文档内容
高一年级 3 月测评
数学
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 0.5mm的黑色字迹签字
笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由已知 ， ，
所以 .
2. 已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【详解】因为 为幂函数，所以 ，解得 ，
当 时， ，在 上单调递增，不符合题意，当 时， ，在 上单调递减，所以 ，
所以
3. 设 ，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【详解】对数函数 在 上单调递增，且 ，
因为 ，所以 ，即 ；
因为指数函数 在 上单调递增，且 ，
因为 ，所以 ，即 ；
又因为 ，因此大小关系为： .
4. 若不等式 的解集为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得 是方程 的两个根，
则 ，解得 ，则 .5. 已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，
则 ，解得 ，
所以 .
6. 已知角 的终边上一点 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【详解】根据三角函数的定义可知 ，
根据诱导公式和同角三角函数关系式可知
.
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. C. 4 D.
【答案】A【详解】因为 ，当 ，即 时取等号，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值为 ．
8. 已知函数 ，其中 ，若关于 的方程 恰有一个实数
根，则实数 的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【
详解】原方程 等价于：
和 共有一个实数根.
当 时，函数 在 上严格单调递增，因此在 上的值域为 ，
方程在 上有一个实根等价于 ，
令 ，则 ，结合题干 得 ，不等式等价于： ，
构造函数 ， ，
因为 均为 上的减函数，故 为 上的减函数，
而 ，故 的解为 ，故 的解为 .
故当方程在 上有一个实根时 .当 时，考虑方程 即 ，
，结合 分类：
当 ，
由韦达定理，两根之和 ，两根之积 ，故有 个负根；
当 或 ；
时，方程为 ，根 （不在 区间，无负根）；
当 ：方程为 ，根 （在 区间，有 个负根）；
当 ：方程无实根，无负根.
分类讨论总根个数：
当 ：方程 有 个负根，方程 无正根 总根个数 ，不符合题意；
当 ：方程 有 个负根，方程 无正根 总根个数 ，符合题意；
当 ：方程 无负根，方程 有 个正根 总根个数 ，符合题意；
故满足方程恰有一个实数根的 取值范围为： .
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【详解】选项A：由 得 ，根据正数平方的单调性， ，即 ，A正确；选项B：函数 在 上严格单调递增，因 ，故 ，B错误；
选项C： ，由 ，得 ， ，故 ，即 ，C正确；
选项D：不等式两边同乘负数 ，不等号方向改变，由 得 ，D错误.
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 若 ，则
【答案】ABD
【详解】由题意 ，
则 的最小正周期 ，故A正确；
令 ，则 ，为函数的最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
当 时， ，故C错误；因为 ，所以 ，
由题意 ，得 ，
所以 ，所以 ，
则
，故D正确.
11. 已知定义在 上的单调函数 满足：对任意 ，都有 且
.则以下结论正确的是（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 当 时，
C. 函数 是奇函数
D. 若 ，则
【答案】ACD
【详解】令 ，代入 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ，
对于A选项，因为 为定义在 上的单调函数，又 ， ，
所以函数 在 上单调递增，故A正确；对于B选项，在 中令 ，得 .
由 可知， ,
当 时，则 ，又 ，所以 ，
又函数 在上单调递增，所以 ，
所以 ，故B错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，所以函数 为奇函数，故C正确；
对于D选项，因为 ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等，
又 ，
所以 ，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算： __________.
【答案】 ##
【详解】原式13. 已知函数 ，则 的定义域为__________.
【答案】
【详解】由已知 ，
则 ，解得 ，
即函数的定义域为 .
14. 已知函数 与 ，若对任意的 ，总存在
，使得 成立，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【详解】因为 ，则 ，所以 .
因为 ，则 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， .
而对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
则有 在 上的取值范围是 在 上的取值范围的子集.
所以当 时，则有 ，解得 .当 时，则有 ，解得 .
综上所述， 取值范围为
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 .
（1）若 ，求 ；
（2）设命题 ，命题 ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由题意得， ，解得 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，
所以 或 ，又 ，
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知， ， ，
由题意命题 是命题 的充分条件，
所以 ，所以 ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
16. 为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入
生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材 万吨且全部售完，其总销售收入
（万元）与年产量 （万吨）满足如下关系式：
（1）写出年利润 （万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润 总销售收入 总成本）；
（2）当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元
【小问1详解】
由 ，
可得 ，
【小问2详解】
当 时， 是对称轴为 的二次函数，
则 在 上单调递增，
故当 时， 万元，时， ，
显然 ， ，
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立， 万元，
，
当年产量为 万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元.
17. 已知函数 的最小正周期为 ，最大值为 .
（1）求函数 的解析式和对称中心；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标
不变，得到函数 的图象.设函数 在区间 上有两个不同的零点，求实数 的
取值范围.
【答案】（1） ； ，
（2）
【小问1详解】由 ，得 ，而 ，得 .
所以由 ，得 ，而 ，
所以 ，则 .
由 解得 ， ，
所以 的对称中心为 ， .
【小问2详解】
将 的图象向左平移 个单位，得到函数
，再将所得图象上各点
的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 .
由函数 在区间 上有两个不同的零点，即
在区间 上有两个不同的交点.
而 时 单调递增， 时 单调递减，
且 ， ，，所以有 .
18. 已知 且 ，函数 是指数函数，且 .
（1）求实数 和 的值；
（2） 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一
根小于0，其中 ，求整数 的最大值.
【答案】（1） ，
（2）
（3）0
【小问1详解】
因为函数 是指数函数，
所以 ，即 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
又 ， 且 ，所以 ；
【小问2详解】
由（1）知 ，
由题意 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，则 ，记 ，
令 ，因为 ，所以 ，则 ，
由对勾函数单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ；
【小问3详解】
方程 ，
即方程 ，即方程 ，
令 ，则方程 ，
因为关于 的方程 的一根大于0，另一根小于0，
所以关于 的方程 的一根大于1，另一根大于0且小于1，
记 ，
所以 ，
所以 ，所以整数 的最大值为0.
19. 已知函数 在 上为奇函数， .（1）求实数 的值；
（2）求 在 上的值域；
（3）已知 ，若对任意 ，任意 ，不等式
都成立，求正数 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【小问1详解】
因为函数 在 上为奇函数，
所以 ，
所以 恒成立，
因为 ，可得 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
设 ，可得函数 为 上的减函数，
因为 ，函数 为单调递增函数，
根据复合函数的单调性，可得函数 为 上的减函数，所以 为 上的减函数，
则 ， ，所以函数 的值域为 .
【小问3详解】
由不等式 ，
即 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，
又因为函数 为 上的减函数，
所以 ，
因为 ，
整理不等式得 ，
因不等式对任意 恒成立，故左侧关于 的最大值须小于等于右侧，
由基本不等式知 ，当且仅当 时取等号，
故 ，即 ，
因为 ，令 ，
则 ，即 ，所以 ，因为 在 上为增函数，所以 ，
则 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以正数 的取值范围为 .
