文档内容
试卷类型：A
高一数学试题
2025.1
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横
贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以
上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解分式不等式求 对应参数范围，结合充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
2. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用三角函数的定义可求代数式的值.
【详解】因为终边过点 ，故 ，所以 ，
故选：B.
3. 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可.
【详解】由 ，即 .
故选：A
4. 若一个扇形的弧长为 4，面积为 2，则这个扇形中心角的弧度数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的弧长及面积公式列方程求中心角弧度.
【详解】令扇形中心角为 ，半径为 ，则 ，可得 .
故选：D
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数图象性质排除选项 AB，然后根据特殊值的符号排除 D.
【详解】由题意得设 ，函数 定义域为 ，
，所以函数 奇函数.
对 A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数 为奇函数，故 A、B 错误；
对 C、D：由图象可知函数为奇函数，令 ，得 ，故 D 错误，故 C 正确.
故选：C
6. 式子 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得.
【详解】
.
故选：C.
7. 若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 25 C. 5 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ，且 ，
即 ，
且 ，当且仅当 时等号成立，
可得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最小值为 .
故选：B
8. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】应用和角正弦公式及已知可得 、 ，再由差角正弦公式
得 ，最后利用二倍角余弦公式求函数值.
【详解】由 ，
由 ，则 ，
所以 ，又 ，
而 ，
所以 .
故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ，都有 ”的否定为“ ，使得 ”
B. 函数 的定义域是
C. 函数 （ ，且 ）的图象经过定点
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学科网（北京）股份有限公司D. 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则当 时
【答案】ABD
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题写出命题的否定判断 A；由分式、对数的性质求函数定义域判断 B；
根据指数的性质求函数所过的定点判断 C；应用偶函数性质求函数解析式判断 D.
【详解】A：由全称命题的否定为特称命题，则“ ，都有 ”的否定为“ ，使得 ”，
对；
B：由解析式有 或 ，故函数定义域为 ，对；
C：由 ，故函数的图象必过定点 ，错；
D：若 ，则 ，故 ，
又 ，所以 ，对.
故选：ABD
10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则 ．
C. 将 的图象向右平移 个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象
D. 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数图象求函数解析式，代入法判断对称轴，再由正弦型函数的性质及图象平移写出对应解
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学科网（北京）股份有限公司析式，依次判断各项正误.
【详解】由图知， ，则 ，
且 ，则 ， ，
所以 ， ，又 ，则 ，A 错，
所以 ，则 ，故 不是对称轴，D 错，
由 及正弦函数的性质，知 必有 ，B 对，
将 的图象向右平移 个单位长度，则 ，
再把曲线上的各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）， ，C 对.
故选：BC
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如， ， ．定义函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 在区间 上单调递减
C. 当 时， 的最小值为 1 D. 当 时， 的最大值为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分式性质求定义域，由新定义有 时 判断单调性判断 A、B，讨论
、 ，结合函数新定义求 的值域，即可判断 C、D.
【详解】由解析式易知，函数定义域为 ，A 对；
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学科网（北京）股份有限公司当 ，则 ，故在区间 上单调递增，B 错；
当 时， ，此时函数最小值为 1，
当 时， ，则 ，当且仅当 时取等号，C 对；
当 时， ，
当 时， ，则 ，当且仅当 时取等号，D 对；
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若幂函数 在 上单调递减，则实数 ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的性质及区间单调性列方程、不等式求参数值.
【详解】由题意 .
故答案为：
13. 已知 是钝角， ，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据同角三角函数的关系得 ，应用诱导公式化简求值即可.
【详解】由 是钝角， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：
14. 已知函数 ，若函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围
是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】问题化为 与 恰有两个交点，根据分段函数解析式及二次函数、对数函数性质画出
大致图象，数形结合确定参数范围.
【详解】函数 恰有 2 个零点，即 与 恰有两个交点，
由函数 解析式，可得其大致图象如下，
如上图，当 或 时， 与 恰有两个交点.
故答案为： 或
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， ．
（1）求 ；
（2）设集合 ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）求解指数不等式求集合，再由交运算求集合；
（2）集合并运算求集合，再由包含关系并讨论 、 列不等式求参数范围.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 ，
当 时， ，解得 ，此时 ，
当 时，要使 ，则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
16. 设函数 ， ． ，用 表示 ， 中的最大者，记为
．已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值，并写出 的解析式；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集求参数值，进而有 ，再由 的定义求解析
式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求出 的最小值，根据不等式恒成立及对数函数的单调性列不等式求参数范围.
【小问 1 详解】
因为 的解集为 ，所以 是方程 的两个根，
由根与系数的关系得 ，解得 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，解得 或 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述， 的最小值为 0，所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，或 ，
所以 的取值范围是 .
17. 某厂生产某种产品的年固定成本为 300 万元，每年生产 万件，需增加投入成本为 万元．当年产
量不足 9 万件时， ；当年产量不小于 9 万件时， ．通过
市场分析，每件产品售价定为 500 元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为 万元．
（利润＝销售收入一总成本）
（1）求年利润 的函数解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求年产量 为多少时，该厂的年利润 最大？
【答案】（1） ；
（2）6 万件.
【解析】
【分析】（1）根据题意，分 、 求对应解析式，再写出其分段函数形式；
（2）在不同分段上，应用二次函数的性质、基本不等式分别求出对应的最值，再比较大小即可得最大利润
对应的产量 x.
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，最大值是 900 万元，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当 时， 取得最大值，最大值是 800 万元，
因为 ，所以，年产量为 6 万件时，该厂年利润 最大．
18. 已知函数 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值；
（3）求 在区间 上的单调递增区间．
【答案】（1） ；
（2）最大值 ，最小值 ；
（3） 和 .
【解析】
【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数解析式，再由正弦函数的性质求最小正周期；
（2）应用整体法求 对应区间，再由正弦函数性质求最值；
（3）换元法求 在给定区间的对应区间，结合正弦函数性质求单调递增区间.
【小问 1 详解】
，
所以， ，其最小正周期为 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ；
当 ，即 时， 取得最大值 .
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， 的单调递增区间是 和 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以，函数 在 上的单调递增区间为 和 .
19. 悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线
形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种
特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为 ，双曲正弦函数为 ．
（1）求证： 为定值．
（2）设函数 ，
（i）判断 的单调性，并用定义证明；
（ii）若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）函数 在 上单调递增，证明见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（1）根据函数定义，应用指数幂运算化简 ，即可证结论；
（2）（i）应用函数单调性定义及指数函数的单调性比较大小判断证明函数的单调性；（ii）奇偶性定义判断
的奇偶性，再应用奇偶性、单调性及不等式恒成立得 恒成立，应用换元法及
三角函数性质求右侧的最大值，即可得参数范围.
【小问 1 详解】
由题设 ，
所以 定值 1．
【小问 2 详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
（i）函数 在 上单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
则
．
因为 ，所以 ，即 ，又 ，
所以 ，即 ，故函数 在 上单调递增．
（ii）函数 的定义域为 ，因为 ，都有 ，
且 ，所以函数 为奇函数．
因为 ，所以 ，
因为 为奇函数，所以 ．
由（i）知，函数 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
设 ， ，
则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设 ，则 在 上单调递增，
，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：第二问二小问，利用函数的单调性和奇偶性将问题化为 恒
成立为关键.
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