专题 02 图形的初步（2）（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=45°，则∠2的度数为
（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的
一个内角和一个外角的度数，得到∠4=60°，∠2+∠5=120°，平行线的性质，得到
∠3=∠1=45°，三角形的外角的性质，得到∠5=∠3+∠4=105°，进而求出∠2的度数．
【详解】解：如图：
360°
∵正六边形的一个外角的度数为： =60°，
6
∴正六边形的一个内角的度数为：180°−60°=120°，
即：∠4=60°，∠2+∠5=120°，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=45°，
∴∠3=∠1=45°，
∴∠5=∠3+∠4=105°，
∴∠2=120°−∠5=15°；
故选：D．
2．如图，直线l∥AB，D为直线l上一点，∠1=58°，CE为∠ACD的角平分线，交直线l于点
E，则∠ACE=（ ）A．29° B．51° C．61° D．122°
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出∠BCD=∠1=58°，由邻补角的性质得到
∠ACD=180°−58°=122°，由角平分线定义即可求出∠ACE的度数．
【详解】解：∵直线l∥AB，
∴∠BCD=∠1=58°，
∴∠ACD=180°−58°=122°，
∵CE为∠ACD的角平分线，
1
∴∠ACE= ∠ACD=61°．
2
故选：C．
3．如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥AO，若∠A=43°，则∠CDE的度数为（ ）
A．86° B．94° C．68° D．43°
【答案】A
【知识点】圆周角定理、等边对等角、根据平行线的性质求角的度数
【分析】先根据等边对等角得到∠C=43°，则由圆周角定理得到∠AOD=86°，再由平行线的性
质得到∠CDE=∠AOD=86°．
【详解】解：∵OA=OC，∠A=43°，
∴∠C=∠A=43°，
∴∠AOD=2∠C=86°，
∵DE∥AO，∴∠CDE=∠AOD=86°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的性质，熟知同圆或等圆中，同弧所对
的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键．
4．一个角的补角比这个角的6倍还大5∘，则这个角的大小为（ ）
A．15∘ B．25∘ C．35∘ D．45∘
【答案】B
【知识点】与余角、补角有关的计算、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】设这个角的度数为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，根据题意得：
180°−x−6x=5°，
解得：x=25°，
故选：B．
【点睛】题目主要考查角的计算及一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOE=111°，则∠AOC的度数为
（ ）
A．69° B．45° C．42° D．37°
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度
【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，根据邻补角的性质可得∠AOE=69°，进而
由角平分线的定义可得∠AOD=2∠AOE=138°，再由邻补角的性质即可得到∠AOC的度数，掌
握邻补角的性质和角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵∠BOE=111°，
∴∠AOE=180°−∠BOE=180°−111°=69°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠AOE=2×69°=138°，
∴∠AOC=180°−∠AOD=180°−138°=42°，
故选：C．
6．下列命题是真命题的是（ ）A．对顶角相等 B．若a2=b2，则a=b
C．同位角相等 D．若a<b，则ac<bc
【答案】A
【知识点】不等式的性质、对顶角相等、两直线平行同位角相等、判断命题真假
【分析】本题考查命题与定理，根据对顶角、平方运算、平行线的性质，不等式的性质逐项判断即
可．
【详解】A．对顶角相等，是真命题；
B．若a2=b2，则a=±b，原命题是假命题；
C．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
D． 若a<b，c>0，则ac<bc，原命题是假命题；
故选：A．
7．一副三角尺按如图所示位置放置，OP为公共边，量角器中心与点O重合，OA为0°刻度线．如果
三角尺一边OB与90°刻度线重合，那么边OC与下列刻度线重合的是（ ）
A．15°刻度线 B．30°刻度线 C．45°刻度线 D．75°刻度线
【答案】A
【知识点】求一个角的余角、三角板中角度计算问题
【分析】由三角尺的特征可知∠BOP=30°，∠COP=45°，由此即可计算出∠COA=15°．
【详解】解：∵∠BOP=30°，∠COP=45°，∠BOA=90°，
∴∠COA=90°−30°−45°=15°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角尺中有关角的计算和角的度量，解题关键是利用余角的性质求出
∠COA．
8．若AB∥CD，一对同旁内角∠1:∠2=2:7，则∠2的度数为（ ）A．40° B．70° C．100° D．140°
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据“两
直线平行，同旁内角互补”得∠1+∠2=180°，然后问题可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1:∠2=2:7，
2
∴∠1= ∠2，
7
2
∴ ∠2+∠2=180°，
7
解得：∠2=140°；
故选D．
9．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（
）
A．114° B．142° C．147° D．156°
【答案】C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关
计算
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，∴∠EAC=180°−90°−24°=66°，
∵a∥b，
∴∠EAC=∠ABD=66°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠EBC=∠DBC=33°，
∴∠2=180°−33°=147°；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的
关键．
10．如图，∠AOB=70°，OD平分∠BOC且∠COD=18°，则∠AOC的度数为（ ）
A．24° B．34° C．44° D．52°
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】根据OD平分∠BOC且∠COD=18°，得到∠BOC=2∠COD=36°，再由
∠AOB=70°即可得到∠AOC的度数．
【详解】解：∵ OD平分∠BOC且∠COD=18°，
∴ ∠BOC=2∠COD=36°，
∵ ∠AOB=70°，
∴ ∠AOC=∠AOB−∠BOC=70°−36°=34°，
故选：B．
【点睛】本题考查求角度问题，涉及角平分线定义，根据图形，准确得到相关角度的和差倍分关系
是解决问题的关键．
11．如图，直线a∥b被直线c所截，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C【知识点】两直线平行内错角相等、利用邻补角互补求角度
【分析】根据平行线性质知∠3＝∠1＝50°，再根据平角的性质可求∠2．
【详解】解：如图
∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝130°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
12．如图所示，a∥b，∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°．那么∠3=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【详解】试题分析：作BC∥ａ，BE∥b，再由a∥b可知a∥b∥BC∥DE，再根据平行纯线的性质可得出
结论．
试题解析：作BC∥ａ，BE∥b，
∵a∥b，
∴a∥b∥BC∥DE，
∵∠1=158°，∠2=42°，∠4=50°
∴∠ABC=180°-158°=22°
∴∠CBD=∠BDE=42°-22°=20°，∠EDF=∠4=50°
∴∠3=∠BDE+∠EDF=20°+50°=70°．
故选C．
考点：平行线的性质．13．如图，已知直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【详解】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°．
故选B．
14．如图，AB//CD，∠1=65°，∠2=35°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等、对顶角相等
【分析】利用平行线的性质求得∠AEG，利用对顶角性质求∠EFB，再利用三角形外角定理即可
解决问题．
【详解】解：∵AB//CD，∠1=65°，
∴∠AEG=∠1=65°，
∵∠2=35°，∠2=∠EFB，
∴∠EFB=35°，
∵∠AEG=∠B+∠EFB，∴∠B=∠AEG−∠EFB=65°−35°=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角性质和三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握相关性
质找到角与角之间的关系．
15．如图，直线a，b被直线c所截，若∠1=∠2，∠3=50°，则∠4的度数为（ ）
A．50° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等
【分析】根据对顶角相等和平角的定义即可求解．
【详解】∵ ∠1=∠2，∠1=∠3，
∴ ∠2=∠3，
∵ ∠2+∠4=180°，∠3=50°
∴ ∠4=180°−∠2=180°−50°=130°
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线的相关性质，对顶角相等，平角的定义，熟练掌握相关性质是解本
题的关键．
二、填空题
16．如图①，点P是直线m外一点．如图②，在直线m上取一点Q，作直线PQ．以点Q为圆心，以
任意长为半径画圆弧分别交PQ和直线m于点A、B．再以点P为圆心，以AQ长为半径画圆弧CD
交PQ于点D，以点D为圆心，以AB长为半径画圆弧交CD与点E，过点P、E作直线n，则m//n
的理论依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】尺规作一个角等于已知角、内错角相等两直线平行
【分析】由作图可知：∠PQB=∠QPE，再根据内错角相等，两直线平行即可判断．
【详解】解：由作图可知：∠PQB=∠QPE，∴m∥n（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，
使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若
AF是三角形ABC的角平分线，则∠BED的度数为 ．
【答案】105°/105度
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理，先根据角平分线的定义
1
得∠BAF=∠CAF= ∠BAC=45°，再依据DE∥AF，可得∠BDE=∠BAF=45∘，最后由三
2
角形的内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵AF是三角形ABC的角平分线，
1
∴∠BAF=∠CAF= ∠BAC=45°，
2
∵DE∥AF，
∴∠BDE=∠BAF=45∘，
∵∠B+∠BDE+∠BED=180∘，∠B=30°，
∴∠BED=105°，
故答案为：105°．
18．如图，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=70°，则∠2的度数是 度．
【答案】70【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查了平行线性质∶两直线平行，同位角相等；，熟练掌握平行线的性质是解体的关
键；
根据两直线平行，同位角相等，得∠1和∠2的对顶角相等，据此解答．
【详解】如图，
∵a∥b
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=∠3=70°，
故答案为：70．
19．将一个装有水的圆柱体杯子斜放在水平桌面上，当倾斜角α=37°时，其主视图如图所示．若该
3 4
水杯的杯口宽度BC=6cm，则水面宽度EF= cm.(参考数据：sin37°= ，cos37°= ，
5 5
3
tan37°= )
4
【答案】10
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段
长、两直线平行内错角相等
【分析】过E作EH⊥AB于H，得到四边形ADEH是矩形，根据矩形的性质得到
EH=AC=BC=6cm，∠EHF=∠EHA=90°，根据平行线的性质得到∠EFA=α=37°，根据三
角函数的定义即可得到结论．
【详解】解： 如图所示，过E作EH⊥AB于H，则四边形ADEH是矩形，
∴EH=AD=BC=6cm，∠EHF=∠EHA=90°，
∵EF//桌面，
∴∠EFA=α=37°，
EH 3
∴sin37°= = ，
EF 5
5
∴EF=6× =10(cm)，
3
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质等
知识；熟练掌握矩形的性质，求出∠EFH=37°是解题的关键．
20．如图，AB∥CD,BC∥ED,∠B=80°，则∠D= 度．
【答案】100
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补
【分析】根据AB∥CD,∠B=80°，得出∠C=80°，根据BC∥ED，即可得出∠D=180°−∠C，
即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD,∠B=80°，
∴∠C=∠B=80°，
∵BC∥ED，
∴∠D=180°−∠C=180°−80°=100°，
故答案为：100．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内
角互补．
21．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置摆放．若∠CDE=40°，则
∠BAF的大小为 度．
【答案】10
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行同位角相等
【分析】先由DE∥AF得∠CFA的度数，再根据三角形外角的性质求出∠BAF的度数即可．
【详解】解：由题意知DE∥AF，
∴∠CDE=∠CFA=40°，
∵∠B=30°，
∴∠BAF=∠CFA－∠B=40°－30°=10°，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握两直线平行同
位角相等及三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和．
22．若∠A=39°，则∠A的余角是 _____度．
【答案】51
【知识点】求一个角的余角
【分析】利用余角的定义进行求解即可．
【详解】解：∵∠A=39°，
∴∠A的余角为：90°−39°=51°．
故答案为：51．
【点睛】本题主要考查余角，解答的关键是明确互为余角的两角之和为90°．
23．将△ABC按如图所翻折，DE为折痕，若∠A+∠B=130°，则∠1+∠2= ．
【答案】100°/100度【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、折叠问题
【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出∠B=∠B′，
∠A=∠A′，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，
列出相等关系的式子．
【详解】解：设A′B′交CD于点F，交CE于点G，
由折叠得：∠B=∠B′，∠A=∠A′，
∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，且∠CFG=∠A′FD，∠CGF=∠EGB′，
∴∠C+∠A′FD+∠EGB′=180°，
∵∠A′FD=180°−∠1−∠A′，∠EGB′=180°−∠2−∠B′，
∴∠C+(180°−∠1−∠A)+(180°−∠2−∠B)=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=130°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=50°，
∴∠C+∠C−∠1+180°−∠2=180°，
∴2∠C=∠1+∠2=100°．
故答案为：100°．
24．如图，已知菱形ABCD的面积等于24，BD=8，则
（1）AC= ；
（2）点E，F，G，H分别是此菱形ABCD的AB，BC，CD，AD边上的点，且
BE=BF=CG=AH，则EF+GH= ．
【答案】 6 6
【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质证明、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】本题考查菱形的性质，涉及菱形面积公式、菱形性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是根据菱形的面积公式得出AC解答．
（1）根据菱形的面积公式列方程求解得出AC即可；
（2）根据菱形的面积得出AC，由平行线的判定与性质结合相似三角形的判定和性质得出比例解答．
【详解】解：（1）∵菱形ABCD的面积等于24，BD=8，
24×2
∴AC= =6；
8
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵菱形ABCD的面积等于24，BD=8，
∴AC=6，
∵BE=BF，
1
∴∠BEF=∠BFE= ×(180°−∠EBF)，
2
∵BA=BC，
1
∴∠BAC=∠BCA= ×(180°−∠ABC)，
2
∴∠BEF=∠BAC，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
EF BE
∴ = ，
AC BA
∵BA=DA，
EF BE
∴ = ，
AC AD
同理，由HG∥AC可得△DHG∽△DAC，
GH DH
∴ = ，
AC DA
EF GH BE DH EF+GH BE+DH AH+DH AD
∴ + = + ，即 = = = =1，
AC AC AD AD AC AD AD AD
∴EF+GH=AC=6，
故答案为：（1）6；（2）6．
25．如图，平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE,DF的反向延长
线交于主光轴MN上一点P．∠ABE=145°，∠CDF=150°，则∠EPF的度数是 ．【答案】65°/65度
【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，先根据补角的定义求出∠ABP，∠CDP，再根据两直线平行、
内错角相等，推出∠NPE=∠ABP，∠NPF=∠CDP，即可求解．
【详解】解：∵ ∠ABE=145°，∠CDF=150°，
∴ ∠ABP=180°−∠ABE=35°，∠CDP=180°−∠CDF=30°，
由题意知：AB∥MN∥CD，
∴ ∠NPE=∠ABP=35°，∠NPF=∠CDP=30°，
∴ ∠EPF=∠NPE+∠NPF=35°+30°=65°，
故答案为：65°．
三、解答题
26．如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE=CF．若∠B=∠D，
求证：
(1)DF=BE；
(2)DF∥BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质以及全等三角形的判定及性质．
（1）根据两直线平行内错角相等即可得出∠A=∠C，进而得AF=CE，再利用ASA判断出
△ADF≌△CBE，得出DF=BE；
（2）由△ADF≌△CBE，求得∠AFD=∠CEB，再推出∠EFD=∠FEB，即可推出DF∥BE．
【详解】（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠A=∠C，∵AE=CF，即AF+EF=EF+CE，
∴AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
¿，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴DF=BE；
（2）证明：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB，
∴∠EFD=∠FEB，
∴DF∥BE．
27．如图，在△ABC中，点D是边AB上一点．请利用尺规作图法在边AC上求作一点E，使得
DE∥BC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【知识点】用直尺、三角板画平行线、尺规作一个角等于已知角
【分析】本题主要考查尺规作图、平行线的判定定理．用尺规以点D为顶点作∠ADE=∠B，与
AC交于点E即可．
【详解】解：如图，点E即为所求．
．
28．如图，OB平分∠AOC,OD平分∠COE．（1）若∠AOC=70∘，求∠BOC的度数；
（2）若∠AOC=x（度），∠COE= y（度），求∠BOD的度数．
x+ y
【答案】(1)35°;(2) (度)
2
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】(1)根据角平分线的性质即可解出．
(2)根据角平分线的性质分别求出∠BOC和∠COD,即可求出∠BOD．
【详解】(1)∵∠AOC=70°,OB平分∠AOC,
1 1
∴∠BOC= ∠AOC= ×70°=35°．
2 2
(2)∵∠AOC=x(度),OB平分∠AOC,
1 x
∴∠BOC= ∠AOC= (度),
2 2
∵∠COE=y(度),OD平分∠COE,
1 y
∴∠COD= ∠COE= (度),
2 2
x y x+ y
∴∠BOD=∠BOC+∠COD= + = (度)．
2 2 2
【点睛】本题考查角平分线的计算,关键在于熟记角平分线的性质．
29．追本溯源题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
(1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，
请判断△BDE的形状，并说明理由．
(2)如图②，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线
于点F，交BC于点G．
① 图②中一定是等腰三角形的有__________．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
② 已知AB=3,BC=5，求CF的长．
【答案】(1)△BDE的形状是等腰三角形，理由见解析
(2)① B；②CF=2
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解【详解】（1）△BDE的形状是等腰三角形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠ABD,∴EB=ED，
∴△BDE是等腰三角形．
（2）①B．
②由（1）可知，∠ABE=∠EBG=∠AEB,AB=AE．
∵AF⊥BE,∴∠BAF=∠EAF．
∵BC∥AD,∴∠EAG=∠AGB，
∴∠BAF=∠AGB,∴AB=BG=3．
∵AB∥FD,∴∠BAF=∠CFG．
∵∠AGB=∠CGF,∴∠CGF=∠CFG，
∴CG=CF．
∴CG=BC−BG=5−3=2,∴CF=2．
30．如图，在四边形ABCD中，直线EF分别与AD，BC交于点E，F，与AC交于点O，
AB∥CD，∠B=∠D，EM平分∠≝¿．
(1)尺规作图：作∠BFE的角平分线FN交AB于点N；（只保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，求证：EM∥FN．
证明：∵AB∥CD，
∴ ，
在△ABC和△CDA中，
¿，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴ ，
∴AD∥BC，
∴∠≝=∠BFE，
∵EM平分∠≝¿，FN平分∠BFE，1 1
∴∠MEF= ∠≝¿，∠NFE= ∠BFE，
2 2
∴ ，
∴EM∥FN．
小西进一步研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线均有此特征，
请依照题意完成下面命题：
两条平行线被第三条直线所截， ．
【答案】(1)见解析
(2)∠BAC=∠DCA；∠ACB=∠CAD；∠MEF=∠NFE；所得的一组内错角的角平分线相互平
行
【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角
平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作图－角平分线，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）按照尺规作图的方法作出∠BFE的角平分线FN即可；
（2）证明△ABC≌△CDA(AAS)，推出∠ACB=∠CAD，再证明AD∥BC，得到∠≝=∠BFE，
再根据角平分线的定义求得∠MEF=∠NFE，利用“内错角相等，两直线平行”证明EM∥FN
即可．
【详解】（1）解：射线FN如图所作，
；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
¿，
∴△ABC≌△CDA(AAS)，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC，
∴∠≝=∠BFE，
∵EM平分∠≝¿，FN平分∠BFE，
1 1
∴∠MEF= ∠≝¿，∠NFE= ∠BFE，
2 2∴∠MEF=∠NFE，
∴EM∥FN．
研究发现，两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线相互平行．
故答案为：∠BAC=∠DCA；∠ACB=∠CAD；∠MEF=∠NFE；所得的一组内错角的角平分
线相互平行．
31．如图，点E在BC的延长线上，连接DE，作∠CED的角平分线分别交线段AD，DC于点F，
点G，已知AB∥CD，AD∥BC．
(1)试说明∠BED=2∠DFE；
(2)若∠B=105°，∠DFE=28°，求∠CDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠CDE=19°
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据角平分线的性质得出∠BED=2∠BEF，根据平行线的性质可得
∠DFE=∠BEF；
（2）根据平行线的性质可得∠DCE=∠B=105°，根据平行线的性质得出
∠ADC=∠DCE=105°，∠ADE+∠BED=180°，根据（1）的结论得出
∠BED=2∠DFE=56°，∠ADE=180°−∠BED=124°，进而根据
∠CDE=∠ADE−∠ADC，即可求解．
【详解】（1）解：∵EF平分∠CED，
∴∠BED=2∠BEF，
∵AD∥BC
∴∠DFE=∠BEF，
（2）解：∵AB∥CD，∠B=105°，
∴∠DCE=∠B=105°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCE=105°，∠ADE+∠BED=180°．
∵∠DFE=28°，
∴∠BED=2∠DFE=56°，
∴∠ADE=180°−∠BED=124°，∴∠CDE=∠ADE−∠ADC=124°−105°=19°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
32．如图，AC⊥BD于点C，F是AB上一点，FD交AC于点E，∠B与∠D互余．
(1)试说明：∠A=∠D；
(2)若AE=1,AC=CD=2.5，求BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）由△ACB≌△DCE(ASA)，推出BC=CE，由AC=CD=2.5，AE=1，推出
BC=EC=2.5−1=1.5，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B+∠D=90°，
∴∠A=∠D；
（2）解：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=CD，∠A=∠D，
∴△ACB≌△DCE(ASA)，
∴BC=CE，
∵AC=CD=2.5，AE=1，
∴BC=EC=2.5−1=1.5，
∴BD=BC+CD=1.5+2.5=4．
33．如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD为对角线，点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE
交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．(1)求证∠DBG=90°；
(2)若BD=12，DG=2≥¿．
①求菱形ABCD的面积；
②求tan∠BDE的值．
(3)若BE=AB，当∠DAB的大小发生变化时(0°<∠DAB<180°)，在AE上找一点T，使GT为定值，
说明理由并求出ET的值．
【答案】(1)见解析
4
(2)①96；②
9
20
(3)理由见解析，ET=
3
【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质证明、角平分线的有关
计算
【分析】根据菱形的性质和BG平分∠CBE，可得
1
∠DBG=∠CBD+∠CBG= (∠ABC+∠EBC)；
2
1
①连接AC交BD于点K，交DE于点L，根据勾股定理求出AK，用S = ×AC×BD求解即
菱形ABCD 2
DL DK 1
可；②先由∠DKL=∠DBG=90°证明AC∥BG，则 = =1，所以DL=GL= DG，再由
GL BK 2
1 DL DL 1
DG=2≥¿得¿= DG，则DL=GL=≥¿，即可由CD∥AB，得 = = ，可求得
2 AL EL 2
1 1 16
CL= AC= ×16= ，求出tan∠BDE的值即可；过点G作¿∥BC，交AE于点T，由
3 3 3
∠DKL=∠DBG=90°可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，由
EG BE
△BGE~△ALE得 = =1，所以EG=LG，同理可得DL=LG，再证明△ETG∼△EAD，再
LG AB
求出ET的值即可．
【详解】（1）证明： ∵四边形ABCD是菱形，1
∴∠CBD=∠ABD= ∠ABC，
2
∵BG平分∠CBE，
1
∴∠GBF=∠GBE= ∠EBF，
2
1 1
∴∠DBG=∠CBD+∠CBG= (∠ABC+∠EBC)= ×180°=90°．
2 2
（2）解：①如图2，连接AC交BD于点K，交DE于点L，
∵AC⊥BD，
∴∠AKB=90°，
∵AB=10，BD=12，
1
∴BK=DK= BD=6，
2
∴AK=√AB2−BK2=√102−62=8，
∴CK=AK=8，
∴AC=16，
1 1
∴S = ×AC×BD= ×16×12=96；
菱形ABCD 2 2
②∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴AC∥BG，
DL DK
∴ = =1，
GL BK
1
∴DL=GL= DG，
2
∵DG=2≥¿，
1
∴¿= DG，
2
∴DL=GL=≥¿，
∵CD∥AB，
CL DL 1
∴ = = ，
AL EL 21 1 16
∴CL= AC= ×16= ，
3 3 3
16 8
∴KL=8− = ，
3 3
8
∴ KL 3 4；
tan∠BDE= = =
DK 6 9
（3）解：如图3，过点G作¿∥BC，交AE于点T，则GT为定值，连接AC交BD于点K，交DE于点
L，
∵∠DKL=∠DBG=90°，
∴当∠DAB的大小发生变化时，始终都有BG∥AC，
∴△BGE~△ALE，
∵BE=AB，
EG BE
∴ = =1，
LG AB
∴EG=LG，
∵KL∥BG，
DL DK
∴ = =1，
LG BK
1
∴DL=LG=EG= ED，
3
∵AD∥BC，
∴¿∥AD，
∴△ETG∼△EAD，
GT ET EG 1
∴ = = = ，
DA EA ED 3
∵BE=AB=DA=10，
1 1 10
∴¿= DA= ×10= ，
3 3 3
∴GT为定值；
∵EA=BE+AB=20，1 1 20
∴ET= EA= ×20= ．
3 3 3
【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性
质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
34．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，DF∥AB交AC于点F，BD=DF=AF，
DE⊥AB于点E. △
求证：（1）AD平分∠BAC；
（2）CF=BE.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、根据等边对等角证明、角平分线的性质定理、两直线
平行内错角相等
【分析】（1）先根据等边对等角，可知∠FAD=∠FDA，再根据平行线的性质得
∠EAD=∠FDA，从而可得∠EAD=∠FAD，即得证；
（2）由题（1）的结论可得DC=DE，在RtΔCFD和RtΔEDB中，分别利用勾股定理即可得.
【详解】（1）∵在ΔADF中，DF=AF
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）
∵DF//AB
∴∠EAD=∠FDA（两直线平行，内错角相等）
∴∠EAD=∠FAD
∴AD平分∠BAC；
（2）∵DE⊥AB,∠ACB=90°
由题（1）的结论，根据角平分线的性质得：DC=DE
在RtΔCFD中，由勾股定理得：CF=√DF2−DC2
在RtΔEDB中，由勾股定理得：BE=√BD2−DE2
∵DF=BD,DC=DE
∴√DF2−DC2=√BD2−DE2即CF=BE.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义与性质、勾股定理，熟记
各性质与定理是解题关键.
35．已知，MN∥PQ，点A、点B分别在线段MN、PQ上．
(1)如图1，点C在直线MN、PQ之间，求证∠ACB=∠NAC+∠QBC．
(2)如图2，分别过点A和点C作直线AG,CH，使AG∥CH，以点B为顶点作直角∠DBI，并且
∠DBI的两边分别与直线CH、AG交于点F和点E，则∠CFB+∠AEB=____________．（直接
写出角度和）
(3)如图3，在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBQ和∠CAM，并且∠ACB=106°，
求∠CFB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)270°
(3)143°
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算
【分析】（1）过点C作CK∥MN，根据平行线的传递性，得到CK∥MN∥PQ，再根据平行线的
性质，即可得出结论；
（2）连接EF，平行线的性质，得到∠AEF+∠CFE=180°，三角形的内角和得到
∠BEF+∠BFE=180°−∠DBI=90°，进而得到
∠CFB+∠AEB=∠AEF+∠CFE+∠BEF+∠BFE=180°+90°=270°；
（3）设∠CBD=a，角平分线的定义，求出∠CBQ，进而求出∠NAC,MAC，再根据角平分线求
出∠EAC，平行线的性质，求出∠ACF，进而求出∠BCF，过点F作JW∥BC，
得到∠CFW=∠BCF,∠BFJ=∠FBC，再根据
∴∠CFB=180°−∠CFW−∠BFJ=180°−∠BCF−∠FBC，求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CK∥MN，∵MN∥PQ，
∴CK∥MN∥PQ，
∴∠1=∠NAC,∠2=∠CBQ，
∴∠ACB=∠1+∠2=∠NAC+∠QBC；
（2）连接EF，
∵AG∥CH，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠IBD=90°，
∴∠BEF+∠BFE=180°−∠DBI=90°，
∴∠CFB+∠AEB=∠AEF+∠CFE+∠BEF+∠BFE=180°+90°=270°；
故答案为：270°；
（3）设∠CBD=a，
∵BD平分∠CBQ，
∴∠CBQ=2∠CBD=2a，
∵∠ACB=106°，
由（1）得，∠ACB=∠NAC+∠QBC，
∴106°=∠NAC+2a，
∴∠NAC=106°−2a，
∴∠MAC=180°−∠NAC=180°−(106°−2a)=74°+2a，
∵AE平分∠MAC,
1 1
∴∠EAC= ∠MAC= (74°+2a)=37°+a
2 2
∵AG∥CH,
∴∠ACF=180°−∠EAC=180°−(37°+a)=143°−α．
∵∠ACB=106°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=(143°−a)−106°=37°−a，
过点F作JW∥BC，交BQ于点J，
∴∠CFW=∠BCF,∠BFJ=∠FBC
∴∠CFB=180°−∠CFW−∠BFJ=180°−∠BCF−∠FBC=180°−(37°−a)−a=143°答：∠CFB的度数是143°
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，
过拐点构造平行线，是解题的关键．本题有一定的难度，属于压轴题．
【能力提升】
36．已知，AB//CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之
间满足怎样的关系，请说明理由；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI:∠BAI=1:2，
∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．
【答案】（1）70°；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG，理由见解析；（3）142°
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关
系
【分析】（1）延长DE交AB于点H，根据∠AED是△AEH的外角求解
（2）根据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角可得
∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG．
（3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，通过三角形内角和得到∠EDK=x-2°，由角平分线定义及AB∥CD得
到3x=22°+2x-4°，求出x的值再通过三角形内角和求∠EKD．
【详解】解：（1）延长DE交AB于H，∵AB∥CD，
∴∠D=∠AHE=40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°．
（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHC=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG．
（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，
设∠EAI=x，则∠BAE=3x，
∵∠AED-∠I=22°-20°=2°，∠DKE=∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，
∴∠EDK=∠EAI-2°=x-2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，
即3x=22°+2x-4°，解得x=18°，
∴∠EDK=18°-2°=16°，
∴∠EKD=180°-16°-22°=142°．
【点睛】本题考查三角形内角和，外角性质及平行线的性质的综合应用，解题关键是熟练掌握熟练
掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点．
37．如图， ABC中，AD是高，BE平分∠ABC．
△（1）若∠EBC＝32°，∠1∠2＝1∶2，EF∥AD，求∠FEC的度数．
（2）若∠2＝50°，点F为射线CB上的一个动点，当 EFC为钝角三角形时，直接写出∠FEC的取
值范围． △
【答案】（1）∠FEC＝52°；（2）①90°<∠FEC<140°或0°<∠FEC<50°；
【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余、两直线平行同位角相等、角平
分线的有关计算
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求出
∠1 的度数，进而可求出∠2的度数，最后利用两直线平行，同位角相等即可求出∠FEC的度数；
（2）利用直角三角形两锐角互余求出∠C的度数，然后分两种情况进行讨论：①若∠FEC是钝角，
②若∠EFC是钝角．
【详解】（1）∵BE平分∠ABC，∠EBC＝32°，
∴∠ABC=2∠EBC=64°．
∵AD是高，
∴AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90° ，
∴∠1=90°−∠ABC=26° ．
∵∠1∶∠2＝1∶2，
∴∠2=2∠1=52°．
∵EF//AD，
∴FEC=∠2=52° ；
（2）∵∠ADC=90°,∠2=50°，
∴∠C=90°−∠2=40° ．
①若∠FEC是钝角，
∵∠C=40°,∠FEC+∠EFC+∠C=180°，
∴90°<∠FEC<140°；
②若∠EFC是钝角，
∵∠C=40°,∠FEC+∠EFC+∠C=180°，
∴0°<∠FEC<50°；
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，题目综合性较强，也
有一定的难度，第（2）问分情况讨论是关键．38．如图，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
(1)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0<n<90，且点C恰好落在DG边上时，请直接写出
∠1= °，∠2= °（结果用含n的代数式表示）；
5
(2)在（1）的条件下，若∠2恰好是∠1的 倍，求n的值．
4
(3)如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时
射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线
BM、QN均停止转动，设旋转时间为t(s)．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时
t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(120−n)，(90+n)；
80
(2) ；
3
(3)12或48．
【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AQG=60°+n°，∠DCB=n°，再求出
∠ACD=90°−n°，最后根据邻补角互补求出对应角的度数即可；
5
（2）根据∠2恰好是∠1的 倍列方程，计算可求解；
4
（3）分两种情况，根据∠AQN=∠ABM画出图形，列方程可解得答案．
【详解】（1）∵DG∥EF，∠ABF=∠ABC+∠CBF=60°+n°，
∴∠AQG=∠ABF=60°+n°，∠DCB=∠CBF=n°，
∴∠1=180°−∠AQG=120°−n°，∠ACD=90°−n°，
∴∠2=180°−∠ACD=90°+n°，
故答案为：(120−n)，(90+n)；
5
（2）∵∠2恰好是∠1的 倍，
4
5
∴ 90+n= (120−n)，
480
解得n= ，
3
80
∴n的值是 ；
3
（3）存在BM∥QN，理由如下：
如图：则∠FBM=(2t)°，∠AQN=(3t)°，
∵BM∥QN
，
∴∠AQN=∠ABM=∠ABF−∠FBM，
∴3t=60−2t，
解得t=12；
如图：
∵BM∥QN
，
∴∠ABM=∠BQN，
∴2t−60=180−3t，
解得t=48，
综上所述，t的值为12或48．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板中交点的特点，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想
求解是解题的关键．
39．已知点B，D分别在AK和CF上，且CF∥AK．
(1)如图1，若∠CDE=110°，∠DEB=120°，则∠ABE的度数为_____；(2)如图2，DG平分∠FDE，GD延长线与∠ABE的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，
求∠DEB的度数．
(3)点E为平面内直线AK与CF中间一点，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作DP∥BM，在图
3中画出图形，则∠PDN与∠DEB之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)130°
(2)100°
(3)不变；∠DEB=180°−2∠PDN
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】（1）过点E作EG∥CD，则EG∥CF∥AK，利用平行线的性质，进行求解即可；
（2）延长BE交CF于点M，设BH,CF交于点N，设∠EDG=∠FDG=α,∠ABN=∠MBN=β，
利用平行线的性质，外角的性质推出∠DEB=∠BHD+60°=β−α+60°，
∠DEB=∠EDM+∠DME，求出β−α=40°，即可得出结果；
（3）分点E在B点左侧和右侧两种情况分别画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：过点E作EG∥CD，
∵CF∥AK，
∴EG∥CF∥AK，
∴∠CDE+∠DEG=180°，∠ABE+∠BEG=180°，
∵∠CDE=110°，∠DEB=120°，
∴∠DEG=180°−110°=70°，BEG=120°−70°=50°，
∴∠ABE=180°−50°=130°；
故答案为：130°；
（2）延长BE交CF于点M，设BH,CF交于点N，
∵DG平分∠FDE，BH平分∠ABE，
∴∠EDG=FDG,∠ABN=∠MBN，
设∠EDG=∠FDG=α,∠ABN=∠MBN=β，∴∠NDH=∠FDG=α，
∵CF∥AK，
∴∠CNH=∠ABN=β,∠DME=180°−∠ABM=180°−2β，
∵∠CNH=∠BHD+∠NDH，
∴∠BHD=β−α，
∴∠DEB=∠BHD+60°=β−α+60°，
∵∠DEB=∠EDM+∠DME，
∴β−α+60°=2α+180°−2β，
∴β−α=40°，
∴∠DEB=∠BHD+60°=β−α+60°=40°+60°=100°；
（3）①当点E在B点左侧时：过点E作EG∥CF，
∵CF∥AK，
∴EG∥CF∥AK，
∴∠DEG=∠CDE,∠BEG=180°−∠EBK，∠PDF=180°−∠DPK，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠MBK=∠MBE，∠CDN=∠EDN，
设∠MBK=∠MBE=α，∠CDN=∠EDN=β，
∴∠DEG=∠CDE=2β,∠BEG=180°−∠EBK=180°−2α，
∴∠DEB=180°+2β−2α，
∵DP∥BM，
∴∠DPK=∠MBK=α，
∴∠PDF=180°−α，
∴∠PDN=180°−∠CDN−∠PDF=180°−β−180°+α=α−β，
∴∠DEB=180°+2β−2α=180°−2(α−β)=180°−2∠PDN；
②当点E在B点右侧时：如图，过点E作EG∥CF，
设：∠MBK=∠MBE=α，∠CDN=∠EDN=β，
同法可得：∠DEB=180°+2α−2β，∠PDF=180°−∠DPB=180°−∠MBK=180°−α，
∴∠PDN=∠PDF−∠EDN−∠FDE=180−α−β−(180°−2β)=β−α，
∴∠DEB=180°+2α−2β=180°−2(β−α)=180°−2∠PDN；
综上：∠PDN与∠DEB之间的关系不发生改变．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角等知识点，解题的
关键是过拐点构造平行线，利用数形结合和分类讨论的思想求解．
40．已知AB∥CD，∠AEC=30°，点P在直线AE上，E为CD上一点，F为AB上一点．
(1)如图1，当点P在线段AE上运动时，连接FP，求∠BFP+∠FPE的值；
(2)如图2，当点P在AE的延长线上运动时，连接FP，求∠BFP−∠FPE的值；
(3)如图3，当点P在EA的延长线上运动时，连接FP，求∠BFP−∠FPE的值．
【答案】(1)210°；
(2)30°；
(3)150°．
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用
【分析】（1）过点P作PH∥AB，得到AB∥CD∥PH，利用平行线的性质即可求解；
（2）过点P作PH∥AB，得到AB∥CD∥PH，利用平行线的性质即可求解；
（3）过点P作PH∥AB，得到AB∥CD∥PH，利用平行线的性质即可求解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据图形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BFP+∠HPF=180°， ∠HPE=∠AEC=30°，
∴∠BFP+∠FPE=∠BFP+∠HPF+∠HPE=180°+30°=210°；
（2）解：如图所示，过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴∠FPH=∠BFP， ∠HPA=∠AEC=30°，
∴∠BFP−∠FPE=∠FPH−∠FPE=∠HPA=30°；
（3）解：如图所示，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴∠HPE=∠AEC=30°，∠HPF+∠BFP=180°，
∵∠HPF=∠HPE−∠FPE=30°−∠FPE，
∴30°−∠FPE+∠BFP=180°，
∴∠BFP−∠FPE=150°．
