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湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．18
3．已知函数 ，则 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
5．已知 是椭圆 的两个焦点，满足 的点 总在椭圆 内部，则椭圆 离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
6．设数列 的前n项和为 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．
7．已知圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为互斥事件但不是对立事
件
B．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离
均值的平均程度越小
C．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同
学的概率是
D．从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从二项分布
10．已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 是等比数列， ，则
B．记等差数列 的前n项和分别为 ，若 ，则
C．若 是等差数列， ，则
D．若 ，则
11．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任意一点（不在 轴上）， 外
接圆的圆心为 ，半径为 ， 内切圆的圆心为 ，半径为 ，直线 交 轴于点 ， 为坐标原点，
则（ ）
A． 最大时， B． 的最小值为2
C．椭圆 的离心率等于 D． 的取值范围为三、填空题
12． 的展开式中， 的系数为15，则a= .(用数字填写答案)
13．函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ．
14．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登录，每次消费都有一次随机摸
球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次
抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 .记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为 ，
则 的值为 、该顾客第 次摸球抽中奖品的概率最大．
四、解答题
15．已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 .
16．如图， 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求线段 的长.17．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙
两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门
科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为 ， ， ，其中
．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决
策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 的范围．
18．已知函数 .
(1)若 ，
（i）求函数 的单调区间；
（ii）证明：函数 在区间 上有且只有一个零点．
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
19．在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，直线 过点 且与抛物线
交于 两点.
(1)求抛物线 的方程.
(2)如图，分别以 为直径作圆 .
（i）求圆 的面积之和的最小值；（ii）当 变化时，求圆 的公切线的所有交点的运动轨迹的方程．参考答案
1．A
【详解】因为 ，故 .
故选A.
2．C
【详解】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得 ．
故选：C
3．D
【详解】 ， ，
在 处的切线方程为 .
故选：D.
4．B
【详解】先排3位老师，3人全排列的方法为： ；
3位老师形成4个空隙，将2个双胞胎插入4个空隙的方法数为： ，
总的排列法为： 种，故B正确．
故选：B．
5．C
【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 ， ， ，
因为 ，所以 点的轨迹是以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆．
又点 总在椭圆 内部，
所以该圆内含于椭圆，即 ，所以 ，则 ．
， ，即椭圆 离心率的取值范围是 ．故选：C．
6．B
【详解】由 可得 ，故 为常数列，因此有 ，
得 ，故 ，
则 .
设 ， ，解得 ，由对勾函数的单调性，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 可能在 或 处取得最小值.
而 ， ，
得 的最小值为 ，则 的最小值为 .
故选：B.
7．B
【详解】由题意，
在圆 中，圆心 ，半径为 ，
到直线 的距离为 的点有且仅有 个，
∵圆心 到直线 的距离为： ，故由图可知，
当 时，
圆 上有且仅有一个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当 时，
圆 上有且仅有三个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当则 的取值范围为 时，
圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 .
故选：B.
8．A
【详解】 ，令 ，得 或 ，
即 或 ，设函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在 上单调
递增，
故 ，因为 ，所以 ，则 ，即 ，因为 有 3 个不同的
极值点，
所以 不是关于 的方程 的解，所以
故选：A9．BC
【详解】对于A，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为对立事件，故A错误；
对于B，由方差与标准差的性质可得B正确，
对于C，记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，
则从中任选2名同学的情况如下，有 ，
，共10种，
其中至少有1名女同学的情况有 ，
，共7种，得到所求概率为 ，故C正确；
对于D，由题可知，女演员的人数X服从超几何分布，故D错误．
故选：BC．
10．BCD
【详解】对于A，因为 是等比数列且 ，所以 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 ，故A错误；
对于B，因为等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，
所以 ，故B正确；
对于C，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：BCD．
11．ABD
【详解】对于A，设 ， ，则 ，且 ，
所以 ，
则当 在短轴的端点时， 取得最大，且最大值为 ，
又 ，
所以当 最大时， ，即 ，故A正确；
对于B，过点 作 ，垂足为点G，
又点 为 外接圆的圆心，即为 三条边的中垂线的交点，则点G为 的中点，
由 ，
又 ，同理 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最小值为2，故B正确；
对于C，由 内切圆的圆心为 ，则 ， 分别是 ， 的角平分线，
则由角平分线定理可得 ，即 ，故C错误；
对于D，设 ， ， ，由正弦定理可得 ，即 ，
则 ，即 ，
因为 ，
又结合A有 ，所以 ，即 ，所以 ，
又因为当 在短轴的端点时， 最大，此时 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 ，故D正确．
故选：ABD．
12．
【详解】因为 ，所以令 ，解得 ，所以 =15 ，解得 .13．
【详解】函数 定义域为 ，求导得 ，
函数 在区间 上存在单调递增区间，
在区间 上有解，即 在区间 上有解，
即 在区间 上能成立，故 ，
又 ，当且仅当 时取等号，
，故实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14． 2
【详解】记该顾客第 次摸球抽中奖品为事件 ，依题意， ，
.
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 .
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，则 随着 的增大而减小，所以 .
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
故答案为：① ；② 2.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，①
当 时， ，②
由①-②得到 ，
又 时， ，满足 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
所以
16．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意，以 为原点， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系
（如图），
则 ，
设 ，则 ，
由题意可知，平面ADE的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 .
（2）由题可得 ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ，可得 ，由题意可得 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以线段 的长为 .
17．(1)该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀概率为 ；该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀
概率为 ；
(2) .
【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，则 ；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，则 ．
（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为 ，
依题意， ，则 ，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为 ，随机变量 的可能取值为：0，1，2，3．
，
， ，
随机变量 的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望进入甲大学的面试，则 ，即 ，解得 ，所以 的范围为： .
18．(1)（i）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（ii）证明见解析
(2)
【详解】（1）（i）函数 的定义域为 ，
当 时， ，
则 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（ii）因为 ，
令 ，则 ，
当 时 ，所以 ，所以 即 在区间 上单调递减，
故对任意 ，都有 ，所以 在区间 上单调递增，
又 ，
所以 在区间 上有且只有一个零点．
（2）由 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
所以 ，令 ，
则 ，当 时，对任意 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，满足题意；
当 时， 在区间 上恒成立，所以 在区间 上单调递减，
又 ，
①当 ，即 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，所以 ，满足题意；
②当 且 ，即 时，
由零点存在性定理知， ，使得 ．
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，不满足题意；
③当 ，即 时，
对任意 单调递增，所以 ，不满足题意．
综上，实数 的取值范围为 ．
19．(1)
(2)（i） ；（ii） ．
【详解】（1）由题意知， ，所以 ，所以抛物线 的方程为 .
（2）（i）由题意知，圆 的面积之和 ，
设直线 的方程为 ，
联立 整理得 ，所以 ，又点 ，
所以
，
，
令 ，则 ，则 ，
这是个图象开口向上的二次函数，在 时单调递增，
所以 时， .
（ii）由题意知，圆 外切，有一条内公切线 和两条外公切线 .
当 时，直线 的方程为 ，
此时圆 的圆心横坐标均为4，半径均为2，
三条公切线分别为 ，
公切线的交点有两个： ；
当 时，内公切线为过点 且与直线 垂直的直线，直线 的方程为 .
设直线 交于点 ，由对称性可知点 在直线AB上，
圆 的半径之比为 ，
又 ，所以 ，
记 ，上式化简得 ，又 ，
代入，整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故点 在直线 上运动，又点 不可能为原点，
所以点 的轨迹方程为 ．
如图，设直线 与 的交点为 ，直线 与 的交点为 ，直线 与 轴交于点 ，
下面探究点 和 的轨迹．
易知 ，
故 ，
由直线 的方程为 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，即 为PR的中点，
所以点 的轨迹方程为 .
由对称性可得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
综上，圆 的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线，
方程分别为 ．
