基本不等式题集(教师版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思高中面授升高三暑假讲义+题集（小一轮）

基本不等式 一、 选择 1. 设正实数 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ， 将 ， 代入， 得 ， 仅当 ，即 时取等号． 故选 ． 【标注】【知识点】基本不等式的概念 2. 已知实数 ， ， ， 满足 ， ，则 的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵ ， ， ∴ ， ∴ ，当且仅当 时，取等号． 则 1， 当且仅当 时，且 ， 时， 的最小值为 ， 故选 ． 【标注】【知识点】倒数和形式 3. 若 、 是正数，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ． 当且仅当 且 且 时“ ”成立，即 时． ∴最小值为 ． 故选 ． 【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值 4. 设正实数 ， ， 满足 ．则当 取得最大值时， 的最大值为 （ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】含三个参数 消元，利用基本不等式及配方法求最值． ， ． 2当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ， ， 当 时， 的最大值为 ． 【标注】【知识点】基本不等式的实际应用 二、 填空 5. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ． ． 令 ， 当且仅当 ， 时取等号． 故答案为： ． 【标注】【知识点】基本不等式的概念 6. 已知 ， 为正实数，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】∵ ， 为正实数， ∴ ， 令 ，则 ． 可知：当 即 时，函数 取得最小值 ． 3故答案为： ． 【标注】【知识点】基本不等式的概念 7. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，“ ”成立， 故 的最小值为 ． 故选 ． 【标注】【知识点】无理不等式 8. 已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围 是 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ， 即 时取等号， 因为 恒成立， 所以 ， 解得 ． 【标注】【知识点】基本不等式的实际应用 49. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 【标注】【知识点】基本不等式的概念 10. 设 ， ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， ， ， 则 ， 由基本不等式有： ， 当且仅当 时， 即： ， 时， 即 或 时，等号成立， 故 的最小值为 ． 【标注】【知识点】利用基本不等式求最值 11. 若 ， ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ，当且仅当 时取等号． 【标注】【知识点】基本不等式的概念 12. 已知 ， ，且 的最小值为 ． 5【答案】 【解析】 ∵ ， ，则 ， 设 ， ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， 故 的最小值为 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】利用基本不等式求最值 13. 若 ， 均为正实数，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意，可知： ∵ 为正实数， ∴可对分子分母同时除以 ，得 ，可令 ，则 ， ∴ ． 【标注】【知识点】求复合函数的值域；基本不等式的实际应用 67