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2024 年高一上学期数学月考试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 集合 或 ， ，若
（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必
要条件
3. 已知 为正实数，且满足 ，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. 8 D. 6
4. 若函数 ，则 值为
（ ）
A. 1 B. C. D.
5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数
d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到
，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
7. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江
海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小
点．我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一
年后是 ；而把 看作是每天“退步”率都
是 ，一年后是 若“进步”的值
是“退步”的值的100倍，大约经过 参考数据：
， （ ）天．
A. 200天 B. 210天 C. 220天 D. 230
8. 已知 ，函数 在区间 上的
最大值是5，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共20分）
9. 下列函数中，与函数 不是同一个函数的是（ ）A. B. C. D.
10. 以下说法正确的有（ ）
A. 设 ，则
B. 函数 的图象与函数 的图象关于直线
对称
C. 若 是偶函数，则
D. 函数 在区间 上的图象是一段连续曲线，如果
，则函数 在 上没有零点
11. 已知定义在 上的奇函数 满足
，若 ，则（ ）
A. 4为 的一个周期 B. 的图
象关于直线 对称
C. D.
12. 已知x，y均为正实数，且 ，则下列结论正确 是
（ ）
A. B. C. D.三、填空题（共20分）
13. 若函数 在区间 上存在零点，则常数a的
取值范围为_________．
14. 已 知 函 数 （ 且 ） 在 区 间
上单调递增，则a的取值范围是______．
15. 已知命题：“ ”为真命题，则
取值范围是______．
16. 已知函数 ，对任意的
， 恒成立，则 的取值范围为______．
四、解答题（共70分）
17. 计算下列各值：
（1） ；
（2） .
18. 已知函数 ．
（1）若函数 值域为 ，求a的取值范围；
（2）是否存在 ，使 在 上单调递增，若
存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
19. 已知 .
（1）求 的值；（2）求 的值.
20. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4
日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已
是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩
墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200万元.每生产
x 万盒，需投入成本 h（x）万元，当产量小于或等于 50 万盒时
； 当 产 量 大 于 50 万 盒 时
，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分
析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总
价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成
本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）
函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润
为多少万元.
21. 设矩形 的周长为 ，其中 .如图所示，
为 边上一动点，把四边形 沿 折叠，使
得 与 交于点 .设 ， .
（1）若 ，将 表示成 的函数 ，并求定
义域；（2）在（1）条件下，判断并证明 的单调性；
（3）求 面积的最大值.
22. 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性的
定义加以证明；
（3）解关于 的不等式 .
