玉林2025-2026秋季期末高二数学答案_2026年02月高二试卷_260210广西壮族自治区玉林市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测（全）

2025 年秋季期高二期末教学质量监测 数学 参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C A B D D B 1. 【答案】C【解析】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的数字是 1 .故选：C. n 2. 【答案】A【解析】因为 高二数学答案 第1页（共10页） { a n } 是等差数列，所以 a 7 = a 3 + 2 a 11 = 2 .故选：A 3.【答案】C【解析】 a / / b −4=2x ，所以 ，解得x=−2,y=1.所以 2=2y x − y = − 3 .故选：C. 4. 【答案】A【解析】直线的方程可化为k（x﹣3）+y+2＝0，所以该直线经过直线x﹣3＝ 0与y+2＝0的交点（3，﹣2），即直线kx+y﹣3k+2＝0经过定点M（3，﹣2）．故选：A． aq=2 a =1 5. 【答案】B【解析】设公比为q，由 1 ，, 解得 1 ，, 则 aq8 =8aq5 q=2 1 1 a ( 1−q5) 1 ( 1−25) S = 1 = =25−1=31 故选：B. 5 1−q 1−2 6. 【答案】D【解析】双曲线的焦点在 x 轴上，一个焦点在直线3x−4y−12=0上，令 y=0，得x =4，所以 c = 4 1 ，又a2 =b2 = c2 =8，所以双曲线的方程为x2 − y2 =8.故 2 选：D. 7. 【答案】D【解析】设点P(x,y)，又O(0,0),A(0,−15) ，由 PA =4 PO ， 所以x2 +(y+15)2 =16 ( x2 + y2) ，化简得x2+(y−1)2 =16， 所以点P在以(0,1)为圆心，半径为4的圆上，又点P在圆(x−a)2 +(y−a−1)2 =4上， 所以圆(x−a)2+(y−a−1)2 =4与圆x2+(y−1)2 =16有公共点， 所以 4−2  a2+(a+1−1)2 4+2，即2a2 18， 所以a−3 2,− 2 2,3 2，故选：D.     8. 【答案】B【解析】球心O为正方体中心，半径R=1，以D为原点，DA,DC,DD 分 1 别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，A(2,0,0),C(0,2,0),M(0,1,2),O(1,1,1),   则AC=(−2,2,0), AM =(−2,1,2)，AO=(−1,1,1)，  设平面ACM的一个法向量为n=(x,y,z)，  AC·n=0 −2x+2y=0   ，令x=2，则y=2，z=1， AM·n=0 −2x+y+2z=0   |AOn| |−2+2+1| 1 所以n=(2,2,1)，则O到平面AMC的距离为：d =  = = ， |n| 3 3 1 8 8π 截面圆半径r2 =R2−d2 =1− = ，所以截面面积S=πr2 = ，故选：B. 9 9 9 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AB ACD BCD    9. 【答案】AB【解析】对于 A，因为n n =0，所以n ⊥n ，所以⊥，故 A正确； 1 2 1 2    对于B，因 n //a，n ⊥，所以a⊥，即l⊥，故B正确； 2 2  为      对于C，因为n a=0，所以n ⊥a，又n ⊥，所以l//或l，故C错误； 1 1 1     对于D，n a=0，所以n ⊥a，又因为n ⊥， 2 2 2 所以l//或l，故D错误. 故选：AB. 10. 【答案】ACD【解析】解：由题可得𝑎 =√2，𝑏 =1，则𝑐 =√𝑎2−𝑏2 =1， 𝑐 1 √2 故𝑒 = = = ，B错误； 𝑎 √2 2 对于A，点P是椭圆C上一点，则|𝑃𝐹 |+|𝑃𝐹 |=2√2， 1 2 2 |PF |+|PF | 所以|PF |·|PF |≤ 1 2  =2，当且仅当|PF |＝|PF |时，等号成立， 1 2 1 2  2  所以|PF |•|PF |的最大值为2，所以A正确； 1 2 对于C，取椭圆的上顶点P（0，1），且F （﹣1，0），F （1，0）， 1 2 高二数学答案 第2页（共10页）→ → → → 可得𝑃𝐹 =(−1，−1)，𝑃𝐹 =(1，−1)，则𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹 =1−1=0， 1 2 1 2 → → 所以椭圆存在点P，使得𝑃𝐹 ⋅𝑃𝐹 =0，所以C正确； 1 2 对于D中，由椭圆𝐶： 𝑥2 +𝑦2 =1，可得𝑦2 =1− 𝑥2 ，且F （1，0）， 2 2 2 设P（x，y），其中−√2≤𝑥 ≤√2，则|𝑂𝑃|2 =𝑥2+𝑦2，|𝑃𝐹 |2 =(𝑥−1)2+𝑦2， 2 所 以 |𝑂𝑃|2+|𝑃𝐹 |2 =𝑥2+𝑦2+(𝑥−1)2+𝑦2 =2𝑥2+2𝑦2−2𝑥+1=2𝑥2+2×(1− 2 𝑥2 )−2𝑥+1＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，当x＝1时，|𝑂𝑃|2+|𝑃𝐹 |2取得最小值，最小值为 2 2 2，所以D正确．故选：ACD． 11. 【答案】BCD【解析】由题AB= AD= AA =1，BAD=90，AAB=AAD=60， 1 1 1   3π 对于A，由题BD BD，所以 AB,BD = ，故A错误； 1 1 1 1 4  (  )  (  )  2     1  对于B，由题得MN =AN−AM = AB +BN − AB+BM =AB+AA + BD −AB+ BA  1 1  1 3 1 1   3 1   2 (  ) 1 (  ) 1 2 2 = AA + AD−AB − AA −AB =− AB+ AD+ AA ，故B正确；   1 3   3 1 3 3 3 1  对于C，因为AC= AC−AA = AB+AD−AA ， 1 1 1  1 1 AB·AD=0,ABAA =11cos60= ,ADAA =11cos60 = ， 1 2 1 2   所以 AC = ( AB+AD−AA )2 = AB 2 +AD 2 +AA 2 +2ABAD−2ABAA −2ADAA 1 1 1 1 1 = 1+1+1+0−1−1=1，故C正确；  对于D，因为AC= AB+AD−AA, AC =1,BB = AA ， 1 1 1 1 1  (  )   2  1 1 又AC·AA = AB+AD−AA ·AA = AB·AA +AD·AA −AA = + −1=0， 1 1 1 1 1 1 1 2 2   AC·AA  所以cos AC,BB =cos AC,AA = 11=0，所以AC⊥BB ， 1 1 1 1 AC AA 1 1 1 1 所以直线AC与BB 所成的角为90，故D正确. 故选：BCD 1 1 三、填空题 高二数学答案 第3页（共10页）12． （1，4，6） 13. 𝑥+2𝑦−2=0 14. 37 15 12. 【答案】（1，4，6） → → 【解析】解：设P（x，y，z），𝐴𝑃 =（x﹣1，y﹣2，z﹣2），2𝐴𝐵 =（0，2，4）， 𝑥−1=0 所以{𝑦−2=2，解得x＝1，y＝4，z＝6．故答案为：（1，4，6） 𝑧−2=4 13. 【答案】𝑥+2𝑦−2=0 1 【解析】 解： ∵与直线2𝑥−𝑦 =0垂直的直线方程的斜率𝑘 =− ，∴过点(0,1)且与直线2𝑥− 2 1 𝑦 =0垂直的直线方程为：𝑦−1=− 𝑥，整理，得：𝑥+2𝑦−2=0． 2 故答案为：𝑥+2𝑦−2=0． 14. 【答案】 ①. 37 ②. 15 (第一空2分，第二空3分) 【解析】由已知a =a +i(j−1)=a +(i−1)+i(j−1)=2+i−1+ij−i=ij+1， i,j i,1 1,1 所以a =66+1=37，令a =ij+1=2026，则ij=2025， 6,6 i,j 又i, jN ，设i与 j所表示的数对为(i, j)， + 则其可能的取值有(1,2025)，(3,675)，(5,405)，(9,225)，(15,135)，(25,81)，(27,75)， (45,45)，(75,27)，(81,25)，(135,15)，(225,9)，(405,5)，(675,3)，(2025,1)，共有15 个，即数字2026共出现15次，故答案为：37，15. 【另解】2025＝34×52 故2025的正约数有(4+1)×(2+1)=15个。 , 四、解答题 15. 【答案】（1）(x−2)2 + y2 =10 （2）x =3或3x−4y−1=0 【解析】(1)设圆C的方程为x2 + y2 +Dx+Ey+F =0，……………………………（1分）  E − =0,  2 D=−4,   则−D+E+F+2=0, 解得 E=0, ………………………………………………………（6 分）   D+3E+F+10=0,  F =−6.  高二数学答案 第4页（共10页）所以圆C的方程为x2 + y2−4x−6=0，即(x−2)2 +y2 =10. …………………（7分） (2)当l的斜率不存在时，直线l方程为x =3，符合题意. …………………………（8分） 当l的斜率存在时，设直线l方程为y−2=k(x−3) ，即kx−y−3k+2=0……（9分） 2k−3k+2 3 则d = =1.解得k = . …………………………………………………（11分） k2+1 4 3 此时直线l方程为y−2= (x−3)，即3x−4y−1=0.……………………………（12分） 4 综上所述，直线l的方程为x =3或3x−4y−1=0.………………………………（13分） t2=2pt  t=4 16．【解析】（1）依题意， p ，得 ，……（4分） PF =t+ =5 p=2  2 所以抛物线C的方程为y2 =4x．…………………………（5分） y2 =4x 1  （2）设l:y=− x+m，联立 1 ，得y2+8y−8m=0．…………………（7分） 2 y=− x+m  2 由Δ=82−41(−8m)=64+32m0，得m−2． 设A(x,y )，B(x ,y )，则y +y =−8,y y =−8m．………………………………（9分） 1 1 2 2 1 2 1 2 由（1）知，P(4,4)，……………………………………………………………… （10分） y −4 y −4 y −4 y −4 4 4 4(y +y +8) k +k = 1 + 2 = 1 + 1 = + = 1 2 =0 1 2 x −4 x −4 y2 y2 y +4 y +4 (y +4)(y +4) ．………（14分） 1 2 1 −4 2 −4 1 2 1 2 4 4 所以k +k 为定值．…………………………………………………………………（15分） 1 2 17．【解析】（1）n2时，a =S −S =2a −1−(2a −1)=2a −2a ，有 n n n−1 n n−1 n n−1 a =2a ， ……………………………………………………………………………（3分） n n−1 又n=1时，a =S =2a −1，有a =10， …………………………………………（5分） 1 1 1 1 高二数学答案 第5页（共10页）所以数列a 是以1为首项，公比为2的等比数列．………………………………（6分） n （2）由（1）得数列a 的通项公式a =2n−1( nN*) ……………………………（7分） n n 1 3 5 2n−1 设T = + + + + n a a a a n n−1 n−2 1 1 3 5 2n−3 2n−1 则T = + + + + + ① n 2n−1 2n−2 2n−3 21 20 1 3 5 2n−3 2T = + + + + +2(2n−1)②……………………………………（10分） n 2n−2 2n−3 2n−4 20 1  1 1 1 1  ①−②得：−T = +2 + + + + −2(2n−1) n 2n−1 2n−2 2n−3 21 20   1 1 1 1 1  1 3 =2 + + + + + − −4n+2 =6−4n− …………………（14分） 2n−1 2n−2 2n−3 21 20  2n−1 2n−1 3 T =4n+ −6.………………………………………………………………………（15分） n 2n−1 18．（17分）【解析】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD平面ABCD， 所以PA⊥ AD，又AD⊥PB，PB PA=P，PB,PA平面PAB， 所以AD⊥平面PAB，……………………………………………（3分） 而AB平面PAB，所以AD⊥AB.……………………………（4分） 因为BC2+AB2 = AC2，所以BC⊥AB，.………………………（5分） 在底面ABCD上，可知AD∥BC，.……………………………（6分） 又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.…（7分） → → （2）如图，以A为坐标原点，𝐴𝑃方向为z轴正方向，𝐴𝐶方向为y轴正方 → 向，垂直于𝐴𝐶方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系， 由（1）知，∠BAC＝30°，又AB=√3，故B( √3 ， 3 ，0)， 2 2 由题意可得A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），……（8分） → → → 设D（a，b，0），则𝐴𝐷 =(𝑎，𝑏，0)，𝐶𝐷 =(𝑎，𝑏−2，0)，𝐶𝑃=(0，−2，2)， → → 由AD⊥DC，可得𝐴𝐷⋅𝐶𝐷 =0，即a2+b2﹣2b＝0，①…………………………………（9分） → → 𝑚⋅𝐶𝐷 =0 𝑥𝑎+𝑦(𝑏−2)=0 设平面CPD的一个法向量为𝑚 =（x，y，z），则有{ ，即{ ， → −2𝑦+2𝑧 =0 𝑚⋅𝐶𝑃 =0 高二数学答案 第6页（共10页）→ 令y＝a，则z＝a，x＝2﹣b，则𝑚 =（2﹣b，a，a），………………………………（11分） → 不妨取平面ACP的一个法向量为𝑛 =（1，0，0），……………………………………（12分） 设二面角A﹣CP﹣D 的大小为θ，则由题意有 |𝑐𝑜𝑠𝜃|=|𝑐𝑜𝑠＜𝑚 → ，𝑛 → ＞| |𝑚 → ⋅𝑛 → | = |2−𝑏| = √3 ， |𝑚 → ||𝑛 → | √(2−𝑏)2+𝑎2+𝑎2 3 可得b2﹣a2﹣4b+4＝0，②，……………………………………………………………（14分） 联立①②，可得b＝1或b＝2，………………………………………………………（15分） 当b＝2时，a＝0，此时D与C重合，故舍去， 则 D（1，1，0），故 AD=√2．………………………………………………………（17 分） → → 法二：（1）如图，以A为坐标原点，𝐴𝑃方向为z轴正方向，𝐴𝐶方向为y轴 → 正方向，垂直于𝐴𝐶方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系， 由（1）知，∠BAC＝30°，又AB=√3，故B( √3 ， 3 ，0)， 2 2 由题意可得A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2）， ……（1分） → → → 设D（a，b，0），则𝐴𝐷 =(𝑎，𝑏，0)，𝑃𝐵 =( √3 ， 3 ，−2)，𝐶𝑃 =(0，−2，2)， 2 2 …………………………………………………………………………………………….…（2分） → → 由AD⊥PB ，可得𝐴𝐷⋅𝑃𝐵 =0，故 √3 𝑎+ 3 𝑏＝0，即𝑎 =−√3𝑏 …………………（3分） 2 2 → → √3 3 → 𝑣⋅𝑃𝐵 =0 𝑥+ 𝑦−2𝑧 =0 设平面PBC的一个法向量为𝑣 =（x，y，z），则有{ → → ，即{2 2 ，令 𝑣⋅𝐶𝑃 =0 −2𝑦+2𝑧 =0 y＝1，则 z＝1，x＝√3 ，则𝑣 → =（√3 ，1，1），…………………………………………（5 分） 3 3 𝐴 → 𝐷⋅𝑣 → = √3 𝑎+𝑏+0=0 …………………………………………………………（6分） 3 又AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.……………………………………………（7分） 法二：（2）设AD=m，DC=n，则m2+n2 =4①， ………………………………（8分） 因AD⊥DC，如图，过点D作PA的平行线Dz，分别以DA,DC,Dz所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系D−xyz.此时有D(0,0,0),A(m,0,0),C(0,n,0),P(m,0,2).………………（9 分） 高二数学答案 第7页（共10页）  因AC=(−m,n,0),AP=(0,0,2),设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，   nAC=−mx+ny=0  则   ，故可取n=(n,m,0)；………（11分）  nAP=2z=0   又DC=(0,n,0),DP=(m,0,2),设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，    mDC =ny=0  则  ，故可取m=(2,0,−m)；…………………………………（13分） mDP=mx+2z=0   mn 2n n 则cosm,n=  = = = √3，② ……………………（15分） |m||n| m2+n2  m2+4 m2+4 3 联立① ② ，解得m2 =n2 =2,故AD=|m|= 2.……………………………………（17分） x2 4 19. 【答案】（1） + y2 =1 （2）y=0 （3） ． 2 3 【解析】(1)由题意可得2a=2 2，即a= 2．………………………………………（1 分） 2 c 2 因为椭圆C的离心率为 ，所以e= = ，所以c=1，………………………（2分） 2 a 2 x2 所以b2 =a2 −c2 =1，所以椭圆C的方程为 +y2 =1；……………………………（3 分） 2 (2)解法一：显然直线l的斜率存在，设过点(2,0)的直线l的方程为y=k(x−2)，…（4分） x2 联立方程   2 + y2 =1, 消去y整理得 ( 1+2k2) x2 −8k2x+8k2 −2=0，……… …（5分） y =k(x−2),  则Δ=64k4−4 ( 1+2k2)  ( 8k2−2 ) 0，即k2  1 ． 2 设A(x ,y ) ，B(x ,y ) ，则x +x = 8k2 ，xx = 8k2 −2 ，……………………（6分） 1 1 2 2 1 2 1+2k2 1 2 1+2k2 由弦长公式可得 AB = 1+k2 x −x = 1+k2  (x +x )2 −4x x ……………（7分） 1 2 1 2 1 2 64k4 4 ( 8k2−2 ) −2k4−k2+1 = 1+k2 − =2 2 =2 2 ( 1+2k2)2 1+2k2 4k4+4k2+1 5 解得k2 =0或k2 =− （舍），所以k =0，……………………………………………（9分） 6 高二数学答案 第8页（共10页）即直线l的方程为y=0．………………………………………………………………（10 分） 解法二：椭圆的长轴长2a=2 2， 又椭圆中，长轴为最长的弦，且唯一，而 AB =2 2=2a，所以线段AB为长轴， 又点(2,0)在长轴所在的直线x轴上，所以直线AB的方程为y=0．………………（4分） 以下证明椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一： 任取椭圆上一点P (m,n)，则 m2 +n2 =1，所以n2 =1− m2 0 0 2 2  m2 m2 所以m2+n2−2=m2+1− −2= −10，所以m2 +n2≤2，………………………（7 分）  2  2 所以椭圆上任一点P (m,n)均在圆x2+y2 =2内，当且仅当m= 2,n=0时取等号， 0 即点P (m,n)在圆上，即椭圆 x2 +y2 =1在圆x2+y2 =2内， 0 2 如图，设PP 是椭圆上的任一条弦， 1 2 直线PP 交圆于两点P、P，则 PP  PP 2r=2 2 =2a， 1 2 3 4 1 2 3 4 ………………………………………………………………………………………………（9分） 当且仅当PP 是椭圆的长轴时，取最大值2a．所以，椭圆中，长轴是最长的弦，且唯一． 1 2 ……………………………………………………………………………………………（10 分） (3)设G(x ,y )，H(x ,y )，直线GH 的方程为y=nx+b，不妨取n0，b0． 3 3 4 4 y=nx+b, 联立  x2 整理得 ( 2n2+1 ) x2+4nbx+2b'2−2=0①，  +y2 =1,  2 则Δ =(4nb)2−4 ( 2n2+1 )( 2b'2−2 ) =0，所以b'2 =2n2+1． 1 −2n −2n 将其代入①式，得b'2x2+4nbx+4n2 =0，解得x= ，所以x = ．…………（11 分） b 3 b y=nx+b 联立 整理得n2x2+2(nb−p)x+b2 =0②， y2 =2px, 则Δ =4(nb−p)2−4n2b2 =0，所以p=2nb． 2 b b 将其代入②式，解方程得x= ，所以x = ，………（12分） n 4 n 高二数学答案 第9页（共10页）−2n b 2n b 所以GH = n2+1 x −x = n2+1 − = n2+1 + ．……………………（13分） 3 4 b n b n b 由x = 可得y =2b，所以k =2n，所以直线OH:y=2nx． 4 n 4 OH y=2nx, 1 2n   1 x = y = 联立x2 整理得4n2+ x2 =1，所以 N 1 ， N 1 ，  + y2 =1,  2 4n2+ 4n2+  2 2 2 n 2n n +b− b− 所以点N 到GH的距离为 1 1 1 ，……（14分） 4n2+ 4n2+ 4n2+ 2 2 2 d = = n2+1 n2+1 1 1 2n b n 1 4n2+1 n 所以S = GH d ，= + b− = 2n2+1− NGH 2 2 b n 1 2 n 2n2+1 1 4n2+ 4n2+ 2 2 4n2+1 1 4n+ = 1 4n+ 1 − n = 1 |4𝑛+ 1 − 4𝑛2+1 |= 1 4n+ 1 − n 2 n 2n+ 1  4n+ 1 2 𝑛 √2𝑛2+1⋅√4𝑛2+ 1 2 n 8n2+ 1 +5 n 2n 2 2n2 1 = 1 4n+ 1 − 4n+ n = 1 4n+ 1 − 4n+ 1 n ……………………………（15分） 2 n 1 1  2 n 1 12 2   16n2+ n2   +5 2   4n+ n   +1   令t=4n+ 1 (t4)，则S = 1 t− t = t  1− 1   n NGH 2 1 2 1  t2+1  t2+1 2  2    4  1   1 4 1 1  1− =21− = ，当且仅当4n= ，即n= 时取等号．……（16 分） 2  1   3 3 n 2  16+1  2  4 由椭圆和抛物线的对称性，可知当n0，b0，S 最小值也是 ． △NGH 3 4 综上，S 的最小值为 ．………………………………………………………（17分） △NGH 3 高二数学答案 第10页（共10页）