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模型介绍
1.如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。
2.如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。
方法点睛
我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含有两个锐角
45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及90°,此外这些角度还可
以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，今天我
们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置角的计算或证明问题.例题精讲
【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，
并测得∠1＝45°，则∠2的度数为______
解：如图所示：
∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
因为∠1＝45°，
所以∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
变式训练
【变式1-1】．如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则
∠DFG的度数为 105 ° ．
解法一：∵GF∥AC，∠C＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣90°＝90°，
又∵AD，CF交于一点，∠C＝∠D，
∴∠CAD＝∠CFD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠DFG＝∠CFD+∠CFG＝15°+90°＝105°．
解法二：∵GF∥AC，∠CAB＝60°，
∴∠FGE＝60°，又∵∠DFG是△EFG的外角，∠FEG＝45°，
∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°，
故答案为：105°．
【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在
一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果DE∥AB，那么n
的值是 75 ° ．
解：如图：
∵顺时针旋转n°后，DE∥AB，
∴D'E'∥AB，
延长AC、E'D'交于点G，
∴∠CGD'＝∠CAB＝45°，
∵∠CD'E'＝60°，
∴∠GCD'＝15°，
∵∠GCD'+∠D'CE'+∠ACE'＝180°，∠D'CE'＝90°，
∴∠ACE'＝75°，
∴n的值为75．
故答案为：75°．
【例2】．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为 75 ° ．解：如图，∠2＝45°，∠3＝60°，
∴∠2+∠3＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75°．
变式训练
【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝（ ）
A．40° B．43° C．45° D．47°
解：如图， ∵∠1＝43°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝88°，
∵直尺对边平行，
∴∠5＝∠3＝88°，
∵∠6＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣88°＝47°，故选：D．
【变式2-2】．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量
角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC
边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 t＝ 6 、 9 、 1 5 、 3 3 秒时，两块三角尺
有一组边平行．
①当AP∥CD时，∠APD+∠D＝180°．
∵∠D＝30°，
∴∠APD＝150°．
∴180°﹣5t＝150°．
t＝6．
②当AB∥PD时，∠A+∠APD＝180°．
∵∠A＝45°，
∴∠APD＝135°，
∴180°﹣5t＝135°，
t＝9．
③当AB∥CD时，∠APD＝105°＝180°﹣5t，
∴t＝15．
④当 AB∥CP 时，∠CPB＝90°，
∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，
∴t＝33．
⑤当AP∥CD时，∠C+∠APC＝180°，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，
∴t＝42＞40（舍去）．
故答案为：6，9，15，33．1．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点O，若AB∥OD，则∠1的度数为（
）
A．60° B．65° C．70° D．75°
解：由题意可知，
∠B＝45°，∠D＝30°，
∵AB∥OD，
∴∠BOD＝∠B＝45°，∵∠1＝∠BOD+∠D，
∴∠1＝45°+30°＝75°，
故选：D．
2．一把直尺与一块三角板如图放，若∠1＝49°，则∠2的度数为（ ）
A．41° B．49° C．131° D．139°
解：如图，
根据三角形外角性质可得：∠3＝90°+∠1＝90°+49°＝139°，
根据平行线的性质可得：∠2＝∠3＝139°．
故选：D．
3．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下
列结论正确的是（ ）
A．∠2＝65° B．∠3＝45° C．∠4＝125° D．∠5＝130°
解：如图：
∵三角尺的直角被直线m平分，∴∠6＝∠7＝45°，
∵∠1＝60°，
∴∠4＝∠6+∠1＝45°+60°＝105°，
∵m∥n，
∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，
∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放AB∥CD，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
解：如图，
由题意得：∠D＝45°，∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠D＝45°，
∴∠BNE＝∠ANM＝45°，
∵∠1是△BEN的外角，
∴∠1＝∠B+∠BNE＝75°．
故选：C．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．105° B．75° C．60° D．45°解：如图：
∠BAC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝180°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故选：B．
6．一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中∠ 的度数是（ ）
α
A．5° B．10° C．15° D．20°
解：如图，
由题意得：∠A＝45°，∠2＝60°，
∵∠2是△ABC的外角，
∴∠ ＝∠2﹣∠A＝15°．
故选α：C．
7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边
DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）A．105° B．100° C．95° D．75°
解：∵EF∥AB，∠E＝45°，
∴∠BGD＝∠E＝45°，
∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，
∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．
故选：A．
8．将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角的三角板绕O点
按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为（
）秒．
A．5 B．7 C．5或17 D．7或19
解：如图，当斜边AB∥DO时，∠AOD＝∠A＝30°，
∵∠DOE＝45°，
∴旋转角COE＝180°﹣AOD﹣∠DOE＝105°，
105°÷15°＝7（秒）；
如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边AB∥OD′，
此时，旋转角为105°+180°＝285°，
285°÷15°＝19；
故选：D．9．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜
边恰好重合，已知AB＝4 ，P、Q分别是AC、BC上的动点，当四边形DPBQ为平行四边形时，平行
四边形DPBQ的面积是（ ）
A．9 B． C．6 D．3
解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4 ，
∴AC＝AB•cos30°＝4 × ＝6，
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴DP∥CB，
∴∠DPC＝∠ACB＝90°，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴点P是AC的中点，
∴DP＝PC＝ AC＝3，
∴平行四边形DPBQ的面积＝DP•PC
＝3×3
＝9，
故选：A．
10．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为 7 5 度．解：如图，∠C＝30°，∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E＝45°，
∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
11．已知：如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示放置，∠AEG＝30°．求∠HFD的度数．
解：过点G作AB平行线交EF于P，
由题意易知，AB∥GP∥CD，
∴∠EGP＝∠AEG＝30°，
∴∠PGF＝60°，
∴∠GFC＝∠PGF＝60°，
∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝45°．
12．将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2 ，P是AC上的一个动点，连接DP．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数．
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2 ，∠BAC＝30°
∴BC＝ ，AC＝3．
如图（1），作DF⊥AC
∵Rt△ACD中，AD＝CD
∴DF＝AF＝CF＝ ，
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC＝30°
∴CP＝BC•tan30°＝1
∴PF＝
∴DP＝ ＝ ．
（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF＝ ，∠ADF＝45°
又PD＝BC＝
∴cos∠PDF＝ ＝
∴∠PDF＝30°
∴∠PDA＝∠ADF﹣∠PDF＝15°
当P点位置如图（3）所示时，
同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF+∠PDF＝75°．13．小聪把一副三角尺ABC，DCE按如图1的方式摆放，其中边BC，DC在同一条直线上，过点A向右作
射线AP∥DE．
（1）如图2，求∠PAC的度数；
（2）如图3，点Q是线段BC上一点，若 ，求∠QAB的度数．
解：（1）∵AP∥DE，
∴∠PAB+∠D＝∠ABD，
∵∠D＝30°，∠ABD＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠PAC＝15°．
（2）∵AP∥DE，
∴∠PAQ+∠D＝∠AQB，
∵∠AQB＝ ∠PAQ，
∴设∠PAQ＝x，则∠AQB＝ x，
∴x+30°＝ x，
解得x＝45°，
∴∠AQB＝75°，
∴∠QAB＝90°﹣75°＝15°．14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 145 ° ；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任
意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直
接写出∠ACE角度所有可能的值，不用说明理由．
解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
（2）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
（3）∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
（4）30°、45°、60°、75°．
15．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合
（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2
P是AC上的一个动点．
（1）当PD＝BC时，求∠PDA的度数；
（2）如图②，若E是CD的中点，求△DEP周长的最小值；
（3）如图③，当DP平分∠ADC时，在△ABC内存在一点Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝ ，
求PQ的长．解：（1）如图1，过点D作DM⊥AC交于M，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC：AC：AB＝1： ：2，且AB＝2 ，
∴BC＝ ，AC＝3，
在Rt△ADC中，AD：CD：AC＝1：1： ，
∴AM＝MC＝DM＝1.5；
在Rt△PDM中，PD＝BC＝ ，
∴PM＝ ＝ ，
∴PM＝ PD，
∴∠PDM＝30°，
∴∠PDA＝45°﹣30°＝15°；
当点P位于DM右侧时，∠PDA＝45°+30°＝75°．
（2）如图2，作△ADC关于直线AC对称，D的对称点为D′，则四边形AD′CD是正方形，
连接D′E，PD，
此时PD+PE＝D′E，
∴△PDE的周长最小，
易得CD＝CD′＝ ，CE＝DE＝ ，
则D′E＝ ＝ ，
∴△PDE的周长的最小值为 + ；
（3）如图3，作∠QPN＝90°，交DQ于点N，
由∠DQC＝∠DPC＝90°知∠PDN＝∠PCQ，
由∠DPQ＝∠DPN+90°＝∠CPQ+90°知∠DPN＝∠CPQ，
又DP＝CP，
∴△DPN≌△CPQ（ASA），
∴PN＝PQ，
∴△PNQ是等腰直角三角形，
∴∠PNQ＝∠PQN＝45°，
∴∠PQC＝45°+90°＝135°＝∠PND，
∴DN＝CQ＝ ，
在Rt△DQC中，DQ＝ ＝2，
∴QN＝2﹣ ，
在等腰直角三角形NPQ中，PQ：PN：NQ＝1：1： ，∴PQ＝ ﹣ ．
16．（1）如图1，线段MN＝30cm，MO＝GO＝3cm，点P从点M开始绕着点O以15°/s的速度顺时针旋
转一周回到点M后停止，点Q同时出发沿射线NM自N点向M点运动，若点P、Q两点能恰好相遇，
则点Q运动的速度为 1.2 5 cm / s 或 2 cm/s；
（2）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠ACD＝∠ECB
＝90°，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．将三角尺△ACD固定，另一三角尺△ECB的EC边从
AC边开始绕点C转动，转动速度与（1）问中P点速度相同，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方
时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请写出∠ACE有可能的值及对应转动的时间；若
不存在，请说明理由．
解：（1）∵点P在 O上绕点O旋转的速度为15°/s，
∴点P到达点G的时⊙间为180°÷15°＝12s，
回到点M的时间为360°÷15°＝24s，
∵点Q在射线NM上运动，
∴点P、Q相遇的地点只有G、M，
∴点Q运动的速度为（30﹣3×2）÷12＝2cm/s，
或30÷24＝1.25cm/s，
故答案为：1.25cm/s或2m/s；
（2）存在，
当∠ACE＝30°时，AD∥BC，用时30°÷15°＝2s，当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，用时45°÷15°＝3s，
当∠ACE＝120°时，AD∥CE，用时120°÷15°＝8s，
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，用时135°÷15°＝9s，
当∠ACE＝165°时，BE∥AD，用时165°÷15°＝11s．
