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专题 05 利用二次函数解决实际问题
拱桥问题
1．（24-25九年级上·云南玉溪·期末）如图，一座石桥的主桥拱是类抛物线形，某时刻测得水面 的宽度
为 ，拱高（ 的中点到水面的距离） 为 ．求图像的解析式．
2．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）学校体育器材室有一扇长2米，宽1米的矩形窗户，现需设计一个
不锈钢的护栏．数学兴趣小组的同学提出的设计方案如下：如图，底部设计一条抛物线，抛物线的顶点到
底部距离为0.5米，为牢固起见，抛物线上方按相等间距加设三根不锈钢管立柱．请你根据兴趣小组同学
的设计，求出所需三根不锈钢管立柱的总长度．
3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，
大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底
用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，
为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为．
(1)求该函数的解析式；
(2)思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）【综合与实践】小东在复习二次函数时，遇到这样一个问题：
如图1，一个横截面为抛物线形的公路隧道，其底部宽 ，最大高度 ．车辆双向通行，规定车辆必须
在中心线两侧、距离道路边缘 的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 的空隙．你能否根
据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
如图2，小东以 点为原点，地面 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
请你帮小东解决问题：
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)求出通过隧道车辆的高度限制应为多少 ？
(3)老师说：隧道检修过程中，计划搭建一个由矩形 的三条边 组成的“支撑架”，使
两点在抛物线上， 两点在地面 上，如图3所示．为了筹备材料，需求出这个“支撑架”三
根木杆 、 的长度之和的最大值是多少，请你帮忙计算一下．投球问题
1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线
呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以 为原点建立如图所
示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高 为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
2．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小
球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段 处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知 ，且每个回收
箱的宽、高分别是 、 ，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
3．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为 的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离 处跳起投
篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方 处（点A）出手，
篮球在距离篮筐水平距离为 处达到最大高度 ，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方
向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在巩义市第一届青少年科技运动会上，某校课外科技活动小组依据
压缩空气能产生动力这一科学原理，研制了气压火箭，通过实验，收集了火箭相对于出发点的飞行水平距
离 （单位：m），飞行高度 （单位：m）的变化数据如表．
飞行水平距离 0 8 12 20 24
飞行高度 0 3.2 4.2 5 4.8
探究发现 与 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．
(1)直接写出 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台发射该火箭．根据上面的探究发
现解决下列问题：
①若发射平台相对于地面的高度为 ，求火箭落到地面时飞行的水平距离；
②在地面上设置回收区域 ．为了能使火箭落到 内（不包括端点 ，我们
可以通过调节发射平台的高度来实现，求发射平台相对于地面的高度的变化范围．
喷水问题
1．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆
垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射
的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米．
2．（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距 米，两人身高都是 米．以水平
线为 轴，小明所站立线为 轴建立如图所示直角坐标系，点 是小明水枪的喷口，小明的喷水枪
喷出的水行走的路线为抛物线 ，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标
为 ，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线 ，且其过点 ．
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果 是抛物线 的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．
3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌
溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范
围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发
现，以地面为 轴，以喷枪所在直线为 轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地
面的距离为 ，水流的最高点与喷枪的水平距离为 ，且满足 ．请解答下列问题：
(1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
(2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为 时，求水流的最高点到地面的距离；
(3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到 ，参考数据 ）．
4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出
拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为 ，水柱的最大高
度为 ．
(1)当射水鱼在原点 处时，求水柱的解析式；
(2)如图2，昆虫在 处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点 出发．
①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？
②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以 的速度水平向右逃离，同时射水鱼以 的速度水平向右
追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？
图形问题1．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围
成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为 米，花圃面积为 平方米．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)求 的最大面积．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为12
米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 为x米，花圃 的面积为 米 ．
(1)如果要围成面积为45米 的花圃， 的长是多少米？
(2)当x为________时，花圃 的面积最大，最大面积是________
3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤作为一边，用总长为
的围网在水库中围成了如图所示的两块矩形区域；已知岸堤的可用长度不超过 ，设 的长为 ，
矩形区域 的面积为 ．
(1)求y与x之间的函数解析式，并求自变量x的取值范围；
(2)当 的长度是多少时，矩形区域 的面积y取得最大值，最大值是多少？
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 表示墙
面，已知 ， 米， 米）和总长为 米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间 也是用篱笆隔开），点D在线段AB上，设 的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示 的长；
(2)若要求所围成的小型农场 的面积为 平方米，求 的长；
(3)求小型农场 的最大面积．
图形运动问题
1．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， ， ，动点
从点 开始沿边 向点 以 的速度移动（不与点 重合），动点 从点 开始沿边 向点 以
的速度移动（不与点 重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；
(1)求出 的面积 随出发时间 的函数解析式；
(2)求经过多少秒，四边形 的面积最小？最小值是多少？
2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 从点 出
发，沿边 以 的速度向点 移动；点 从点 出发，沿边 以 的速度向点 移动．已知 、
两点分别从点 ， 同时出发．问：(1)经过几秒， 的面积等于 ？
(2)五边形 的面积最小值是多少？
3．（23-24九年级上·重庆武隆·期末）如图，在 中， ，动点P从点
A出发沿射线 方向以 的速度移动，动点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动，如果
P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q到达C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为 ，
的面积为y．
(1)当 时，求 的面积；
(2)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）；
(3)在给定的直角坐标系内画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质．
4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ， 为
上一点， ，动点 以每秒1个单位的速度从点 出发，在三角形边上沿 匀速运动，
到达点 时停止．以 为边作正方形 ，设点 的运动时间为 ，正方形 的面积为 ，探究
与 的关系．(1)如图1，在点 由点 到点 的运动过程中， 关于 的函数解析式为__________；
(2)在点 由点 到点 的运动过程中，经探究发现 是关于 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请
根据图象信息，求 关于 的函数解析式及线段 的长．
(3)若存在3个时刻 对应的正方形 的面积均相等．若 ，则此时正方形 的
面积等于_________．
销售问题
1．（24-25九年级上·全国·期末）某商店销售一种台灯，若按每个 元的价格销售，每周可卖出50个，若
按每个 元的价格销售，每周可卖出 个，已知每周销售量 （个）与价格 （元/个）之间满足一次函
数关系．
(1)试求 与 之间的函数关系式；
(2)这种台灯的进价是10元/个，当价格定为多少时，才能使每周的销售利润最大？最大利润是多少？
2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品
每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系： ．设这种商品每天的销售利润为
w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售
价应定为每千克多少元？
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 年 月 日，甘肃发生 级地震．某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以 元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量 （件）与每件
的售价 （元）满足以下表格中的一次函数关系：
（元） … …
（件） … 6 …
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)求商场卖这种商品每天的销售利润 与每件的售价 间的函数关系式；
(3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为 元/两，某
商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量 （两）与售价 （元/两） 之间的函数关
系如图中的线段 所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
(1)求出 与 之间的函数表达式；
(2)若该菊花茶某月的总销售利润 元，求 关于 的函数表达式，当售价 为多少元/两时，销售利润 最
大，该月进货数量应定为多少？
(3)若该商店某月进货 两，如果销售不完，就以亏本 元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月
月利润最大？（注：“两”是一种质量单位）
5．（23-24九年级上·福建漳州·期末）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销
售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，
每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
(1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
(2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且 ），帮助做
“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
6．（22-23九年级上·河南南阳·期末）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶22元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之
间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示：
x（元/瓶） 22 24 26 27
y（瓶） 90 80 70 65
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围）
(2)若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利325元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶
的售价为多少元？
(3)该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的 ，设这种消毒洗手液每天的总
利润为w元，那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？
