文档内容
海南州高一期中质量检测
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 命题“ ， ”的否定为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解．
【详解】“ ， ”的否定为 ， .
故选：C
2. 下列结论描述不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断即可.
【详解】因为 是无理数，则 ，且 ， ， .
故A错误；BCD正确.
故选：A.
3. 下列各组函数中， 与 是同一个函数的是（ ）A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由定义域，解析式是否相同可判断函数是否相同.
【详解】选项A， 的定义域为 ， 的定义域为 ，不是同一个函数；
选项B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，不是同一个函数；
选项C， 与 的定义域均为 ，且 ，所以 与 是同一个函数．
选项D， 与 的对应关系不同，不是同一个函数．
故选：C
4. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法，即可比较大小.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B
5. 若幂函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A. 16 B. C. 64 D.
【答案】D
【解析】【分析】根据幂函数图象所过点的坐标，求出解析式，再求函数值即可.
【详解】设 ，则 ，得 ，所以 .
故选：D.
6. 已知 ， ， ，则“ ”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】当 ，得 ，a，b，c不能构成三角形的三边长，
若a，b，c是某三角形的三边长，则有 ，
所以“ ”是“a，b，c可以构成三角形的三条边”的必要不充分条件.
故选：B
7. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的奇偶性排除错误选项，再由特殊值的正负排除错误选项.
【详解】由题可知 的定义域为R，且 ，所以 是奇
函数，排除A，B．当 时， ，排除D．
故选：C．
8. 8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获
得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.
小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢
这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜
欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（ ）
A. 26 B. 46 C. 28 D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得.
【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为 ，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为
，
喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为 ，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为 ，如图，
则 ，②+③+④得 ⑤，① ⑤得
，
所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组对象能构成集合的有（ ）A. 南昌大学2024级大一新生 B. 我国第一位获得奥运会金牌的运动员
C. 体型庞大的海洋生物 D. 唐宋八大家
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确，
对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确，
对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误，
对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确.
故选：ABD
10. 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案.
【详解】对于A，x∈R，定义域关于原点对称，且 ，所以 是偶函数，
且在 上单调递增，A正确；
对于B，定义域为 ，关于原点对称，由 ，得 ，
所以 不是偶函数，B不正确；
对于C，由 ，x∈R，定义域关于原点对称，
得 ，所以 是偶函数，
且 在 上单调递增，C正确；
对于D，由 ，定义域关于原点对称，
得 ， 是偶函数.当 时， ，故 在 上单调递减，D不正确.
故选：AC.
11. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D. 关于 的不等式 的解集为 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】由二次函数的性质可得A正确，B错误；由韦达定理可得C正确；结合图像和不等式的性质再由
一元二次不等式的求解可得D正确；
【详解】对于A、B，由图可知 ，则 ，所以 ，故
A正确，B错误；
的
对于C，由图可知m,n是关于 方程 的两个不同实根，
则 所以 ，故C正确；
对于D，由图可得关于 的不等式 的解集是 ,则关于 的不等式 0，即关于 的不等式 ，
所以 ，所以 或 ，
即关于 的不等式 的解集为 或 ，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由根式有意义列不等式组求解即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
故答案为：
的
13. 若 ， ，则 取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】由不等式的性质求解即可.
【详解】一方面，因为 ， ，所以 ，
，故 ．
另一方面，对任意 ，取 ， ，则.
综合两方面，可知 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 已知函数 满足对于任意两个不相等的实数 ，都有 ，则不等式
的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知函数 在 上单调递增，利用单调性解不等式可得结果.
【详解】不妨令 ，则由 ，得 ，
令函数 ，则可知 在 上单调递增．
由 ．得 ，
则 ，解得
可得不等式解集为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.
（2）根据 列不等式，由此求得 的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得 .
当 时， ，
则 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，则 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，即a的取值范围是 .
16. 已知 ， ，且 .
（1）证明：
（2）求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立.的
（2）利用“ 代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值.
【小问1详解】
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
因为 ，所以
所以 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
因为 ， ，所以
当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 ，
故 ，即 的最小值是2
17. 梅州金柚、德庆贡柑、信宜三华李、紫金春甜桔、连平鹰嘴蜜桃、阳春马水桔、云安砂糖桔、高州储
良龙眼、从化荔枝、徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”．眼下正值梅州金柚热销之时，某水果店为促销梅州
金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：
购买的金柚重量/kg 金柚单价/（元/kg）
不超过5kg的部分 10
超过5kg但不超过10kg的部分 9
超过10kg的部分 8记顾客购买的金柚重量为xkg，消费额为 元．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知甲、乙两人计划在这家水果店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg，8kg，求甲、
乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了多少钱．
【答案】（1）
（2）6元钱
【解析】
【分析】（1）根据表格即可列出各段函数解析式；
（2）分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额.
【小问1详解】
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
故
【小问2详解】
当甲、乙两人各自购买时，消费总额为 元．
当甲、乙一起购买时，消费总额为 元．
故甲、乙一起购买时比他们各自购买时节省了6元钱．
18. 已知函数 满足 .
（1）求 的解析式；
（2）若 是奇函数，求 的值.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用建立方程组法即可求得函数解析式；
（2）先根据（1）的结论，求出 的解析式，再利用奇函数的定义可求参数 的值.
【小问1详解】
因为 ①，
所以 ②.
①+2×②得: ，
则 .
【小问2详解】
（2）由（1）可知， .
因为 是奇函数，所以 ，
即 对于定义域内的任意 值恒成立，
故需使 ，解得 .
19. 已知函数 ．
（1）判断 在 上的单调性，并用定义法证明；
（2）若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递增，证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）任取 ，由 可得结论；
（2）根据单调性可得 ，根据 可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
在 上单调递增，下面证明：
若 ，则
.
即 ，所以 在 上单调递增．
【小问2详解】
若 ，则 ，不满足条件；
若 ，则对任意 ，都有
，满足条件.
所以 的取值范围是 ．
