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2024 年高一上学期数学月考试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 集合 或 ， ，若 （R 为实数
集），则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而
求解结论．
【详解】解： 全集 R， 或 ， ，
∵ ，
，
∴
结合数轴可知，当 时， ，
故 （R为实数集）时，a的取值范围为 ，
故选：C．
2. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】证明充分性可由 得到 ，代入 化简即可，证明必要性可由
去分母，再用完全平方公式即可.
【详解】充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
所以必要性成立，所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选： .
3. 已知 为正实数，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 8 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．
【详解】根据题意，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故选：C
4. 若函数 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 的解析式，从内而外依次求解函数值即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 .
故选：C.
5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类
数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变
化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可得 ，消去 即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即
，所以 .
故选：D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得 ，化弦为切求目标式的值.
【详解】由题设 ，又 .
故选：D
7. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过
程，
每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把 看作是每天的“进步”率都是 ，一
年后是 ；而把 看作是每天“退步”率都是 ，一年后是
若 “ 进 步 ” 的 值 是 “ 退 步 ” 的 值 的 100 倍 ， 大 约 经 过 参 考 数 据 ：
， （ ）天．
A. 200天 B. 210天 C. 220天 D. 230天
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得方程 ，根据指对数关系、对数运算性质求值即可.
【详解】设经过 x 天“进步 ”的值是 “退步 ”的值的 100 倍，则 ，即
，
．故选：D．
8. 已知 ，函数 在区间 上的最大值是5，则a的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对勾函数的单调性可得 ，分 ， ， 三种情况
讨论即可.
【详解】因为 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
当 时， ，
函数 最大值 ，所以 ，舍去；
当 时， ，符合题意；
当 时， ，
则 或 ，
解得 或 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选： .
【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得 ，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分
类讨论，分 ， ， 三种情况逐一分析.
二、多选题（共20分）
9. 下列函数中，与函数 不是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解： 的定义域为 ．
对于A， 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一函数；
对于B， 定义域为 ，与 定义域相同，对应关系相同，是同一
函数；
对于C， 的定义域为 ，与 定义域不同，不是同一函数；
对于D， ，与 的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10. 以下说法正确的有（ ）
A. 设 ，则
B. 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称
C. 若 是偶函数，则
D. 函数 在区间 上的图象是一段连续曲线，如果 ，则函数
在 上没有零点
【答案】AC
【解析】
【分析】由对数、指数的运算可判断A，由函数图象平移可判断B，由偶函数的定义可判断C，通过反例
可判断D.
详解】A，由 ，可得： ，则 ，所以 ，A正确；
B，函数 和 的图象关于直线 对称，
函数 的图象可由 的图象左移1个单位得到，
函数 图象可由 的图象右移2个单位得到，
所以函数 和 的图象关于直线 对称，B错误；
C， 的定义域是 ，由于 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
经验证 符合题意，C正确；D，函数 在区间 上的图象是一段连续曲线，
如果 ，则函数 在 上可能有零点，
例如 在 ，故D错误.
故选：AC.
11. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，若 ，则（ ）
A. 4为 的一个周期 B. 的图象关于直线 对称
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，
即可得出答案.
【详解】对于A：函数 为奇函数，则 ，
则 ，
则 的一个周期为4，故A正确；
对于B： ，则函数关于 对称，故B正确；
对于C： 的一个周期为4，
，
令 中的 ，则 ，
函数 为定义在 上奇函数，
，
，故C正确；
对于D： 的一个周期为4，
，
函数 为奇函数，
，
，故D错误；
故选：ABC.
12. 已知x，y均为正实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本不等式判断各选项．
【详解】A选项： ，所以 ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，故A错误；
B选项： ，由A知 ，则 ，故B正确；
C选项： ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，故C正确；
D选项：由 ，得 ，即
，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故D错误.
故选：BC．
三、填空题（共20分）
13. 若函数 在区间 上存在零点，则常数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为 在 上均为增函数，
所以函数 在区间 上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若 在区间 上存在零点，则
解得 ．
故常数a的取值范围为 ．
故答案为：
14. 已知函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得到 ，且 在 上大于等于0恒成立，即可得到
答案.
【详解】因为函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，
在 上单调递减，
所以 ，且 在 上大于等于0恒成立.
所以 .
故答案为：
15. 已知命题：“ ”为真命题，则 的取值范围是______．
【答案】（ ]
【解析】
【分析】先讨论 成立，然后讨论 时，利用二次函数的图像求解即可.
【详解】因为命题“ ”为真命题，当 时， 成立，
当 时，则 ，解得 ，故 的取值范围是 ，
故答案为：
16. 已知函数 ，对任意的 ， 恒成
立，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得 ，然后构造新函数 ，根
据函数的性质可得结果．
【详解】 ，定义域为 ，
则 ，可知函数 为奇函数，
又 均为增函数，所以 为增函数，
由 ，得 ，即 ，
则 ，即 ，由题意可知，对任意的 ， 恒成立，
令 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
四、解答题（共70分）
17. 计算下列各值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合换底公式运算求解即可.
【小问1详解】
原式 .
【小问2详解】
原式
.
18. 已知函数 ．
（1）若函数 的值域为 ，求a的取值范围；
（2）是否存在 ，使 在 上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】【分析】（1）由题意可得函数 的值域包含 ，进而结合 求解即
可；
（2）由题意可得函数 在 递减，且 对于
恒成立，进而列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由函数 的值域为 ，则函数 的值域包含 ，
则 ，解得 或 ，
即a的取值范围为 .
【小问2详解】
不存在，理由如下：
由函数 在 上单调递增，
则函数 在 递减，且 对于 恒成立，
所以 ，无解，
所以不存在 ，使 在 上单调递增.
19. 已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，根据两角和 正切公式运算求解；
（2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【小问1详解】
∵ ，则 ，
∴
【小问2详解】
由（1）可得： ，故 .
20. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早
在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接
了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 200万元.每生产x万盒，需投入成本h
（x）万元，当产量小于或等于 50 万盒时 ；当产量大于 50 万盒时
，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以
全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入
成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.
【答案】（1） ；
（2）产量为70万盒，最大利润为1200万元.
【解析】
【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.
（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.
【小问1详解】
依题意，当 时， ，
当 时， ，
所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为： .
【小问2详解】
当 时， 单调递增， ，当且仅当
时取等号；
当 时， ，当且仅当 时取等号，而
，
因此当 时， ，
所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.
21. 设矩形 周长为 ，其中 .如图所示， 为 边上一动
点，把四边形 沿 折叠，使得 与 交于点 .设 ，
.（1）若 ，将 表示成 的函数 ，并求定义域；
（2）在（1）条件下，判断并证明 的单调性；
（3）求 面积的最大值.
【答案】（1） ，
（2） 在 上单调递增，证明见解析
（3） .
【解析】
【分析】（1）通过几何关系确定 ，利用R 的三边关系建立 ， 的
关系，再利用 ，进而确定 的范围即可.
（2）应用函数单调性的定义证明即可；
（3）设 ，将面积表示为 ，适当变形应用基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
解：根据题意，由 ，得 ，
由已知 ，故 ，
又因为
故在 中，则 ，
即 ，整理得
又 ，则 ，故 ，
，所以，定义域为 .
【小问2详解】
解：因为 ， ，
任取 ， 且 ，则
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 在 上单调递增.
【小问3详解】
解：易知，当 点位于 点时， 面积最大.
此时再设 ， ，那么 ，
由 得 ， ，
所以， 的面积 ，
令 ，则 ， ，
故
，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，
故当 时， 的面积 的最大值为 .
22. 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（3）解关于 的不等式 .
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2） 在 上是单调递增函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；（2）利用函数的单调性定义求解；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，将 转化为
求解.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
由题意可知， ，
因为 的定义域为 ，且 ，
所以 是奇函数.
【小问2详解】
在 上是单调递增函数.
证明如下：
任取 ，设 ，则
.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上是单调递增函数.
【小问3详解】
由（1）（2）知 是 上单调递增的奇函数，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
可以转化为 ，
可化为 ，
即 ，
①当 时，不等式为 ，这时解集为 ；
②当 时，解不等式得到 ；
③当 时，解不等式得到 .综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集
为 .
