文档内容
试卷类型：A
高一数学试题
2025.1
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横
贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以
上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若 ， ， ，则 ， ， 大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 若一个扇形的弧长为 4，面积为 2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 函数 的图象大致为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
6. 式子 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 若 ， ，且 ，则 最小值为（ ）
A. B. 25 C. 5 D. 1
8. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ，都有 ”的否定为“ ，使得 ”
B. 函数 的定义域是
C. 函数 （ ，且 ）的图象经过定点
D. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则当 时
10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B 若 ，则 ．
C. 将 的图象向右平移 个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象
D. 的图象关于直线 对称
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如， ， ．定义函数 ，则下列说法正确的是（
）
A. 的定义域为 B. 在区间 上单调递减
C. 当 时， 的最小值为 1 D. 当 时， 的最大值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若幂函数 在 上单调递减，则实数 ________．
13. 已知 是钝角， ，则 ________．
14. 已知函数 ，若函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围
是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ．
（1）求 ；
（2）设集合 ，若 ，求实数 的取值范围．
16. 设函数 ， ． ，用 表示 ， 中的最大者，记为
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学科网（北京）股份有限公司．已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值，并写出 的解析式；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
17. 某厂生产某种产品的年固定成本为 300 万元，每年生产 万件，需增加投入成本为 万元．当年产
量不足 9 万件时， ；当年产量不小于 9 万件时， ．通过
市场分析，每件产品售价定为 500 元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为 万元．
（利润＝销售收入一总成本）
（1）求年利润 的函数解析式；
（2）求年产量 为多少时，该厂的年利润 最大？
18 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）求 在区间 上的单调递增区间．
19. 悬链线是两端固定 一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线
形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种
特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为 ，双曲正弦函数为 ．
（1）求证： 为定值．
（2）设函数 ，
（i）判断 的单调性，并用定义证明；
（ii）若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
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