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武安一中 2024——2025 学年第二学期 3 月考试
高一 数学
一、单选题
1．复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是
（ ）
A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
3．在 中， ，则 的值为（ ）
A．20 B． C． D．
4．已知 ，向量 与向量 的夹角为 ，与向量 共线同向的单位向量为 ，则向
量 在向量 方向上的投影向量等于（ ）A． B． C． D．
5．已知复数z满足 ，则 的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．已知 ，向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上
的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为
， ， ， ， 米，则该建筑的高度 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为 ，将 绕点O按逆时针方向旋转 后，再将模变为原来的 倍，得到向量 ，则 对应的复数的实部是（ ）
A．6 B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量 满足 ，则下列结论正确的是（
）
A． B． 与 的夹角为
C． D． 的最大值为
10．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 ， 虚数
单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也
被誉为“数学中的天桥”（ 为自然对数的底数， 为虚数单位），依据上述公式，则下列
结论中正确的是（ ）
A．复数 为纯虚数
B．复数 对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11．已知 为 所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则动点 的轨迹经过 的内心
B．若O为平面内任意一点， ，则点 为 的重心
C．若 为 的垂心， ，则D．若 为锐角 的外心， 且 ，则
三、填空题
12．化简： ．
13．若复数 是纯虚数，则实数 ．
14．如图，在 中，已知 是线段 与 的交点，
若 ，则 的值为 .
四、解答题
15．（1）若 ，求实数x，y的值；
（2）已知 成立，求实数a的值．
16．已知x为实数，复数 ．
(1)当x为何值时，复数z的模最小？
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数 的图象上，其
中 ， ，求 的最小值及取得最小值时m，n的值．
17．已知 ， ， ．
(1)求 与 的夹角 ；(2)若 ，且 ，求 及 ．
18．已知扇形 半径为1， ，弧AB上的点 满足
.
(1)求 的最大值；(2)求 最小值.
19．在 中， 为 的中点， 在边 上， 交 于
，且 ，设
(1)试用 表示 ；
(2)若 ，求 的余弦值；
(3)若 在 上，且 ,设 ，若 ，求 的范围.
