专题17归纳思想在两种题型中的应用（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 17 归纳思想在两种题型中的应用 通用的解题思路： 解决这类问题的基本思路是观察一归纳一猜想一证明(验证)，具体做法是:①认 真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系:②分析概括所给数式图 的特征，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论;③结 合问题所给的材料查是证明或验证结论的正确性。 题型一：数式规律中的猜想归纳思想 1．（2024•马鞍山一模）观察以下等式： 13 2 第1个等式：1  1， 2 2 1 46 2 第2个等式：   1， 2 3 3 1 99 2 第3个等式：   1， 3 4 4 1 1612 2 第4个等式：   1， 4 5 5 .....． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 2．（2024•包河区一模）观察下列等式： 1 1 2 a    ； 1 123 2 13 1 1 3 a    ； 2 234 3 24 1 1 4 a    ； 3 345 4 35  （1）猜想并写出第6个等式a  ； 6（2）猜想并写出第n个等式a  ； n （3）证明（2）中你猜想的正确性． 1 1 1 1 1 1 1 1 3．（2024•嘉善县一模）观察下面的等式： 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 5 ， 3 3 4 4 5 5 6 6  1 （1）写出 2023 的结果； 2025 （2）按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） （3）试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 4．（2024•新乐市一模）每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去组成这个年份的数字之和， 所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于 1910 年，他的快乐数字是 1910(1910)1899． （1）某人出生于1949年，他的快乐数字是 ； （2）你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被 整除，请你用所学知识说明你的猜想． （3）请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．5．（2024•长安区一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：152 1515225(12)10025； 第2个等式：252 2525625(23)10025； 第3个等式：352 35351225(34)10025；  按照以上规律，解决下列问题： （1）填空：752 7575  ； （2）已知1„ x„ 9且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 6．（2024•庐江县一模）观察下列等式： 3 2 32 12 第1个等式：   a； 1 3 3 4 2 42 22 第2个等式：   a； 2 4 8 5 2 52 32 第3个等式：   a； 3 5 15 6 2 62 42 第4个等式：   a； 4 6 24  按照以上规律，解决下列问题： （1）各等式都成立时，a ； （2）在（1）的条件下，写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．7．（2023•利辛县模拟）观察下列等式： 第①个等式：12 22 32 22， 第②个等式：22 32 72 62， 第③个等式：32 42 132 122， 第④个等式：42 52 212 202，  根据上述规律解决下列问题： （1）写出第⑤个等式； （2）写出你猜想的第?个等式（用含n的式子表示），并证明． 8．（2023•全椒县三模）观察下列等式： 22 第1个等式： 121； 1 32 1 第2个等式： 22 ； 2 2 42 1 第3个等式： 32 ； 3 3 52 1 第4个等式： 42 ； 4 4 62 1 第5个等式： 52 ； 5 5 ； 按照以上规律，解决下列问题 （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．9．（2023•夏邑县校级三模）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1„ a„ 9)．例如：当a4时，a5 表示的两位数是45． （1）尝试： ①当a1 时，152 2251210025； ②当a2 时，252 6252310025； ③当a3时，352 12253410025； ④当a4时，452 2025 ． 2 （2）归纳：a5 与100a(a1)25有怎样的大小关系？试说明理由． 2 （3）运用：若a5 与100a的和为6325，求a的值． 10．（2023•凤台县校级三模）观察等式： 3 1 1 第1个等式：   ； 24 3 234 4 1 1 第2个等式：   ； 35 4 345 5 1 1 第3个等式：   ； 46 5 456  根据以上等式的规律，解答下列问题： （1）直接写出第5个等式： ； （2）猜想并写出第n个等式，证明你所猜想的正确性．1 32 11．（2023•萧县三模）观察下列等式：第1个等式：11  ； 5 15 1 1 42 第2个等式：1   ； 2 6 26 1 1 52 第3个等式：1   ； 3 7 37  按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 12．（2023•无为市四模）观察下列等式： 1 1 1 第1个等式：:   ； 1 12 2 1 1 1 第2个等式：   ； 2 23 3 1 1 1 第3个等式：   ； 3 34 4 1 1 1 第4个等式：   ； 4 45 5  按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式： ． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．13．（2023•思明区模拟）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果完全 相同．文学上把这样的现象称为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如252，7887，34143．小明在 计算两位数减法的过程中意外地发现有些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一样，如： 65388356；91377319；54366345．数学上把这类等式叫做“减法回文等式”． （1）①观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”； ②请归纳“减法回文等式”的被减数ab（十位数字为a，个位数字为b)与减数cd 应满足的条件，并证 明． （2）两个两位数相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，请你直接写出“乘法回文等式”的因数 xy与因数mn应满足的条件． 14．（2023•武安市三模）某数学兴趣小组研究如下等式：38321216，53573021，71795609， 84867224．观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一 定的规律”． （1）根据上述的运算规律，直接写出结果：5852 ；752  ； （2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b(a0,b0)． ①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如:3832调 换为8323)．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，求证：mn能被99整除．15．（2024•安徽模拟）【观察】观察下列式子： ①14223； ②25234； ③36245； ④47256； 【猜想】根据上述式子猜想式子⑥：692  ； 【发现】用含n的式子表示出第n个式子： ； 202120242 【应用】利用你发现的规律计算： ． 202220252 16．（2024•芜湖二模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都 是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15， ，我们把第1个数记为a ，第2个数记为a ，第3个数记为a ，，第n个数记为a ． 1 2 3 n （1）根据这列数的规律，a  ，a  ； 8 n （2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由．17．（2024•池州二模）观察下列式子： 第1个等式：132 10(1016)19； 第2个等式：232 10(1026)29； 第3个等式：332 10(1036)39；  （1）请写出第4个等式： ； （2）设一个两位数表示为10a3，根据上述规律，请写出(10a3)2的一般性规律，并予以证明． 18．（2024•庐江县校级模拟）观察下列等式： 1 1 0 第1个等式：   ； 1 1 11 1 1 1 第2个等式：   ； 3 4 43 1 1 22 第3个等式：   ； 5 9 95 1 1 32 第4个等式：   ； 7 16 167 （1）请你按照上述等式规律写出第5个等式； （2）根据上述等式规律写出第n个等式； （3）证明（2）中你所写等式的正确性．19．（2024•沅江市一模）设a 32 12，a 52 32，a 72 52，容易知道a 8，a 16，a 24， 1 2 3 1 2 3 如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以a ，a ，a 都能被8整除． 1 2 3 （1）试探究a 是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论． n （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a ，a ，a a 这一系 1 2 3 n 列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，a 为完全平方数． n 20．（2023•新华区校级二模）【发现】如果一个整数的个位数字能被 5 整除，那么这个整数就能被 5 整 除． 【验证】如： 34510031045，  又 100和10都能被5整除，5能被5整除，  10031045能被5整除， 即：345能被5整除． （1）请你照着上面的例子验证343不能被5整除； （2）把一个千位是a、百位是b、十位是c、个位是d的四位数记为abcd．请照例说明：只有d等于5或 0时，四位数abcd才能被5整除． 【迁移】（3）设abc是一个三位数，请证明；当abc的和能被3整除时，abc能被3整除．题型二：图案规律中的猜想归纳思想 1．（2023•枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅 图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特 征： ， ； （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征． 2．（2024•肥西县一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，拼如图的方式拼图，请根据图中的信息完成 下列的问题： （1）在图②中用了 块白色正方形，在图③中用了 块白色正方形； （2）按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用 块白色正方形； （3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2024块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果 可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．3．（2024•镜湖区校级一模）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题： （1）图6中的“☆”的个数有 个； （2）图n中的“☆”的个数有 个； （3）图n中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关 知识说明理由． 4．（2024•宣城模拟）【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个 正方形；第3个图案有8个正方形； 依此规律，请解答下面的问题． 【规律发现】 （1）第5个图案有正方形 个． （2）第n个图案有正方形 个． 【规律应用】 （3）结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）．依此规律，是否可以 组成第n个图案（正方形一次性用完），若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．5．（2024•淄博模拟）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： （1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③  黑色瓷砖的块数 4 7  黑白两种瓷砖的总块数 9 15  （2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为 ，黑白两种瓷砖的总块数为 （用含n的代数式 表示）； （3）白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 6．（2024•蜀山区模拟）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图 1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地 砖有11块，三角形地砖有10块；． （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块； （2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； （3）当a25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．7．（2024•瑶海区校级模拟）将字母“C”，“ H ”按照如图所示的规律摆放，其中第1个图形中有1个字 母C，有4个字母H ；第2个图形中有2个字母C，有6个字母H ；第3个图形中有3个字母C，有8个 字母H ；根据此规律解答下面的问题： （1）第4个图形中有 个字母C，有 个字母H ； （2）第n个图形中有 个字母C，有 个字母H （用含n的式子表示）； （3）第2024个图形中有 个字母C，有 个字母H ． 8．（2024•蚌埠模拟）【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作a ，图2中小正方形个数记作a ，，图n中小正方形个数记作a ，则 1 2 n a  ，a a  a  ；（用含n的式子表示） n 1 2  n 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数n，使得a a  a 等于a 的4倍？ 1 2  n n9．（2024•蜀山区一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： （1）第5个图案有 颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为 ； （2）据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明 理由． 23 10．（2024•长丰县一模）如图，第1个图案中“〇”的个数为12，“●”的个数为 ； 2 34 第2个图案中“〇”的个数为23，“●”的个数为 ； 2 45 第3个图案中“〇”的个数为34，“●”的个数为 ； 2  （1）在第n个图案中，“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ．（用含n的式子表示） （2）根据图案中“●”和“〇”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得第n个图案中“●”的个数是 2 “〇”的个数的 ． 311．（2024•阜阳一模）【观察思考】 【规律发现】 （1）第4个图案中黑色方块的个数为 ，黑、白两种方块的总个数为 ． （2）第n个图案中黑色方块的个数为 ，黑、白两种方块的总个数为 .（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）白色方块的个数可能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理 由． 12．（2024•安徽模拟）【观察思考】下列是由空白长方形和阴影长方形构成的图案： 【规律发现】请用含n的式子填空： 图1中有12块阴影长方形，空白长方形有32128（块)； 图2中有22块阴影长方形，空白长方形有422212（块)； 图3中有32块阴影长方形，空白长方形有523216（块)；  （1）图n中有 块阴影长方形，空白长方形有  （块)； 【规律应用】 （2）在图n中，是否存在空白长方形的块数恰好比阴影长方形块数少8块？若存在，通过计算求出n的值；若不存在，请说明理由． n(n1) 13．（2023•芜湖三模）观察与思考：我们知道123n ，那么13 23 33 n3结果等于 2 多少呢？ 请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：? （1）尝试：第5个图形可以表示的等式是 ； （2）概括：13 23 33 n3  ； 13 23 20233 （3）拓展应用：求 的值． 1232023 14．（2023•青岛二模）如图，(n1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B DC 的面积 2 1 1 为S ，△B D C 的面积为S ，，△B D C 的面积为S ． 1 3 2 2 2 n1 n n n 【规律探究】： 探究一 探究二 探究三 △BB D △C AD ， B B :AC 1:2， B B :AC 1:3，  1 2 1∽ 1 1  2 3 2  3 4 3 BD :DC 1:1， B D :D C 1:2， B D :DC 1:3， 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 S  ． S  ，S  ． S  ，S  . 1 2 1 3 2 【结论归纳】 S  .（用含n的式子表示） n15．（2023•定远县二模）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5 盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推． ??按照以上规律，解决下列问题： （1）第4个图案需要花卉 盆； （2）第n个图案需要花卉 盆（用含n的代数式表示）； （3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花 卉的盆数． 16．（2023•定远县校级一模）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成 长方形． [观察思考] 第（1）个图形中有212张正方形纸片； 第（2）个图形中有2(12)623张正方形纸片； 第（3）个图形中有2(123)1234张正方形纸片； 第（4）个图形中有2(1234)2045张正方形纸片；  以此类推[规律总结] （1）第（5）个图形中有 张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：123n ；（用含n的代数式表示） [问题解决] （3）根据你的发现计算：101102103200． 17．（2024•宣城一模）如图所示的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方 形的个数为8，周长为18． （1）推测第4个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ； （2）推测第n个图形中，正方形的个数为 ，周长为 ；（都用含n的代数式表示）． 18．（2024•安徽二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为 ，“O”的个数为 ； （2）第n个图案中“●”的个数为 ，“O”的个数为 ；【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“O”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n 的最大值为 ；此时还剩下 枚棋子． 19．（2024•合肥模拟）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为12，第2个图案中红梅花的盆数可表示为23，第3个图案中 红梅花的盆数可表示为34，第4个图案中红梅花的盆数可表示为45，，第n个图案中红梅花的盆数 可表示为 ； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅 花的排列方式及上述规律，求n的值． 20．（2024•河北一模）图1、图2均由边长为1的小正方形按照一定的规律排列而组成的．设图1中第n(n1)个图形有小正方形的个数为t ，图2中第n(n1)个图形有小正方形的个数为t ． 甲 乙 （1）请用含n(n1)的代数式表示t 、t ，并求n6时，t t 的值； 甲 乙 甲 乙 （2）比较t 和t 的大小，并说明理由． 甲 乙 21．（2024•安庆一模）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C 的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪 1 1 1 去一个边长为 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 的等边三角形后得到 2 4 1 1 1 图③，依次剪去一个边长为 , , 的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥ 8 16 32 （1）第5个图形中卡纸的周长C  ； 5 （2）记图n(n…3)中的卡纸的周长为C ，则C C  ； n n n1 1 （3）若C C  ，求n的值． n n1 512