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西北师大附中
2025—2026 学年第二学期第一次月考考试试题
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间
有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为 400个锂电池．质检人员采用
分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为 80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有 35
个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（ ）．
A. 325个 B. 300个 C. 225个 D. 175个
2. 已知四边形 中， ， ， ，则四边形 一定 是（
）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形
3. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下： ，则（ ）
A. 该组数据的平均数为7，众数为
B. 该组数据的第60百分位数为6
C. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数
的
D. 如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分 方差变小
6. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则边 上的中线长为（ ）
A. B. C. 6 D. 10
7. 如图，已知正六边形 的边长为2，对称中心为 ，以 为圆心作半径为1的圆，点 为圆
上任意一点，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 中， ， ，且 的最小值为 ，若P为边
AB上任意一点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 在 中，角 的对边分别是 ， ， ， ，则 的值可以是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
10. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A. B. 外接圆的面积为
C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为11. 已知O为 内部的一点，满足 ， ， ，则（
）
A. B.
C. 的面积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 、 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角 ________.
13. 如图，在 中， ，过点O的直线分别交直线 ， 于点M，N，设 ，
，则 的值为______．
14. 在 中， 在 的三边上运动， 是 外接圆的直径，若 ， ，
，则 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在平行四边形 中， .
的
（1）求点 坐标；
（2）若 为 的中点，向量 ，且 ，求 的值.
16. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S， .（1）证明： ；
的
（2）若 ，求内角A 大小.
17. 某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在
内）并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面
试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，
据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差．
18. 如图，在梯形 中， ， ， ，E、F分别为 、 的中点，
且 ，P是线段 上的一个动点．
的
（1）若 ，求 值；
（2）求 的长；
（3）求 的取值范围．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或
等于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
（1）若 是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离之和；
（2） 的内角 所对的边分别为 ，且 ，点 为 的费马点．
（i）若 ，求 ；
