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西北师大附中
2025—2026 学年第二学期第一次月考考试试题
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间
有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为 400个锂电池．质检人员采用
分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为 80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有 35
个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（ ）．
A. 325个 B. 300个 C. 225个 D. 175个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.
【详解】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为 （个）．
故选：C
2. 已知四边形 中， ， ， ，则四边形 一定是（ ）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知向量关系得四边形 是平行四边形， 为等边三角形，即可确定四边形形状.
【详解】由 ，则 且 ，即四边形 是平行四边形，
又 ， ，则 为等边三角形，
所以四边形 是菱形.
故选：D3. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A . B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果．
【详解】 在 上的投影向量为 ．
故选：A．
4. 已知平面向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，
再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，
可得 ，解得 且 ，
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下： ，则（ ）
A. 该组数据的平均数为7，众数为
B. 该组数据的第60百分位数为6C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数
D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小
【答案】D
【解析】
【分析】首先将数据从小到大排列，再根据平均数，众数，中位数，方差的定义计算可得.
【详解】选项A,这组数据从小到大排列为 ，
故平均数为 ，
众数为 和 ，中位数为 ，故A错误；
选项B， ，则第 百分位数为 ，故B错误；
选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误；
选项D，方差为
，
如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7，
此时的方差为
，
故D正确.
的
6. 在 中，角A，B，C 对边分别为a，b，c，若 ， ，则边 上的中线
长为（ ）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理和数量积的定义得 ，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可.
【详解】 中，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，记边 上的中点为M，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：B
7. 如图，已知正六边形 的边长为2，对称中心为 ，以 为圆心作半径为1的圆，点 为圆
上任意一点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解法一 连接 ， ，设 ，根据向量的线性运算用 ， 表示出 ，
然后结合三角函数的性质即可求得结果．
解法二 以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设 ，根据数量积的坐标表示得到
，再结合三角函数的性质即可求得结果．
解法三 借助向量投影的知识将 转化，找到取得最值时点 的位置，即可求得结果．【详解】解法一 ：如图所示：
连接 ，设 ，连接 ，依题意得 ， ， ， ，
则 ，
．
因为 ，所以 ，（三角函数的有界性）
所以 ．
故选：C．
解法二 如图，
以 为坐标原点，以直线 为 轴，过 且和 垂直的直线为 轴建立平面直角坐标系，
则依题意可得 ， ， ，
因为圆 的半径为1，所以可设 ，
所以 ， ，所以 ，
又 ，（三角函数的有界性）
所以 ．故选：C．
解法三 如图所示：
设 ，则 ．
可看成是 在 上的投影，
当点 与 重合时 最小，最小值为 ，
当点 与 重合时 最大，最大值为0，
故 ．
故选：C．
8. 已知 中， ， ，且 的最小值为 ，若P为边
AB上任意一点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，由题可得 、 、 三点共线，进而可得 的最小值为 到 边上的高，
根据几何关系求出 ，将 化成 ，通过几何关系求出 的最小值即可.
【详解】设 ，故 ，若 ，由 ，则 ， ， 共线，故 ，
由图得，当 时 有最小值，又 ，
∴ ，即 ，即 为等边三角
形．
由余弦定理， ，
设M为BC中点， ，
∴当 取最小值时， 有最小值，
∵ 为边 上任意一点，
∴当 时， 有最小值，
设 ，过点 作 于点 ，则 ，
又 ， 为 的中位线，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：B.
【点睛】关键点点睛： 、 构造等边三角形 且 ， ， 共线，设M为BC中点，由 ，（先求出 ），数形结合判断 最小
与相关线段位置关系.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 在 中，角 的对边分别是 ， ， ， ，则 的值可以是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
【详解】根据余弦定理可得 ，
即 ， ， ， ，
解得 或 .
故选：AC.
10. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A. B. 外接圆的面积为
C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；
对于CD：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解.
【详解】对于选项A：因为 ，由余弦定理可得 ，
整理可得 ，则 ，
且 ，所以 ，故A错误；
对于选项B：由正弦定理可得 外接圆的半径 ，
所以 外接圆的面积为 ，故B正确；
对于选项C：由 可得 ，
且 ，即 ，解得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 ，故C正确；
对于选项D：由 可得 ，即 ，
且 ，即 ，
解得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 周长的最大值为 ，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知O为 内部的一点，满足 ， ， ，则（
）
A. B.C. 的面积为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，根据平面向量数量积的运算律计算即可判断A；根据数量积的运算律和定义计算即可判
断B；根据诱导公式可得 ，结合三角形面积公式求出 ， ， 的面积即
可判断C；根据向量的线性运算即可判断D.
【详解】对于A.由 ，可得 ，
两边平方，得 ，解得 ，故A正确；
对于B，由 ，可得 ，
两边平方有 ，有 ，得 .故B正确；
对于C，可知 ，所以 .
由三角形面积公式可得 ， ， 的面积分别为 ，1， ，
故 的面积为2.故C错误；
对于D.因为 ， ，
所以 ，
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 、 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角 ________.【答案】
【解析】
【分析】由已知得出 ，利用平面向量数量积的运算性质和定义求出 ，结合向量夹角
的取值范围可得出角 的值.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，故 .
故答案为： .
13. 如图，在 中， ，过点O的直线分别交直线 ， 于点M，N，设 ，
，则 的值为______．
【答案】3
【解析】
【详解】 ，
，，
，
，
共线，
存在实数 ，使得 ，
不共线，
，即 ，整理得 ．
14. 在 中， 在 的三边上运动， 是 外接圆的直径，若 ， ，
，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】设 外接圆圆心为 ，半径为 ，利用平面向量的线性运算与数量积可得
，再结合圆
的几何性质确定其最大最小值可得结论.
【详解】设 外接圆圆心为 ，半径为 ，
由余弦定理有 ，所以 ，由正弦定理有 ，即 ，
，
设 到 三边 ， ， 的距离分别为 ，则
， ，
.
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
即 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在平行四边形 中， .
（1）求点 的坐标；
（2）若 为 的中点，向量 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，根据题意设点 ，然后写出 的坐标，根据 求
出即可；
（2）根据题意分别写出 的坐标，再利用向量共线建立方程求出即可.
【小问1详解】
如图所示：
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
是
因为四边形 平行四边形，所以 ，
所以 ，
所以点D的坐标为 .
【小问2详解】因为 为 的中点 ，所以 ，
由 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
解得 .
16. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求内角A的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合面积公式可得 ，运算求解即可；
（2）根据题意结合余弦定理可得 ，即可得角A的大小.
【小问1详解】
在 中， ，
因为 ，即 ，
且 ，则 ，则 ，即 ，
又因为 ，则 ，即 .
【小问2详解】
若 ，则 ，且 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，所以 .
17. 某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在
内）并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面
试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，
据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差．
【答案】（1） ，平均数为69.5
（2）21.9
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的
求法，代入数据，即可得答案.
的
（2）根据第四组和第五组 频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案.
【小问1详解】
由题意知 ，解得 ．
估计这200名候选者面试成绩的平均数 ，
即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5．
【小问2详解】
设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为 ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为 ，
所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为：
所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9．
18. 如图，在梯形 中， ， ， ，E、F分别为 、 的中点，
且 ，P是线段 上的一个动点．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的长；
（3）求 的取值范围．
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；
（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；
（3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
由 分别为 的中点，则 ， ，
由图可得 ，则 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）可知 ， ，
由 ，则 ，
，
可得 ，解得 .
【小问3详解】
由图可得 ，
，，
由 ，则 .
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角
均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或
等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
（1）若 是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离之和；
（2） 的内角 所对的边分别为 ，且 ，点 为 的费马点．
（i）若 ，求 ；
（ii）求 的最小值．
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）过 作 于 ，结合题意即可求解；
（2）（i）根据正弦定理求得 ，由三角形面积公式及向量数量积即可求解；（ ii）设
，得出 ，由勾股定理
得出 ，根据基本不等式求解范围即可．【
小问1详解】
因为 为等边三角形，三个内角均小于 ，故费马点 在三角形内，满足
，且 ，如图：
过 作 于 ，则 ，故 ，
所以该三角形的费马点 到各顶点的距离之和为 ．
【小问2详解】
（i）因为 ，由正弦定理 ，且 ，
所以 得 ，
所以 的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知， ，
设 ， ，
由 得： ，
整理得 ，
则．
（ii）由（i）知 ，所以点 在 内部，且 ，
设 ，
所以 ，
由余弦定理得， ，
，
，
由勾股定理得， ，即 ，
所以 ，即 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
由 ，
