专题15相似三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 15 相似三角形 相似三角形是中考数学的重点和难点，基础概念和性质主要出现在选填题中，难点主要出现在解答题 中，尤其是第23题对逻辑推理，综合分析能力要求较高，还有第24，25题相似三角形的知识点可能渗透 在其中，压轴题对学生的综合能力考查要求更高。 1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的 和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查． 2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查. 一、比例线段及比例的性质 1.比例线段： （1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段 的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项. （2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫 做成比例线段，简称比例线段． （3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的 项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． （4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 ，那么线段ｂ叫做 线段ａ和ｃ的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致 也可以. 第 1 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2.比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 3.平行线分线段成比例定理 （1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例. （2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角 形的三边与原三角形三边的对应成比例. （3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这 条直线平行于三角形的第三边. （4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在 第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. （6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等. 这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图 形： 这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l//l//l，则 或 或 或 1 2 3 基本图形(2): 若DE//BC，则 或 或 或 基本图形(3): 若AC//BD，则 或 或 或 在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若 , , , , , 之一成立， 则DE//BC. 基本图形(3):若 , , , , , 之一成立， 第 2 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 则AC//DB. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； （2）平行线分线段成比例没有逆定理； （3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题 通常转化到“A”、“X”型中. A型 X型 AD AE AD AE DB EC 常用的比例式：  ,  ,  . DB EC AB AC AB AC （4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参 与作比例). 4.三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 要点： （1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍； （2）重心的画法：两条中线的交点. 二、黄金分割 1.黄金分割 是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项 (AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法： 已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C. 分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB， 设 AB＝ ，AC＝x，那么 CB＝ －x， 由 AC2＝AB·CB，得：x2＝ ·( －x) 整理后，得：x2＋ x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝ ∴ (不合题意，舍去) 第 3 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5-1 即AC＝ AB≈0.618AB， 则C点可作. 2 ②黄金分割的几何求法（尺规法）： 已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金分割点C. 作法：如图： (1)过B点作BD⊥AB，使BD＝ AB. (2)连结AD，在AD上截取DE＝DB. (3)在AB上截取AC＝AE. 则点C就是所求的黄金分割点. 证明：∵AC＝AE＝AD－ AB 而AD＝ ∴AC＝ ∴C点是线段AB的黄金分割点. 要点： ①一条线段有两个黄金分割点. ②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名 天文学家开普勒(Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以 看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学. 一、单选题 1．下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，5cm，0.6dm，8cm C．3cm，9cm，6cm，1.8dm D．1cm，2cm，3.5cm，4cm 2．已知线段a3cm，b12cm，线段c是线段a，b的比例中项，则c等于（ ） A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm 3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC CB，则下列等式成立的是（ ） A．AC2  ACAB B．AB2  ACAB C．BC2 CBAB D．AC2  ABBC 第 4 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4．下列说法正确的是（ ） A．A，B两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为1:5000，则A，B两地实际距离为35m 51 B．若AB1cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC CB，则AC  cm 2 C．任意两个菱形都相似 D．有一个角相等的两个等腰三角形相似 AD 2 5．如图，在 ABC中，DE∥BC，且  ．若DE6，则BC的长为（ ）  AB 3 A．8 B．9 C．12 D．15 BO 3 6．如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若  ，CO8，则AC的长为（ ） OD 4 A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG2，GD1，DF 5，则BC:CE（ ） A．3:5 B．1:3 C．5:3 D．2:3 8．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F ，如果EF 2，那么菱形ABCD的 周长为（ ） 第 5 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．24 B．18 C．16 D．8 二、填空题 a b c a2ab 9．已知   0，则 _____． 2 3 4 bc BP 51 10．已知点P是直线AB上一点，且  ，若线段AB的长为2，则线段AP的长为______． AB 2 11．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD1，则线段AB的长为___________ ． 12．如图1是某淘宝店新推出的鞋架，可抽象成图2，直线了l ∥l ∥l ，直线AC和DF被l 、l 、l 所截， 1 2 3 1 2 3 如果AB30cm；BC 50cm；EF 40cm，那么DE的长是___________． 13．已知G是  ABC的重心，过点G作GD∥AC交边AB于点D，作GE  AB交边AC于点E，如果四边形 ADGE的面积为2，那么 ABC的面积是______．  14．甲、乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1:5 000 000的地图上，那么甲、乙两地的图上距 离是________cm． 15．如图，在  ABC中，D，F 分别为BC，AC上一点，BD:DC 3:2，连接BF，AD，两线段相交于 点E，且AE:AD1:2，过点D作DG∥AC交BF于点G，则BE:EF _____． 第 6 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 16．如图，在 ABC中，D在AC边上，AD:DC＝1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若  BE＝2，则EC的长为__． 三、相似三角形 1.相似多边形 (1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比． ③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形 （1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法： 用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ ABC，读作△ABC相似于△DEF. （3）相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等 于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. （4）相似三角形的判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么 这两个直角三角形相似. （5）相似三角形应用举例 相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问 题，加深学生对相似三角形的理解和认识. 要点： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言， 若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 第 7 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．两个相似三角形的相似比是4:9，则其面积之比是（ ） A．2:3 B．4:9 C．9:4 D．16:81 2．如图，已知 ABC与 DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）   AB BC A．AD，BE B．AD且  DF EF AB AC C． AB，DE D．AE且  DE DF 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，DE:AE1:3，连接AC交BE于点F ，则△AEF 的面 积与△BCF的面积之比为（ ） A．3:4 B．9:16 C．9:1 D．3:1 OC OD 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若  ，则图中一定相似的三角形是 OB OA （ ） A．△BOA∽△BAD B．△BOA∽△COD C．△BOC∽△BCD D．△COB∽△CBA 5．如图，已知在RT ABC中，ACB90，CD AB于D，则下列结论错误的是（ ）  第 8 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．CDAB ACBC B．AC2  ADAB C．BC2 BDAB D．ACCD ABBC 6．如图，有一张锐角三角形纸片，边BC 3，高AD2，要把它加工成正方形纸片，使其一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形EFGH 纸片的周长为（ ） A．1 B．1.2 C．4.8 D．5 7．在 ABC中，ACB90，AC 4，BC 8，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与 ABC   相似，且相似比为1:2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE、AF交于点G，AF的中 8 点为H，连接BG、DH ．给出下列结论：①AFDE；②DG ；③HD∥BG；④ ABG与 DFH 相   5 似．其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第 9 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 二、填空题 9．若△ABC∽△DEF，它们的面积比为9:4，则它们的对应高的比为 _____． 10．如图所示，已知ÐABC= ÐADB，点D是AC的中点，CD1，则AB的长为 _____． 11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE40cm，EF 20cm，测得边DF 离地面的高度AC 1.6m，CD8m，则树高AB为______m． 12．如图，在Y ABCD中，E为AB延长线上一点，AB:BE2:3，若S 12cm2，则S  DFC EFB ___________． 13．如图，点E是  ABCD边AD的中点，连接AC、BE交于点F ．现假设可在Y ABCD区域内随机取点， 则这个点落在阴影部分的概率为______． 14．如图：在等边三角形ABC中，D，E，F 分别是BC，AC，AB上的点，DEAC，EF  AB， FDBC，若 ABC的面积为48，则 DEF的面积为________.   第 10 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 15．如图，在 ABC中，ACB90,AC 5cm,BC 7cm，点I为三角形的重心，HI BC于点H，则HI   ________cm． 3 16．在Rt△ABC中，C 90，AB5，sinB ，点D在斜边AB上，把 ACD沿直线CD翻折，使得点  5 A落在同一平面内的点A处，当AD平行Rt△ABC的直角边时，AD的长为______． 三、解答题 17．已知：如图，点D、F 分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线上，且满足 BDCF BC2．求证： (1)△ADB∽△FAC； (2)AFADBCDF ． 18．已知等腰  ABC中，AB AC，点D、E是边BC、AC上的点，且CD3BD，联结AD、BE，交点 为F ． AE (1)若AF 4DF，求 的值． EC (2)若BD2 DFAD，求证：BC2 4CEAC． 19．如图，在 ABC中，AB AC，AD为边BC上的中线，DEAB于点E．  第 11 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证： ADE∽ ABD；   (2)若AB13，BC 10，求AE的长； (3)在（2）的条件下，求tanADE的值． 20．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，BAC AED． (1)求证：ABADBCAE； AD AF (2)在边AC取一点F ，如果，  ，求证：AFED． BC AC 21．如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，点F 是AE上一点且BAFDACD，连接  CF． (1)求证：ADABAFAE； (2)求证：AFC ACB． 22．已知：如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE ED，过点B作  BF∥AC，交线段AE的延长线于点F． (1)求证：AC 3BF ； 第 12 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)如果AE 3ED，求证：ADAE ACBE． 23．如图，在  ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，AE2 EFEB， ADBEBCEAF ． (1)求证：AB AD； (2)若ADDC，求证：AFAD ACEF． 3 24．如图，在Rt△ABC中，ABC 90，AC 10，tanC  ，点D是斜边AC上的动点，连接BD，EF 4 垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E． (1)如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF 的长； (2)连接DE，如果 DEC和 ABC相似，求CE的长；   (3)当点F在边BA的延长线上，且AF 2时，求AD的长． 一、单选题 1．（2022·上海·上海市进才中学校考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 2．（2019·上海松江·统考中考模拟）在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD:BD2:3，那么下  列条件中能够判断DE∥BC的是（ ） DE 2 DE 2 AE 2 AE 2 A．  B．  C．  D．  BC 3 BC 5 AC 5 AC 3 3．（2021·上海长宁·一模）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（ ） A．5( 5-1) B．5( 5+1) C．10( 5-2) - D．5(3- 5) 4．（2022·上海普陀·统考二模）如图，已知直线l ∥l ∥l ，它们依次交直线l 、l 于点A、C、E和点B、 1 2 3 4 5 D、F，下列比例式中正确的是（ ） 第 13 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AC CD AB CD AC BD AC DF A．  B．  C．  D．  AE EF CD EF AE BF EC BD 5．（2022·上海·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC 并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（ ）     A．6 2cm B． 9 2 cm C． 7cm D． 253 2 cm 6．（2022·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么 以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（） A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定 7．（2022·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，B(0,2)，以A为顶点，BA为一边 作45角，角的另一边交y轴于C（C在B上方），则C坐标为（ ） 第 14 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 22 13 A．(0，6) B．(0,7) C．(0, ) D．(0, ) 3 2 8．（2021·上海浦东新·统考一模）如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如 果∠ACD=∠B，DE//BC，EF//CD，下列结论不成立的是（ ） A．AE2  AFAD B．AC2  ADAB C．AF2 AEAC D．AD2 AFAB 9．（2021·上海虹口·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交 1 边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝ ，S CEF＝1，那么S ABC的值是（ ） △ △ 3 A．3 B．6 C．9 D．12 10．（2021·上海奉贤·统考一模）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,BC 3AD，对角线AC、BD交于点 O,EF是梯形ABCD的中位线，EF 与BD、AC分别交于点G、H ，如果OGH 的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ） 第 15 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 1 11．（2023·上海静安·统考一模）已知  ABC  A 1 B 1 C 1  A 2 B 2 C 2 ，  ABC与△A 1 B 1 C 1 的相似比为 5 ，  ABC与 2 △ABC 的相似比为 ，那么△ABC 与△ABC 的相似比为_________． 2 2 2 3 1 1 1 2 2 2 12．（2022·上海金山·统考二模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE和 四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝________． 13．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC 2AD，点F 在BC的 延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD2CF，那么DEG与CFG的面积之比 等于______． 14．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如图，在 ABC中，ACB120，AC BC 6，点E在边AB  上且AE2BE，点F在边BC上，过点F作EF 的垂线交射线AC于点G，当Rt EFG的一条直角边与 ABC   的一边平行时，则AG的长为 _____． 15．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）如图1，ABC内有一点P，满足PABCBPACP，那 么点P被称为  ABC的“布洛卡点”．如图2，在△DEF中，DE=DF，EDF=90，点P是△DEF的一个“布 洛卡点”，那么sinDFP______． 第 16 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 16．（2022·上海虹口·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC 6，点E是BC的中点，连接AE， 点O是线段AE上一点，  O的半径为1，如果  O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的 取值范围是 __． 三、解答题 17．（2022·上海金山·统考二模）如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F 是AB边上一点，且BF＝CD． (1)求证：DE∥CF； (2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC． 18．（2022·上海松江·统考二模）已知：如图，两个 DAB和 EBC中，DADB，EBEC，   ADBBEC，且点A、B、C在一条直线上．联结AE、ED，AE与BD交于点F ． DF AB (1)求证：  ； BF BC (2)如果BE2 BFBD，求证：DF BE． 19．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，已知 ABC，点E在边AC上，且BAC CBE，过点A作BC的  平行线，与射线BE交于点D，连结CD． 第 17 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证：AB2 BEBD； 1 (2)如果AB4,cosABC  ． 4 ①当BEBC，求CE的长； ②当ABDC时，求BAC的正弦值． 20．（2022·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC 的中点，E、F分别是OM、ON上的点． (1)求证：∠AOM＝∠AON； 1 (2)如果AE∥ON，AF∥OM，求证：OEOM  AO2． 2 21．（2022·上海虹口·统考二模）已知：如图，AB、AC是  O的两条弦，AB AC，点M 、N 分别在弦 AB、AC上，且AM CN，AM  AN，联结OM 、ON． (1)求证：OM ON ； (2)当BAC为锐角时，如果AO2  AMAC，求证：四边形AMON为等腰梯形． 22．（2022·上海·校考模拟预测）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝ 9，AE＝6，AE2  ABAD，且DC∥AE． 第 18 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求证：DE2  AEDC； (2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积； (3)如图2，延长AD、BC交于点F，设BEx,EF  y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 第 19 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 20 页 共 20 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司