0)、 y  (x0)的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数 1 x 2 x y 的图象相交于点E，CD边与函数y 、y 的图象分别相交于点G、H ，一次函数y 的图象经过点E、 1 1 2 3 G，与y轴相交于点P，连接PH ． （1）若m2，a4，求函数y 的表达式及PGH 的面积； 3 （2）当a、m在满足am0的条件下任意变化时，PGH 的面积是否变化？请说明理由； （3）试判断直线PH 与BC边的交点是否在函数y 的图象上？并说明理由． 229．（2024•盐城模拟）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长 的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 4 m 设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则xy4，2(x y)m，即y ，yx ， x 2 4 m 那么满足要求的(x,y)应该是函数y 与yx 的图象在第 象限内的公共点坐标． x 2 （2）画出函数图象 4 ①画函数y (x0)的图象； x m ②在同一直角坐标系中直接画出yx的图象，则yx 的图象可以看成是由yx的图象向上平移 2 个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线yx，观察两函数的图象； 4 ①当直线平移到与函数 y (x0)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ，周长m的值 x 为 ； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m 的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为 ．k 30．（2023•镇江）如图，正比例函数y3x与反比例函数y (k 0)的图象交于A、B(1,m)两点，C点 x 在x轴负半轴上，ACO45． （1）m ，k  ，点C的坐标为 ； （2）点P在x轴上，若以B、O、P为顶点的三角形与AOC相似，求点P的坐标．31．（2023•连云港）【问题情境 建构函数】 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB4，M 是CD的中点，AE BM ，垂足为E．设BC x，AE  y， 试用含x的代数式表示y． 【由数想形 新知初探】 （2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图象是否具 有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象． 【数形结合 深度探究】 （3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；② 函数值y的取值范围是4 2  y4 2 ；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点A、 B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归 拓展总结】 （4）若将（1）中的“AB4”改成“AB2k”，此时y关于x的函数表达式是 ；一般地，当k 0， x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出 3条即可）．32．（2024•武进区校级模拟）如图，在RtABC中，AC 8，BC 4，AC x轴，垂足为C，AB边与y k 轴交于点D，反比例函数y (x0)，的图象经过点A． x BD 1 （1）若  ，求直线AB和反比例函数的表达式； AB 4 （2）若k 8，将AB边沿AC边所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F ，求点E的坐 标． m 33．（2024•苏州一模）如图，反比例函数y 的图象与一次函数ykxb的图象相交于A(3,1)，B(1,n) x 两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）设直线AB交y轴于点C，点M ，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行 四边形，求点M 的坐标．