文档内容
专题 02 概率
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）事件的分类
（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率的概念及其公式
（1）概率的概念及公式
①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．公式：P(A)＝ (m表示试验中事件A
出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数附近，那
么事件A发生的概率P(A)＝ .
③事件的类型及其概率
事件类型 概率
确定性事件（必然、不可能） 1或0
必然事件 1
不可能事件 0
随机事件（不确定事件） 0＜P＜1
（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图
模块三 考点一遍过
考点1：事件的分类典例1：诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给
诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣
【变式1】下列事件中、属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于0℃时，一碗清水在室
外会结冰
【变式2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内
角和为180°；⑤若|x|=3，则x=3；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
(1)其中是必然事件的有______；
(2)其中是随机事件的有______；
(3)其中是确定事件的有______．
【变式3】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；
②水中捞月；
③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；
④任意画一个三角形，其内角和为180°；
⑤若|x|=3，则x=3；
⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
（1）其中是必然事件的有______；
（2）其中是随机事件的有______；
（3）其中是确定事件的有______．
考点2：可能性大小
典例2：下列事件中的百分率可能大于100%的是（ ）
A．油菜籽的出油率 B．某校学生的近视率
C．某公司的销售额增长率 D．一批产品的合格率
【变式1】从写有1~20的20张卡片中任意抽一张，抽到（ ）的可能性最大．
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【变式2】一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，
红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．
【变式3】用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件；（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；
（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；
（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；
解：我设计的方案如下：
“红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张
考点3：等可能事件
典例3：一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A．（男，女）（男，男）（女，女）
B．（男，女）（女，男）
C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）
D．（男，男）（女，女）
【变式1】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果
有（ ）
A．12种 B．6种 C．4种 D．3种
【变式2】甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名
到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：
“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4
名有 种可能情况．
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁
【变式3】下列事件中,是等可能事件的是 .(填序号)
①抛掷一枚均匀的正方体骰子一次,朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数;
②袋子中装有红、黄两种颜色的球,一次抽到红球与黄球;
③随意掷一枚均匀的硬币一次,正面朝上与反面朝上;④掷一枚图钉一次,钉尖着地与钉尖朝上.
考点4：概率的理解
典例4：9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李
豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率
为0.9．下列说法正确的是（ ）
A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上
B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上
C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上
D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上
【变式1】如图是某天气预报软件的显示屏，下列对降水信息的说法中正确的是（ ）
淮安市涟水县天气
22~33°C
日出453日落19:18
体感温度28°C
降水概率 85%
降水量1.0mm
空气质量 优
A．涟水县明天将有85%的时间下雨
B．涟水县明天将有85%的地区下雨
C．涟水县明天下雨的可能性较大
D．涟水县明天下雨的可能性较小
【变式2】一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ．特别地，当A为必然事件时，
P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0．
1
【变式3】如果事件A发生的概率是 ，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ．
100
(填符合条件的序号)
①说明做100次这种试验，事件A必发生1次；
②说明做100次这种试验，事件A可能发生1次；
③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生；
1
④说明事件A发生的频率是 ．
100
考点5：列举法求概率
典例5：在如图所示的电路图中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，请用列表法或画树状图法求出
1 2 3
能让灯泡L 发光的概率．
1【变式1】某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，
B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随
机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【变式2】不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱
子里任意摸出两个球，并记下数．
(1)用适当的方法列举出所有的可能结果；
(2)求两个数的积是偶数的概率．
【变式3】为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文
学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生
进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选文学类图书的学生有_______人，α=_________
(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．
考点6：列表法、树状图法求概率
典例6：某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最
喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成
如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 度；
(2)若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
(3)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选
中项目A和D的概率．
【变式1】2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，
打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为
主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺
术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣
小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度；
(3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书
籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【变式2】为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文
学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生
进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选文学类图书的学生有_____人，α= _____°；
(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙、丁四名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表
或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．
【变式3】在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，−5，7的小球，它们的形状、大小、
质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌
均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．
(1)用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
(2)求两次取出的小球上数字的和是正数的概率；
(3)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，−5，m的小球，它们的形状、大小、质地完
全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后
1
再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．若两次取出的小球上数字的和是正数概率大于 ，直
2
接写出m的取值范围．
考点7：用频率估计概率
典例7：一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，
记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a bm
n
(1)表格中a=__________，b=__________．（精确到0.01）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1）
(3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？
【变式1】如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，
固定指针，同时转动转盘A，B两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形
的边线上，当作指向上边的扇形）
转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频
2 7 10 16 30 46 59 81 110 150
数
“和为7”出现的频
0.20 0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33
率
(1)用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；
(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如表：如果实验继
续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”
的概率；
(3)根据（2），若0
