文档内容
基本初等函数
一、 幂函数
1. 定义
一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数（我们只讨论 是有理数的情况）．
2. 幂函数的图象
幂函数( )图像
参数 当 时 当 时
图像
3. 幂函数的性质
（1） 时：
①图象都通过点 ， 11 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是增函数．
（2） 时：
①图象都通过点 ；
②在第一象限内， ；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近， ．
（3）任何幂函数的图象与坐标轴至多有 个交点；
（4）任何幂函数图象都不经过第 象限；
1（5）任何两个幂函数的图象最多有 个交点．
（6）幂函数 奇偶性：
①当 为偶数时， 为偶函数；
②当 为奇数， 为奇数时， 为 ；
③当 为奇数， 为偶数时， 为 ．
特别地，幂函数 （ ），当 为偶数时， 为 ；
当 为奇数时， 为 ．
经典例题
1. 根据幂函数的定义，下列函数是幂函数的是 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
巩固练习
2. 在函数 ， ， ， 中，幂函数的个数是( )
A. B. C. D.
经典例题
3. 如图所示，曲线是幂函数 的第一象限的图象，已知 取 、 四个值，则相应的曲线 ，
， ， 的 值依次为（ ）．
A. ， ， ， B. ， ， ， C. ， ， ， D. ， ， ，
4.
已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
5. 下列结论正确的是（ ）．
A. 幂函数的图象都通过 ，
2B. 当幂指数 取 ， ， 时，幂函数 是增函数
C. 幂函数的图象可以出现在第四象限
D. 当幂指数 ，幂函数 在定义域上是减函数
6. 已知幂函数 的图象关于原点对称，且在 上是减函数，若
，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
7. 已知函数 既是二次函数又是幂函数，函数 是 上的奇函数，函数 ，则
（ ）．
A. B. C. D.
8.
已知幂函数 的图象经过点 ， ， 是函数图象上的任意不同两点，
给出以下结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的序号是（ ）．
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
4. 知识总结
1.幂函数定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数（我们只讨论 是有理数的情况）．
2.幂函数图像
幂函数( )图像
参数 当 时 当 时
图像
33.幂函数性质
（1） 时：
①图象都通过点 ， ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是增函数．
（2） 时：
①图象都通过点 ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而减小，即在 上是减函数；
③在第一象限内，图象向上与 轴无限地接近，向右与 轴无限地接近．
（3）幂函数 奇偶性：
①当 为偶数时， 为偶函数；
②当 为奇数， 为奇数时， 为奇函数；
③当 为奇数， 为偶数时， 为非奇非偶函数．
特别地，幂函数 （ ），当 为偶数时， 为偶函数；
当 为奇数时， 为奇函数．
二、 指数运算
1. n次方根的定义
一般地，如果 ， 就叫 的 次方根．
（1）当 为奇数时，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数．
（2） ．
2. 指数运算
（1） （ ）； （ , ）．
（2） ， ， ．
（3）当 是奇数时， ；
（4）当 时偶数时，
（5） ； ．
经典例题
9. 求值：
（ 1 ）已知 ，求 的值
4巩固练习
10. 计算下列题．
（ 2 ）已知 ，求 的值．
11. 化简求值：
（ 2 ）
．
经典例题
12. 已知函数 ，则 的值．
巩固练习
13. 已知 ，设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 （
）．
A. B. C. D.
14. 设函数 ， ．
（ 1 ）解方程： ．
（ 2 ）令 ，求 的值．
3. 知识总结
1.根式的概念
2.指数运算
（1） （ ）； （ , ）．
（2） ， ， ．
（3）当 是奇数时， ；
（4）当 时偶数时， ．
（5） ； ．
三、 指数函数
1. 定义
一般地，形如 的函数 且 ， 叫做指数函数．
52. 图象与性质
经典例题——指数不等式
15.
已知不等式： 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
巩固练习——解指数不等式
16. 已知 （ ，且 ），求 的取值范围．
， ，
17. 设函数 则满足 的 的取值范围是 ．
， ，
经典例题——指数函数图象与性质的综合应用
18. 若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习——指数函数图象与性质的综合应用
19. 已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则
的取值范围是 ．
3. 根据图象比较指数函数底数的大小
曲线 分别是指函数 的图像：
6（1）由图象得 ．
（2）当底数大于 时，底数越大图象越靠近 轴， ．
（3）指数函数 与 （ 且 ）的图象 对称．
（4）函数值的大小比较
①底数相同指数不同
当底数大于 时，指数越大函数值越大． ．
②指数相同底数不同
可采用函数图象法，
③底数不同指数不同
经典例题
20. 已知实数 ， 满足 ，下列 个关系式：
① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ．
其中不可能成立的有（ ）．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
巩固练习
21. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
4. 知识总结
1.指数函数定义：一般地，函数 且 ， 叫做指数函数．
2.指数函数图像和性质：
73.指数函数底数大小比较
曲线 分别是指函数 的图像：
结论：①由图像得 ．
②当底数大于1时，底数越大图像越靠近 轴，当底数小于1时，底数越小越靠近 轴．
③指数函数 与 （ 且 ）的图像关于 轴对称．
四、 对数运算
1. 定义
一般地，对于指数式 ，我们把“以 为底 的对数 ”记作 （ 且 ），其中，数 叫做
， 叫做 ．
2. 对数运算
运算法则
8（1） ；（对数的和等于积的对数）
推广 ．
（2） ；（商的对数等于对数的差）
（3） ．
（4） ．
换底公式
．
经典例题
22. 求值：
（ 1 ） ；
（ 2 ） ；
（ 3 ） ；
（ 4 ） ．
23. 已知函数 ，则 ．
24. 求下列各式的值：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
25. 根据所学知识回答下列问题．
（ 2 ）已知 ， ，用 ， 表示 ．
巩固练习
26. 当 ， 时，下列说法正确的个数是（ ）．
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
A. B. C. D.
27. 已知函数 ， ， ，则 （ ）
9A. B. C. D.
28. 设 ，则（ ）．
A. B. C. D.
29. 完成下列各题．
（ 1 ）已知 ，求 的值．（结果用 表示）
（ 2 ）甲、乙两人同时解关于 的方程： ．甲写错了常数 ，得两根 及 ；乙写
错了常数 ，得两根 及 ，求这个方程真正的根．
经典例题
30. 按市场要求，某化工厂生产的一种溶液的杂质含量不能超过 ．若初时含杂质 ，每次过滤可使
杂质含量减少为前一次杂质含量的 ．问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（
， ）
31. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为 的星的亮度为 ．已知太阳的星等是 ，天狼星的星
等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
32. 形如 （ 是非负整数）的数称为费马数，记为 ．数学家费马根据 ， ， ， ， 都是质
数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出 不是质数，那么 的位数是（
）．
（参考数据： ）
A. B. C. D.
33. 物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为 ，其中 为分
贝， 为声压标准值 ， 为声压测量值． 分贝是人刚能听到的最微弱的声音，
分贝是较为理想的安静环境，超过 分贝会影响休息和睡眠，超过 分贝会影响学习和工作，
超过 分贝会影响听力，如果突然暴露在高达 分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失
去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为 ，则其约为（参考数据： ，
）（ ）．
A. 分贝 B. 分贝 C. 分贝 D. 分贝
3. 知识总结
101.对数定义：一般地，对于指数式 ，我们把“以 为底 的对数 ”记作 （ 且 ），
其中，数 叫做对数底数， 叫做真数．
2.对数运算：
(1)对数运算法则：
① ；（对数的和等于积的对数）
推广 ．
② ；（商的对数等于对数的差）
③ ．
④ ．
（2）换底公式： （ ）．
（3）关于对数的恒等式：
五、 对数函数
1. 定义
形如 （ 且 ）的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ，值域为
实数集 ．
2. 图象与性质
11经典例题
34. 已知函数 ，若 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
35. 已知函数 若 ， ， ， 是互不相同的正数，且 ，
则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
36. 函数 的零点个数是（ ）．
A. B. C. D.
37. 已知函数 若关于 的方程 恰有 个不相等的实数根，则实数 的取
值范围是 ．
经典例题——解对数不等式
38. 设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
12巩固练习——解对数不等式
39. 解不等式： ，则 的取值范围是 ．
40. 不等式 的解集为（ ）．
A. B. C. D.
经典例题——对数函数图象与性质的综合应用
41. 已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习——对数函数图象与性质的综合应用
42. 已知偶函数 在区间 上单调递增，若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
3. 根据图象比较对数函数底数的大小
曲线 分别是对数函数 的图象：
（1）由图象得 ．
（2）当底数大于 时，底数越大图象越靠近 轴， ．
（3）函数值的大小比较
①底数相同真数不同
当底数大于 时，真数越大函数值越大．当底数小于 时真数越大函数值越小．
②指数相同真数不同
可采用函数图象法，
．
13③底数不同真数不同
．
经典例题
43. 设 ， ， ，则（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
44. 若 ，则（ ）．
A. B. C. D.
4. 知识总结
1.对数函数定义：函数 （ 且 ）叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是
，值域为实数集 ．
2.对数函数图像和性质:
3.对数函数底数大小比较：
曲线 分别是指函数 的图像：
14结论：①由图像得 ．
②当底数大于1时，底数越大图像越靠近 轴，当底数小于1时，底数越小越靠近 轴．
导图总结
出门测
45. 已知幂函数 的图象与 轴、 轴都无交点，且关于 轴对称，则 ．
46. 若 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
47. 设 、 、 为正数，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
48. 若函数 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
49. 若实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D.
50. 已知 ，若 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的
值为（ ）．
A. B. C. D.
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