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专题 02 概率
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）事件的分类
（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率的概念及其公式
（1）概率的概念及公式
①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．公式：P(A)＝ (m表示试验中事件A
出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数附近，那
么事件A发生的概率P(A)＝ .
③事件的类型及其概率
事件类型 概率
确定性事件（必然、不可能） 1或0
必然事件 1
不可能事件 0
随机事件（不确定事件） 0＜P＜1
（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图
模块三 考点一遍过
考点1：事件的分类典例1：诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给
诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣
【变式1】下列事件中、属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机、正在直接足球比赛 B．在只装有2个玻璃球球的袋中摸出一个球是黑球
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数大于7 D．当室外温度低于0℃时，一碗清水在室
外会结冰
【变式2】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内
角和为180°；⑤若|x|=3，则x=3；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
(1)其中是必然事件的有______；
(2)其中是随机事件的有______；
(3)其中是确定事件的有______．
【变式3】将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上．
①守株待兔；
②水中捞月；
③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；
④任意画一个三角形，其内角和为180°；
⑤若|x|=3，则x=3；
⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数．
（1）其中是必然事件的有______；
（2）其中是随机事件的有______；
（3）其中是确定事件的有______．
考点2：可能性大小
典例2：下列事件中的百分率可能大于100%的是（ ）
A．油菜籽的出油率 B．某校学生的近视率
C．某公司的销售额增长率 D．一批产品的合格率
【变式1】从写有1~20的20张卡片中任意抽一张，抽到（ ）的可能性最大．
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【变式2】一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，
红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．
【变式3】用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件；（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；
（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；
（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；
解：我设计的方案如下：
“红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张
考点3：等可能事件
典例3：一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A．（男，女）（男，男）（女，女）
B．（男，女）（女，男）
C．（男，男）（男，女）（女，男）（女，女）
D．（男，男）（女，女）
【变式1】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果
有（ ）
A．12种 B．6种 C．4种 D．3种
【变式2】甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名
到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：
“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4
名有 种可能情况．
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁
【变式3】下列事件中,是等可能事件的是 .(填序号)
①抛掷一枚均匀的正方体骰子一次,朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数;
②袋子中装有红、黄两种颜色的球,一次抽到红球与黄球;
③随意掷一枚均匀的硬币一次,正面朝上与反面朝上;④掷一枚图钉一次,钉尖着地与钉尖朝上.
考点4：概率的理解
典例4：9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李
豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率
为0.9．下列说法正确的是（ ）
A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上
B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上
C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上
D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上
【变式1】如图是某天气预报软件的显示屏，下列对降水信息的说法中正确的是（ ）
淮安市涟水县天气
22~33°C
日出453日落19:18
体感温度28°C
降水概率 85%
降水量1.0mm
空气质量 优
A．涟水县明天将有85%的时间下雨
B．涟水县明天将有85%的地区下雨
C．涟水县明天下雨的可能性较大
D．涟水县明天下雨的可能性较小
【变式2】一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= ．特别地，当A为必然事件时，
P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0．
1
【变式3】如果事件A发生的概率是 ，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是 ．
100
(填符合条件的序号)
①说明做100次这种试验，事件A必发生1次；
②说明做100次这种试验，事件A可能发生1次；
③说明做100次这种试验中，前99次事件A没发生，后1次事件A才发生；
1
④说明事件A发生的频率是 ．
100
考点5：列举法求概率
典例5：在如图所示的电路图中，随机闭合开关S ，S ，S 中的两个，请用列表法或画树状图法求出
1 2 3
能让灯泡L 发光的概率．
1【变式1】某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，
B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随
机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【变式2】不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱
子里任意摸出两个球，并记下数．
(1)用适当的方法列举出所有的可能结果；
(2)求两个数的积是偶数的概率．
【变式3】为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文
学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生
进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选文学类图书的学生有_______人，α=_________
(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．
考点6：列表法、树状图法求概率
典例6：某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：武术，D：书法”等中国传统文化项目的最
喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成
如下不完整的统计图（如图），根据图中的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了 名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为 度；
(2)若该校共有学生2000人，请根据上述调查结果估计该校学生中最喜爱“A：古诗词”的有多少人；
(3)若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选
中项目A和D的概率．
【变式1】2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，
打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为
主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺
术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣
小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度；
(3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书
籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【变式2】为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文
学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生
进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统
计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选文学类图书的学生有_____人，α= _____°；
(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙、丁四名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表
或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．
【变式3】在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，−5，7的小球，它们的形状、大小、
质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌
均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．
(1)用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果；
(2)求两次取出的小球上数字的和是正数的概率；
(3)在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，−5，m的小球，它们的形状、大小、质地完
全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后
1
再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．若两次取出的小球上数字的和是正数概率大于 ，直
2
接写出m的取值范围．
考点7：用频率估计概率
典例7：一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，
记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：
实验次数n 200 300 400 500 600 700 800 1000
摸到红球次数m 151 221 289 358 429 497 571 702
摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 a bm
n
(1)表格中a=__________，b=__________．（精确到0.01）
(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1）
(3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？
【变式1】如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，
固定指针，同时转动转盘A，B两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形
的边线上，当作指向上边的扇形）
转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频
2 7 10 16 30 46 59 81 110 150
数
“和为7”出现的频
0.20 0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33
率
(1)用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；
(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如表：如果实验继
续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”
的概率；
(3)根据（2），若0<x<y，试求出x与y的值．
【变式2】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试
验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的
一组统计数据：
摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000
摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012
摸到白球的频率
m 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
n
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1)
(2)试估算口袋中白球有多少个？
(3)若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．
【变式3】某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：
顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得
相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
40
转动转盘的次数n 100 200 500 800 1000
0
落在“可乐”区域的次 24
60 122 295 a 604
数m 0
落在“可乐”区域的频
m 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
率
n
(1)完成上述表格，其中a=_____，b=_____；
(2)请估计当n很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是
_____；（本小问结果全部精确到0.1）
(3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；
(4)在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用A、B、C表
示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选
择同一种支付方式的概率．
考点8：概率的应用
典例8：游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小
刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小
虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、
“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，
小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公
鸡”，一人说“木棒”，则为平局．
(1)每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____；
(2)如果用A，B，C，D分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用A ，
1
B ，C ，D 分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时
1 1 1
小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明；
(3)你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？【变式1】为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．
活动方案有二：
1 1
方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占 ，乙盘的白色区域占 ，其余
3 2
均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券．
两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白）
中奖券金额 0元 10元 20元 50元
方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券．
问题：
(1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？
(2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由．
【变式2】有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和
数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
(1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性；
(2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案．
A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；
B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜；
C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3
和4，则甲胜，否则乙胜．
请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？
红桃3 红桃4 黑桃5
红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3
红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4
黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5
【变式3】渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学
生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生
进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，
图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．(1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度．
(2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有
____人．
(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：
现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机
地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上
的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？
考点9：概率与统计的综合
典例9：为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会
责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深
入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过
之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣．
根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表．
对时事热点关注程度的统计表：
对时事热点关注程度 百分比
A．很深入的了解 15%
B．比较了解 m
C．基本了解 35%
D．不了解 n请结合统计图表，回答下列问题：
(1)本次参与调查的学生共有_____人，m=_____，n=_____；
(2)图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是______度；
(3)请补全图1所示的条形统计图；
(4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中
的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分
别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个
人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小
明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？
【变式1】为了加强学生的垃圾分类意识，某校进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次
宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；
B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表：
垃圾分类知识测试成绩统计表
百分
测试等级 人数
比
A．优秀 5% 20
B．良好 60
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
(1)求m、n的值；
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请
根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏
来确定人选，具体规则：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明
的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，
否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【变式2】某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显
示，景区每年游客客流量X都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数
分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量X的限制，并有
如下表关系：
年游客客流量（单位：万
160≤X<200 200≤x<240 240≤X<280 280≤x<320
人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万
元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【变式3】近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的
大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一
次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．
根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．对雾霾天气了解程度的统计表
对雾霾天气了解程度 百分比
A．非常了解 5%
B．比较了解 15%
C．基本了解 45%
D．不了解 n
请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有________，n=________；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；
（3）请补全条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚
中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字
1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从
剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请
用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
