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雅礼教育集团 2025 年下学期期中考试试卷
高一数学
时量：120分钟 分值150分
命题人：李云皇 审题人：彭熹､汤芳
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的概念求解出结果.
【详解】因为 ， ，所以 .
.
故选：D
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定求解.
【详解】根据存在量词命题的否定可得，
的否定为 ，
故选：C
3. 将 化成分数指数幂的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解.
【详解】 .
故选：A.
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数定义域范围直接代入计算即可；
【详解】由题意可得，当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故选：B.
5. 已知 函数 是奇函数，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求出 即可判断.
【详解】 是奇函数，
等价于 ，即 ，
故 是 的充要条件.
故选：C
6. 若函数 的值域是 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为 ， 值域为 ，所以
， 的值域应包含 ，所以判断出函数的单调性和 范围，从而求出实数
的取值范围.
【详解】当 时， ，其开口向上，对称轴为 ，值域为 ，
由函数 的值域是 ，
则当 时， 的值域应包含 ，所以 为减函数，
所以 ，解得 ，故 的取值范围是 .
故选：C
7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表：
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（ ）
A. 17m3 B. 18m3 C. 19m3 D. 20m3
【答案】A
【解析】
【分析】根据收费标准，求出y关于x的分段函数，由水费的值，判断出用水量的范围，求出x的值，即
可求解．
【详解】设用水量为xm3，水费为y元，
当0≤x≤12时，y＝3x，当12＜x≤18时，y＝12×3+（x﹣12）×6＝6x﹣36，值域为
当x＞18时，y＝12×3+6×6+（x﹣18）×9＝9x﹣90，
∵12＜x≤18，
∴令6x﹣36＝66，解得x＝17，
故此用户居民本月用水量为17m3．
故选：A．
8. 已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线 但又不与该直线相交，当 时，
函数 有（ ）
A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的性质得 ，进而有 时 ，结合基本不等式
求最值即可.
【详解】由题设 ，且 ，则 ，
所以 ，则 时， ，
所以 ，令 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故 最大值为 .
故选：B
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数 过点 ，则B. 函数 表示幂函数
C. 若幂函数 在 单调递增，则
D. 幂函数的图象都过点 和
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数
的性质分析判断，对于D，举例判断即可.
【详解】对于A，设幂函数为 ，则 ，所以 ，所以A正确，
对于B，因为 的系数为2，所以函数 不是幂函数，所以B错误，
对于C，因为幂函数 在 单调递增，
所以 ，解得 ，所以C正确，
对于D，因为幂函数 的图象不过 ，所以D错误.
故选：AC
10. 下列命题中的真命题有（ ）
A. 当 时， 的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 当 时， 的最大值是5
D. 对正实数x，y，若 ，则 的最大值为3
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解；对B：令 ，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果；
对C：直接利用基本不等式即可求得结果；
对D：取特殊值，即可判断正误.
【详解】对A：当 时， ，
当且仅当 ，即 时取得等号，故A正确；
对B： ，
令 ，则 ，令 ，
又 在 上单调递增，故 ，
故 的最小值为 ，也即 的最小值为 ，故B错误；
对C： ，当且仅当 ，即 时取得等号；
故当 时， 的最大值是 ,故C正确；
对D：因为 ，且 ，显然 满足题意，
此时有 ，故D错误.
故选：AC.
11. 非空数集 ，同时满足如下两个性质：（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ．
称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）为
A. 若A 一个“封闭集”，则
B. 若A为一个“封闭集”，且 ，则
C. 若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
D. 若 都是“封闭集”，则 是“封闭集”的充要条件是 或
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反
证法证明必要性成立，得到D正确.
【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若 ，则 ，那么 ，
A正确．
对于B，因为A为一个“封闭集”， ，所以 ，所以 ，B正确．
对于C，不妨取“封闭集” ，
则 也是“封闭集”，显然 或 不成立，C错误．
对于D，充分性： 都是“封闭集”，
若 或 ，则 或 ，则 是“封闭集”．
必要性：若 是“封闭集”，令 ，
假设 或 不成立，则存在 ，同时 ，
因为 是“封闭集”，所以 ，
分两类情况讨论，若 ，又当 时， ，所以 ，这与假设矛盾，
若 ，又当 时， ，所以 ，这与假设矛盾，
故假设不成立，原结论 是“封闭集”，则 或 成立，即必要性成立．D正确．
故选：ABD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数 （常数 且 ）图象恒过定点P，则P的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数的运算性质进行求解即可.
【详解】当 时， ，所以P的坐标为 ，
故答案为：
13. 已知 ，则 ___________．
【答案】3
【解析】
【分析】 两边平方后，求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故答案为：3
14. 若存在实数 ，使得对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成 ，根据 的存在性和 的
任意性，进一步将问题转化成 ，根据 ，分 、 两种情
况讨论即可.
【详解】由题意知存在实数 ，使得对任意的 ，都有 ，
即 ，
即 成立，
设 ， ，
则题意等价于存在实数 ，使得 ，所以 ，
即 ，
当 时， 显然在 上单调递增，
则 ，解得 ，所以 ；
当 时，
根据对勾函数的性质， 在 上单调递减，在 上单调递增，
（ⅰ）当 时， 在 上单调递增，
， ，由 ，解得 ，所以 ．
（ⅱ）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ．
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
（ⅲ）当 时， 在 上单调递减，
， ．
由 ，解得 ，与 矛盾．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
故答案为：
四､解答题（共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知函数 .
（1）函数单调性的定义证明：函数 在 上单调递增；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值为1，最小值为 .【解析】
【分析】（1）任取 ，且 ，然后化简变形 ，判断符号，从而可得结
论；
（2）由（1）知 在区间 上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【小问1详解】
证明：任取 ，且 ，
则
因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，
在
所以 上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知 在区间 上单调递增，
所以 ， ，
所以函数 在区间 上的最大值为1，最小值为 .
16. 已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 是 的充分条件，求 的取值范围.
【答案】（1） 或 .
（2） .
【解析】【分析】（1）先求出 ，再利用交集的定义可求出 ；
（2）由题意得 ，然后列不等式组可求得答案.
【小问1详解】
当 时， ，
所以 或 ，
因为 ，
故 或 .
【小问2详解】
因为 是 的充分条件，所以
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 .
.
17 已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）当 时，求不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知 的两根为 和 ，然后利用根与系数的关系可求得结果；（2）当 时可得 ，当 时， ，然后分 和 两种情况结合
一元二次不等式的解法可求得结果.
【小问1详解】
由题意可知 的两根为 和 ，
所以由根与系数的关系得 ，
解得 .
【小问2详解】
当 时，则 ，解得 ；
当 时， ，
当 时，则 ，解得 或 ；
当 时，则 ，
当 时，即 ，解 ，得 ；
当 时，即 ，解 ，得 ；
当 时，即 ，解 ，得 .
综上所述，当 时，不等式 的解集为 ；当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 .
18. 某企业原来生产某种产品 （万件）可获利 （万元），且满足 .
现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为
万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为 （单位：万元）.
（1）求函数 的解析式；
（2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润 最大？最大利润是多少？请说明理由.
【答案】（1）
（2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出解析式；
（2）当 时，利用二次函数性质求最值，当 时，利用基本不等式求最值，综合两段函数
求最值.
【小问1详解】由题意得，
【小问2详解】
当 ， ，
故当 时， 取最大值， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， 为最大值.
因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润 万元
19. 若函数 与 满足：对任意的 ，总存在唯一的 ，使 成立，则
称 是 在区间 上的“ 阶伴随函数”；对任意的 ，总存在唯一的 ，使
成立，则称 是区间 上的“ 阶自伴函数”．
（1）判断 是否为区间 上的“2阶自伴函数”？并说明理由：
（2）若函数 为区间 上的“1阶自伴函数”，求 的值；
（3）若 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，求实数 的取值范围．
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）1； （3） .
【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取 ，判断 在 没有实数解，即可得解.
（2）根据给定的定义，当 时，用 表示 并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求
解即得.
（3）根据给定的定义，函数 在区间 , 上的值域包含函数 在区间 , 上的值域，再结合二
次函数的性质，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
假定函数 是区间 上的“2阶自伴函数”，
取 ， ，由 ，得 ，显然此方程无实数解，
所以函数 不是区间 上的“2阶自伴函数”.
【小问2详解】
函数 为区间 上的“1阶自伴函数”，
则对任意 ，总存在唯一的 ，使得 ，
即 ，整理得 ，显然函数 在 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
因此对 内的每一个 ，在 内有唯一 值与之对应，而 ，
于是 ，则有 ，解得 ，即 ，
所以 的值是1.【小问3详解】
由函数 在 上单调递减，得函数 的值域为 ，
由函数 是 在区间 上的“2阶伴随函数”，
得对任意的 ，总存在唯一的 时，使得 成立，
于是 ，则 在区间上 的值域必定包含区间 ，
且 的值域在 对应的自变量是唯一的，而函数 图象开口向上，对称轴为
，
显然 ， ，
①当 时， 在 上单调递增，则 ，
即 ，解得 ；
②当 时， 在 上单调递减，则 ，
即 ，解得 ；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
即 ，解得 ；④当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
即 ，解得 ，
的
所以a 取值范围是 .
【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函
数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当
时，要考虑对称轴在 区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围.
