文档内容
初中数学
2025年⼴东省⼴州市海珠区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市海珠区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
要制作⼀个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
根据四个选项的图形折合，看是否能折叠成圆柱形即可获得答案．
解：A、可折叠出圆锥体，故不符合题意；
B、可折叠出⽆盖圆柱体，故不符合题意；
C、可折叠出圆柱体，故符合题意；
D、可折叠出⻓⽅体，故不符合题意．
故选：C．
本题主要考查了⼏何体的展开图的应⽤，熟练掌握简单⼏何体的展开图是解题关键．
/ 单选题
港珠澳⼤桥是世界上最⻓的跨海⼤桥，被称为“新世界七⼤奇迹之⼀”，其总⻓度为55000⽶，则数
据55000⽤科学记数法表⽰为（）
A. 55×105
B. 5.5×104
C. 0.55×105
D. 5.5×105
答案
B
解析
此题考查科学记数法的表⽰⽅法．科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|<10,n为整数，表⽰时关键要确定a的值以及n的值．
科学记数法的表⽰形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
数据55000⽤科学记数法表⽰为5.5×104．
故选：B．
单选题
在⼀次引体向上的测试中，小明等5位同学引体向上的次数分别为：8，7，9，8，9，关于这组数
据，下列说法正确的是（ ）
A. 平均数是8.5
B. 中位数是8.5
C. 众数是8.5
D. 众数是8和9
答案
D
解析
本题考查了平均数、中位数和众数的定义，熟练掌握平均数、中位数和众数的定义是解题的
关键．
根据平均数、中位数、众数的定义判断各选项正误即可．
8+7+9+8+9
解：A、8，7，9，8，9，平均数是 =8.2，故此选项说法错误，不符合题
5
意；
B、将这组数据从小到⼤排序为7，8，8，9，9，中位数是8，故此选项说法错误，不符合题
意；
/ C、这组数据组中8出现了2次，9也出现了2次，出现的次数最多，所以众数是8和9，故此选项
说法错误，不符合题意；
D、这组数据组中8出现了2次，9也出现了2次，出现的次数最多，所以众数是8和9，故此选项
说法正确错误，符合题意；
故选：D．
单选题
如图，已知直线a//b，若∠1+∠2=80∘，则∠3的⼤小为（ ）
A. 90∘
B. 100∘
C. 130∘
D. 140∘
答案
D
解析
本题考查平⾏线的性质和邻补⻆的性质，根据平⾏线的性质和∠1+∠2=80∘，可得
∠4=∠1=∠2=40∘，再根据∠3=180∘−∠1，即可求出∠3的度数．解题的关键是掌握平⾏
线的性质，也考查了对顶⻆相等．
解：如图，
∵a//b，
∴∠4=∠2，
∵∠4=∠1，∠1+∠2=80∘，
∴∠4=∠1=∠2=40∘，
∴∠3=180∘−∠1=180∘−40∘=140∘，
即∠3的⼤小为为140∘．
/ 故选：D．
单选题
下列计算正确的是（ ）
A. √5−√3=√2
B. (2a3) 2 =4a5
C. a8÷a2=a6
D. |−6|=−6
答案
C
解析
本题考查⼆次根式的运算，幂的运算，求⼀个数的绝对值，根据相关运算法则，逐⼀进⾏计
算即可．
解：A、√5,√3不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、(2a3) 2 =4a6，原计算错误，不符合题意；
C、a8÷a2=a6，原计算正确，符合题意；
D、|−6|=6，原计算错误，不符合题意；
故选C．
单选题
如图，在平⾏四边形ABCD中，AB=3，BC =5，将线段AB⽔平向右平移a个单位⻓度得到线段
EF，若四边形ECDF为菱形时，则a值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
B
解析
本题考查平移的性质、菱形性质，由平移性质可知EF =AB=3，再由菱形四边相等可得
EF =EC，数形结合表⽰出BE从而得到答案，熟记平移的性质、菱形性质是解决问题的关
/ 键．
解：在平⾏四边形ABCD中，AB=3，将线段AB⽔平向右平移a个单位⻓度得到线段EF，
∴EF =AB=3，
∵四边形ECDF为菱形，
∴EC =EF =3，
∵BC =5,EC =3，
∴a=BE =BC−EC =5−3=2，
故选：B．
单选题
关于x的⼀元⼆次⽅程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上可以表⽰
为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
本题考查了在数轴上表⽰不等式的解集，根的判别式的应⽤，注意：⼀元⼆次⽅程
ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ=b2−4ac．当Δ>0，⽅程有两个
不相等的实数根；当Δ=0，⽅程有两个相等的实数根；当Δ<0，⽅程没有实数根．
根据已知得出22−4×1×m>0，求出不等式的解集，最后在数轴上表⽰出来，即可得出选
项．
解：∵关于x的⽅程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×m>0，
解得：m<1，
在数轴上表⽰为：
，
故选：A．
单选题
某公司组织员⼯去电影院看电影，已知该电影甲种票每张35元，⼄种票每张40元，该公司的40名员
⼯购买电影票共⽤去1550元，求甲、⼄两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，⼄种票买了y张，
/ 则下列⽅程组中正确的是（ ）
A. x+y=40
{40x+35y=1550
B. x+y=40
{35x+40y=1550
C. x−y=40
{35x+40y=1550
D. x+y=40
{35x−40y=1550
答案
B
解析
本题考查了由实际问题抽象出⼆元⼀次⽅程组，找准等量关系，正确列出⼆元⼀次⽅程组是
解题的关键．利⽤总价=单价×数量，结合40名员⼯购买电影票共⽤去1550元，即可得出关于
x，y的⼆元⼀次⽅程组，此题得解．
解：∵共40名员⼯去看电影，
∴x+y=40，
∵该电影甲种票每张35元，⼄种票每张40元，且购票恰好⽤去1550元，
∴35x+40y=1550，
x+y=40
则根据题意可列出⽅程组： ．
{35x+40y=1550
故选：B．
单选题
如图，科技社团的同学们⽤矩形硬纸板制作⽴体模型，其中⼀个结构的制作需将纸板ABCD沿BD
折叠得到△BC′D，折叠后C′D与AB交于点E，已知∠2=40∘，则∠1的⼤小为（ ）
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 40∘
答案
/ B
解析
本题主要考查矩形的性质，平⾏线的性质，折叠的性质，由折叠得∠2+∠ABD=∠CBD是
解题的关键．根据矩形的性质可得∠C =90∘，AB//CD，由平⾏线的性质及直⻆三⻆形的性
质求出∠1+∠CBD=90∘，根据折叠的性质可得∠C′BD=∠2+∠ABD=∠CBD，进而可求
解．
解：在矩形ABCD中，∠C =90∘，AB//CD，
∴∠1+∠CBD=90∘，∠ABD=∠1，
由折叠可知：∠C′BD=∠2+∠ABD=∠CBD，
∴∠1+∠2+∠1=90∘，
∵∠2=40∘，
∴∠1=25∘．
故选：B．
单选题
如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂⾜分
别为点D、E，连接AC、BC，若AD=1，CD=2，则△ABC的⾯积为（ ）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
答案
C
解析
连接OC，由切线的性质得OC⊥DE，而AD⊥DE，BE⊥DE，所以AD//OC//BE，则
CD OA
= =1，而AD=1，CD=2，所以CE =CD=2，因为AB是⊙O的直径，所以
CE OB
CE AD 1
∠ACB=90∘，推导出∠CBE =∠ACD，由 =tan∠CBE =tan∠ACD= = ，求
BE CD 2
1
得BE =2CE =4，则AC =√5，BC =2√5，所以S = AC⋅BC =5，于是得到问题
△ABC
2
的答案．
解：连接OC，
/ ∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，垂⾜分别为点D、E，OA=OB，AD=1，CD=2，
∴AD//OC//BE，∠D=∠E =90∘，
CD OA
∴ = =1，
CE OB
∴CE =CD=2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CBE =∠ACD=90∘−∠BCE，
CE AD 1
∴ =tan∠CBE =tan∠ACD= = ，
BE CD 2
∴BE =2CE =4，
∴AC =√AD2+CD2=√12+22=√5，BC =√CE2+BE2=√22+42=2√5，
1 1
∴S
△ABC
= AC⋅BC = ×√5×2√5=5，
2 2
故选：C．
此题重点考查切线的性质、平⾏线分线段成⽐例定理、直径所对的圆周⻆是直⻆、勾股定
理、解直⻆三⻆形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
⼆、填空题
填空题
⼆次根式√n+5在实数范围内有意义，则n的取值范围为 ．
答案
n≥−5
解析
本题考查⼆次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据⼆次根式被开
⽅数不小于零的条件进⾏解题即可．
解：由题可知，
n+5≥0，
解得n≥−5．
故答案为：n≥−5．
/ 填空题
将整式3a2−9a分解因式结果正确的是 ．
答案
3a(a−3)
解析
本题考查了因式分解，利⽤提公因式法解答即可，掌握因式分解的⽅法是解题的关键．
解：3a2−9a=3a(a−3)，
故答案为：3a(a−3)．
填空题
如图，圆锥的侧⾯积为 ．
答案
24π
解析
本题主要考查了圆锥的计算，利⽤圆锥的侧⾯积公式求解．圆锥的侧⾯积＝π×底⾯半径×⺟线
⻓．
解：底⾯圆的直径为6，⺟线⻓为8，
6
则圆锥的侧⾯积=π× ×8=24π，
2
故答案为：24π．
填空题
如图，在Rt△ABC中，∠BAC =90∘，AD为中线，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB=6，BC =10，
则DE = ．
/ 答案
4
解析
本题考查了勾股定理，直⻆三⻆形的性质，三⻆形中位线定理等知识，根据勾股定理求出AC
，根据直⻆三⻆形斜边上中线的性质可得出AD=BD，根据三线合⼀的性质得出AE =BE
，然后根据三⻆形中位线定理即可求出DE．
解∶∵∠BAC =90∘，AB=6，BC =10，
∴AC =√BC2−AB2=8，
∵AD为中线，
1
∴AD=BD=CD= BC，
2
∵DE⊥AB，
∴BE =AE，
1
∴DE = AC =4，
2
故答案为∶4．
填空题
如图，已知直线l ：y=2x−5与l ：y=kx+b都经过x轴上的点A，分别与y轴交于C，B两点，且
1 2
B，C两点关于原点对称，则直线l 的解析式是 ．
2
答案
y=−2x+5 |y=5−2x
/ 解析
本题考查了待定系数法与⼀次函数，掌握待定系数法是解题的关键．⼀次函数的性质；关于
原点对称的点的坐标；待定系数法求⼀次函数解析式；两条直线相交或平⾏问题．
解：当y=0时，0=2x−5，
解得：x=2.5，
当x=0时，y=−5，
∴A(2.5,0)，C(0,−5)，
∴B(0,5)，
把B(0,5)代⼊y=kx+b，则b=5，
把A(2.5,0)代⼊，
∴2.5k+5=0，
解得：k=−2，
∴直线l
2
的解析式为y=−2x+5，
故答案为：y=−2x+5．
填空题
材料阅读：
光从空⽓射⼊玻璃中时，传播⽅向发⽣了偏折，这种现象叫做光的折射．如图1，我们把⼊射⻆α
sinα
的正弦值和折射⻆β的正弦值之⽐称为折射率（n），即n= ．
sinβ
问题求解：如图2，矩形ABCD为某透明玻璃，⼀束光线从点O以俯⻆45°射向玻璃上的点P，折射
后到达玻璃底部的点Q，测得OA=4，AB=2√14，BQ=8，则折射率n= ，同样的光线
从点E以俯⻆60°射向玻璃上的点F，折射后到达玻璃底部的点G，测得EA=√3，则BG=
．
答案
3
；√7+1
2
解析
/ 本题考查了解直⻆三⻆形的应⽤及矩形的性质，熟练掌握解直⻆三⻆形是解题的关键．根据
题意，对于直线OP，作MN⊥BC，计算出⼊射⻆和折射⻆的正弦值的⽐值，即可得到折射
率；利⽤折射率，求出直线EF的折射⻆的正弦值，在Rt△GFH中，求出HG，即可得到结
果．
解：如图2，过P点作MN⊥BC于N点，
∴⼊射⻆为∠MPO=45∘，折射⻆为∠QPN，
∵在Rt△OAP中，OA=4，∠OPA=45∘，
∴AP =OA=4，
∴BN =4，
∵BQ=8，
∴NQ=BQ−BN =4，
∵在Rt△NQP中，PN =AB=2√14，
∴PQ2=NQ2+PN2=72，
∴PQ=6√2，
NQ 4 √2
∴sin∠QPN = = = ，
PQ 6√2 3
√2
∵sin∠MPO=sin45∘= ，
2
√2 √2 3
∴折射率n= ÷ = ；
2 3 2
如图2，过F点作KH⊥BC于H点，
∴⼊射⻆为∠KFE =30∘，折射⻆为∠GFH，
/ ∵在Rt△AEF中，AE =√3，∠AEF =30∘，
∴AF =AE⋅tan∠AEF =√3⋅tan30∘=1，
∴BH =1，
3
∵折射率n= ，
2
sin∠KFE 3
∴ = ，
sin∠GFH 2
sin30∘ 3
即 = ，
sin∠GFH 2
1
∴sin∠GFH = ，
3
GH 1
∴在Rt△GFH中，sin∠GFH = = ，
GF 3
令GH =x，则GF =3x，⼜因FH =AB=2√14，GF2=GH2+FH2，
∴9x2=x2+56，
解得x=√7，
即GH =√7，
∴BG=GH+BH =√7+1，
3
故答案为： ，√7+1．
2
三、解答题
解答题
x−y=1
解⽅程组：
{2x+y=5
答案
x=2
{y=1
解析
利⽤加减消元法解⼆元⼀次⽅程组即可.
x−y=1①
，
{2x+y=5②
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代⼊①得：
2﹣y=1，
y=1．
x=2
则原⽅程组的解为： ．
{y=1
本题考查了⼆元⼀次⽅程组的解法，灵活选取⼆元⼀次⽅程组的解法是解题的关键.
/ 解答题
如图，已知AC平分∠BAD，∠B=∠D，求证：AB=AD．
答案
⻅解析
解析
本题考查全等三⻆形的判定与性质，属于基础题，关键是熟练掌握全等三⻆形的判定⽅法．
AC平分∠BAD，∠BAC =∠DAC，根据AAS可证明△BAC ≌△DAC(AAS)，继而得出
AB=AD．
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC =∠DAC．
∵在△BAC和△DAC中，
∠B=∠D
⎧∠BAC =∠DAC．
⎨
AC =AC
⎩
∴△BAC ≌△DAC(AAS)．
∴AB=AD．
解答题
2 x2−2x+1
已知A= 1− ÷ ．
( x+1) x+1
(1) 化简A；
(2) 若x是⽅程x(x+2)=x+2的解，求A的值．
答案
1
(1)
x−1
(2) 1
−
3
解析
(1) x+1 2 (x−1) 2 x−1 x+1 1
A= − ÷ = ⋅ = ；
(x+1 x+1) x+1 x+1 (x−1)2 x−1
(2) ⽅程移项得：x(x+2)−(x+2)=0，
/ 因式分解得：(x−1)(x+2)=0，
解得：x=1或x=-2，
当x=1时，原式⽆意义；
1
当x=-2时，原式=− ．
3
解答题
现安排甲、⼄两个⼯程队对某地的道路进⾏改造．已知甲⼯程队改造540⽶的道路与⼄⼯程队改造
450⽶的道路所⽤时间相同．若甲⼯程队每天⽐⼄⼯程队多改造30⽶，求⼄⼯程队每天改造道路的
⻓度是多少⽶？
答案
⼄⼯程队每天改造道路的⻓度是 150⽶
解析
本题考查了分式⽅程的应⽤，根据题意正确列出⽅程是解题的关键．
设⼄⼯程队每天改造道路的⻓度是x⽶，根据题意，列出分式⽅程，进⾏解答即可．
解：设⼄⼯程队每天改造道路的⻓度是x⽶，
450 540
由题意得： = ，
x x+30
解得：x=150．
经检验，x=150是所列⽅程的解．
答：⼄⼯程队每天改造道路的⻓度是150⽶．
解答题
某市为调查市⺠上班时最常⽤的交通⼯具的情况，随机抽取了部分市⺠进⾏调查，要求被调查者
从“A：⾃⾏⻋，B：电动⻋，C：公交⻋，D：家庭汽⻋，E：其他”五个选项中选择最常⽤的⼀项.
将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问
题．
（1）本次调查中，⼀共调查了 名市⺠，其中“C：公交⻋”选项的有 ⼈；扇形统计图
中，B项对应的扇形圆⼼⻆是 度；
（2）若甲、⼄两⼈上班时从A、B、C、D四种交通⼯具中随机选择⼀种，请⽤列表法或画树状图
/ 的⽅法，求出甲、⼄两⼈恰好选择同⼀种交通⼯具上班的概率．
答案
1
（1） 2000、800、 54；（2）
4
解析
（1）由选项D的⼈数及其所占的百分⽐可得调查的⼈数，总调查⼈数减去A、B、D、E选项
的⼈数即为C选项的⼈数，求出B选项占总调查⼈数的百分⽐再乘以360度即为B项对应的扇形
圆⼼⻆度数；
（2）⽤列表法列出所有可能出现的情况，再根据概率公式求解即可.
解：（1）本次调查的总⼈数为500÷25⼈；C选项的⼈数为
2000−(100+300+500+300)=800⼈；扇形统计图中，B项对应的扇形圆⼼⻆是
300
360∘× =54∘；
2000
（2）列表如下：
A B C D
A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D)
由表可知共有16种等可能结果，其中甲、⼄两⼈恰好选择同⼀种交通⼯具上班的结果有4种，
4 1
所以甲、⼄两⼈恰好选择同⼀种交通⼯具上班的概率为 = .
16 4
本题考查了样本估计总体及列表法或树状图法求概率，是数据与概率的综合题，灵活的将条
形统计图与扇形统计图中的数据相关联是解（1）的关键，熟练的⽤列表或树状图列出所有可
能情况是求概率的关键.
解答题
某商⼾购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进⾏了5天试销，
试销情况如下：
第1天第2天第3天第4天第5天
售价x（元/千克） 18 15 12 10 9
销售量y（千克） 50 60 75 90 100
(1) 根据表中的数据，从⼀次函数和反⽐例函数中选择⼀个函数模型，使得它能近似的反映试销
期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系
式（不要求写出x的取值范围）;
(2) 若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满⾜（1）
/ 中的函数关系．在试销5天后，该商⼾决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该
商⼾为清空库存，计划⽤不超过2天的时间全部售完，则新的售价最⾼定为多少元/千克，才能使
后⾯2天都按新的售价销售且能如期全部售完？
答案
900
(1)
y=
x
(2) 新的售价最⾼定为6元/千克，才能使后⾯2天都按新的售价销售且能如期全部售完
解析
k
(1)
y与x之间满⾜反⽐例函数关系，设解析式为y= ．
x
把(18,50)代⼊，得k=18×50=900．
900
∴y关于x的函数表达式为y= ．
x
(2) 试销6天共销售苹果50+60+75+90+100=375千克
苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克，
销售10天后，还剩下苹果1575−375−90×10=300（千克）．
由2y=300，得y=150．
900
把y=150代⼊y= 中得x=6，
x
∵900>0，y随x的增⼤而减小，
∴当y≥150时，x≤6，
∴新的售价最⾼可以定为6元/千克，
答：新的售价最⾼定为6元/千克，才能使后⾯2天都按新的售价销售且能如期全部售完．
解答题
如图，点E在菱形ABCD的对⻆线BD上，射线AE交BC于F，AB=2．
(1) 尺规作图：在AD延⻓线上找⼀点G，使得四边形DBFG为平⾏四边形；
(2) 在（1）的前提下，FG交CD于点H，若BE =FH，求CH的⻓度．
答案
(1) ⻅解析
(2) CH =3−√5
解析
(1) 解：如图，四边形DGFB即为所求；
/ (2) 设CH =x．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵四边形DBFG是平⾏四边形，
∴BD//FG，
∴∠CFH =∠CBD，∠CHF =∠CDB，
∴∠CFH =∠CHF，
∴CF =CH =x，
∵BE//FH，BE =FH，
∴四边形BEHF是平⾏四边形，
∴BF =EH =DG=2−x，
∵EH//BF//AG，
EF CH
∴△FEH ∽△FAG， = ，
FA CD
EH EF
∴ = ，
AG FA
EH EF CH
∴ = = ，
AG FA CD
2−x x
∴ = ，
4−x 2
解得x=3−√5或3+√5（舍去），
经检验x=3−√5的分式⽅程的解．
∴CH =3−√5．
解答题
直线y =2x+7交y轴于点A，抛物线y =ax2+bx+c交x轴于点B(x ,0)和点C(x ,0)，x 0时，抛物线与直线有交点，不成⽴，
当a<0时，抛物线开口向下，与直线没有交点，
∵2x+7=ax2+3x+6，
∴ax2+x−1=0，
∴Δ=1+4a<0，
1
∴a<− ；
4
(3) 解：∵直线BD//y
1
且过点B(x
1
,0)，
∴直线BD解析式为y=2(x−x
1
)，
∵x
D
=x
1
+4，
∴y
D
=8，
1
∵S
△BCD
= BC⋅y
D
=32，
2
∴BC =8，
∵当a>0时，BC
