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玉溪一中 2027 届高一下学期 月考（一）
数学
总分：150分 考试时间：120分钟
命题人：2027届数学备课组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为 ，集合 ， ，则
R A={x|0≤x≤2} B={x|x<8，x∈N∗} A∩B=
A. {x|0<x≤2} B. {x|0<x<8} C. {0,1,2} D. {1,2}
i5
2.复数 =
2−i
1 2 1 2 1 2
A. − + i B. − i+ C. − i
5 5 5 5 5 5
1 2
D. i−
5 5
π
3.已知向量⃗a与向量⃗b的夹角为 ，且|⃗a|=2，|⃗b|=3则⃗a在⃗b方向上的投影向量为
3
1⃗ 1⃗ 1 1
A. a B. a C. ⃗b D. ⃗b
3 2 3 2
4.在四边形 中，满足 ，且 ⃗ ⃗ ，则四边形 为
ABCD ⃗AB=⃗DC |⃗AB+AD|=|⃗AB−AD| ABCD
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方
形
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
5.如图，在∆ABC中，D为BC的三等分点且靠近C点，E为AD的中点，设 AB=a ， AC=b ，则向量
⃗
AE=
1⃗ 1⃗ 5⃗ 1⃗
A. a+ b B. − a+ b
2 4 6 3
1⃗ 5⃗ 1⃗ 1⃗
C. a− b D. a+ b
3 6 6 3
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1 46.若函数f(x)=( 1 ) x−x ， g(x)=log 1 x−x ， ℎ(x)=√x−x+1的零点分别为a，b，c，则
2 2
+1 +1
A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D. c>b>a
7.在 ∆ABC 中，设 ⃗OP=⃗OA+λ (⃗AB+ 1 ⃗BC )， λ∈(0,+∞) ，那么动点 P 的轨迹一定通过 ∆ABC 的
2
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
8.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函
ex−e−x ex+e−x sinℎx
数．定义双曲正弦函数sinℎx= ，双曲余弦函数cosℎx= ，双曲正切函数tanℎx= ，
2 2 cosℎx
则下列结论正确的是
A. 双曲正切函数是偶函数 B. 双曲正切函数是增函数
C. D.
(sinℎx) 2+(cosℎx) 2=1
sinℎ2x+cosℎ2x=(sinℎx−cosℎx) 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共,18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，
全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知a,b∈R关于x的方程x2+ax+b=0的一个根是z =1−2i，另一个根是z ，其中i是虚数单位，则
1 2
下面四个选项正确, 的有
A. 复数z 对应的点在第四象限 B.ab=−1 C.
1
z =z D. z <z 0
1 2 1 2
10.如图所示，线段AB是⨀C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⨀C上任意一点，则以下结论正确的是
A. |⃗AD|≤10
B. ⃗ AC∙⃗AB=32
2√3
C. 当⃗AB∙⃗CD=0时，sin∠DAB=
5
D. ⃗AB∙⃗AD的最大值是
11.欧拉公式： 72 是虚数单位， ， 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，
eiθ=cosθ+isinθ(i e=2.718⋯ θ∈R)
它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令θ=π可得eiπ+1=0它又将自然界中的两个重要的
.
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2 4无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在一起.被数学家们誉为“上帝公式”、
“宇宙第一公式”、“最美公式”等等.下列关于欧拉公式的叙述正确的有
A. e2025πi−1=0 B.复数e3i对应的点位于第二象限
C. D.
|exi|=1 (eiθ )=eiθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
1
12.函数y=x+ (x>−2)的最小值是 ．
x+2
π
13.已知向量⃗
a=(2,−1),
|⃗
b
|
=√5
，向量⃗a与向量⃗b的夹角是
3
，则
|
⃗
a−
⃗
b|=
_______．
14.如图，数轴x，y的交点为O，夹角为θ，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是⃗e ,⃗e ，由平面向量基
1 2
本定理，对于平面内的任一向量 ，存在唯一的有序实数对 ，使得 ，我们把
⃗OP (x,y) ⃗OP=x⃗e + y⃗e (x,y)
1 2
叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标)．若θ=60°，且点P的
坐标为 ，点 的坐标为 ，则 _______．
(1,1) M (2,2) |⃗PM|=
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明.
15.（本小题13分）
已知向量 ， ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
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3 416.（本小题15分）
如图，在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，过点 作
，交线段 于点 ，且 ， ．
(1)求 的大小；
AB
(2)求 的长．
17.（本小题15分）
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为 边的中点，求 的长．
18.（本小题17分）
函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点， 、 为
图象与 轴的交点，且 为正三角形．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ， ，求函数 的值域；
4
f(x − )
0 3
(3)若 ，且 ，求 的值．
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4 419.（本小题17分）
设函数 的定义域为 ，若存在 ，使得 成立，则称 为 的一个“准不动点”．已
知函数 ．
(1)若 ，求 的准不动点；
(2)若 为 的一个“准不动点”，且 ， ，求实数 的取值范围；
(3)设函数 ，若 ， ， ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
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5 4
