文档内容
专题 05 圆中动点与新定义型综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、圆中的动点综合问题..............................................................................................................................1
题型二、圆中的新定义型综合问题......................................................................................................................5
B综合攻坚・能力跃升
题型一、圆中的动点综合问题
方法总结
1. 动态转化静态：抓住动点运动中的不变量（如半径、定角），确定临界位置（如极值点、特殊点），
将动态问题转化为静态图形分析。
2. 几何性质结合：利用圆的切线、垂径定理、圆周角等性质，建立动点与定点的关系，用代数式表示线
段长度或角度。
3. 分类讨论情形：按动点运动范围（如优弧/劣弧、圆内/外）分类，避免遗漏特殊位置，结合函数或方程
求解最值、轨迹等问题。
1．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图， 为 的外接圆， 是直径， ，
，点D是 上的动点，且点 、 分别位于 的两侧．
(1)求 的半径；
(2)当 时，求 的度数；
(3)连接 ，设 的中点为 ，在点 的运动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出 的
最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得 ，利用勾股定理求出 即可．
（2）连接 ， ，证明 ， ，可得结论．
（3）如图 中，连接 ， ．证明 ，推出点 的运动轨迹以 为直径的 ，连接 ，，求出 ， 的值，根据 ，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，
是直径，
，
， ，
，
∴
的半径为 ．
（2）解：如图 中，连接 ， ．
， ，
，
，
∵
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图 中，连接 ， ．
，
，
点 的运动轨迹以 为直径的 ，
连接 ， ，可知是等边三角形， ，
，
，
，
的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹．
2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在 中， ， ，O是边 上的点，
与 相切，切点为D， 与 相交于点E，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2) 的半径为_______； 与 相交于点M，求阴影部分的面积；
(3)F为 上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作 的切线，分别与边 ， 交于点G，H，
连接 ， ．嘉淇认为：随着点F位置的变化， 的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说
明理由．
【答案】(1)见解析
(2)2； ；
(3)正确，见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的
性质与判定，求不规则图形面积等等：
（1）由切线的性质得到 ．再证明 ，得到 ，即
．则可证明 是 的切线；
（2）证明 ，得到 ，再根据阴影部分的面积
列式求解即可；
（3）由切线长定理得到 ， ．再证明 ， ，得到
， ，则 ．证明 ，则，即 的度数不变．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ．
∵ 与 相切，切点为D，
∴ ．
在 与 中，
∴ ，
∴ ，即 ．
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ；
（3）解：正确，理由如下：
如图所示，连接 ，
∵ 都与 相切，∴ ， ．
又∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的度数不变．
题型二、圆中的新定义型综合问题
方法总结
1. 吃透新定义内涵：紧扣题干对新概念的描述（如“圆中某点满足特定距离关系”），结合圆的基本性
质（半径、圆心距等），将新定义转化为熟悉的几何条件（如线段相等、角度关系）。
2. 建立几何模型：根据新定义画出图形，标注已知量（半径、定点坐标等），明确动点或图形的约束条
件，将问题转化为求轨迹、面积或最值等常规问题。
3. 验证特殊情形：用特殊位置（如圆心、直径端点）检验是否符合新定义，排除错误理解，结合圆的对
称性、切线性质等简化计算，确保逻辑严谨。
3．（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段 分割成 和 ，
若以 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段 的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段 的勾股分割点，若 ，则 ___________．
【探究证明】
（2）如图（2），在 中， ，M，N在线段 上，且 ．求证：点
M，N是线段 的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在 中，圆心角 ，P是 上一动点，连接 ，分别作 的
垂直平分线，分别交直线 于点C，D，已知 ，当 是以 为底边的等腰三角形时，请直接
写出线段 的长．【答案】（1） 或 ；（2）见解析；（3） 或
【分析】（1）分 是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，证明 ，得到
，在 中， ，即 ，即可得到点 ， 是线段
的勾股分割点；
（3）分点P在 上方和下方两种情况讨论，连接 ，当点P在 上方，根据题意易得 都
是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段 的勾股分割点，得到 ，证明
，推出 ，设 ，则 ，利用勾股定理即可建立一元二
次方程求解即可，点P在 下方，同理求解即可．
【详解】（1）解：∵点 ， 是线段 的勾股分割点，
∴分两种情况：
当 为斜边时， ．
当 为斜边时， ．
∴ 或 ；
故答案为： 或 ；
（2）证明： ，
，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 ， ， ，
．
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
又∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
∴点 ， 是线段 的勾股分割点．
（3）解：如图，当点P在 上方时，连接 ，
∵点 在 上，
∴ 是 的内接三角形，
∴ 分别在 的垂直平分线上，
∵ ，
∴ 都是等腰三角形，
∴ ，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵圆心角 ，
∴ ，
由（2）同理可证点C，D是线段 的勾股分割点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ．
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），∴ ，
∴ ；
当点P在 下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
同理得点A，B是线段 的勾股分割点，
∴ ，
同理上一种情况得 ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题
的关键．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，
对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形．
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“ ”，错误的打“ ”）
①平行四边形一定不是“等对”四边形； （ ）
②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（ ）
③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（ ）(2)如图1，已知四边形 既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶
点都在 上，连接四边形的对角线 ， 交于点P．
①记 ， ，四边形 的面积分别为 ， ， 求证： ；
②如图2，点 为 的中点，连接 并延长交 于点N，若 ， 求 的半径
（用含 ， 的式子表示）．
【答案】(1)① ； ② ；③
(2)①见解析；②
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，圆周角，“等对”四边形定义，勾股定理，熟练掌握勾股定
理是解题的关键；
（1）根据“等对”四边形和“垂对”四边形定义，判断即可求解；
（2）①根据“等对”四边形的性质可知 ，从而推导出 ， 为等腰直角三角形，根据勾
股定理即可求解；
②根据M为 的中点，可得 ，进而根据勾股定理求解即可；
【详解】（1）解：① 平行四边形对角线不相等，
平行四边形一定不是“等对”四边形，该说法正确；
②“垂对”四边形的对角线垂直，所以“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；故正确；
③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是萎形，所以是“垂对”四边形；故正确；
故答案为：① ； ② ；③ ；
（2）①∵四边形 是“等对”四边形，
，
，
，
又∵四边形 是“垂对”四边形，
，
， 为等腰直角三角形，
设 ， ，
则 ， ， ，
，
② ，
在 中，，
又∵ 为 的中点，
，
， ， ，
，
即 ，
，
，
即 ，
将 代入 ，
得 ，
解得：
一、单选题
1．（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形 中， ，动点P从点O出发，沿
匀速运动， 的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为
（ ）
A．12 B． C．18 D．
【答案】D
【分析】本题考查弧长公式，根据图象先得到半径长，然后代入弧长公式计算弧长，即可得到a的值解题．【详解】解：由图象可得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点， 是以
为圆心， 为半径的圆上一动点，连接 ， ．则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，过圆上一点最值，显然该三角形的底边 不变，高为P点到直线
距离，其最大值为圆心直线的距离加上半径，面积的最大值可求．
【详解】解：由直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
P点所在圆的圆心为 ，半径为2，
∴ ，
如图，连接 ，设点C到直线 的距离为h，∴ ，
∴ ，
所以点P到直线 的距离最大值为 ，
故 面积的最大值是 ．
故选：A．
3．（2025·河南郑州·三模）如图①， ， 是 上的两定点，圆上一动点 从点 出发，按逆时针方向
匀速运动到点 ，运动时间是 ，线段 的长度是 ，图②是 随 变化的关系图象，则下列说法
错误的是（ ）
A． 的半径为 B． ， 两点间的距离为
C．点 的运动速度为 D． 的度数为
【答案】D
【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
由题图 得，抛物线顶点坐标 ，即 时， 最长，即此时 是 直径，据此可判定 、
、 ，最后根据 ，结合等边三角形的性质可对选项D进行判断．
【详解】解：A、由题图 得，当 时， ，即此时 、 、 三点共线，则 的半径
，故A选项正确，不符合题意；
B、当 时，点 到达点 处，此时 ，
、 两点间的距离为 ，故B选项正确，不符合题意；
C、点 从点 运动到 、 、 三点共线的位置时，走过的角度为 ，则走过的弧长为 ，
运动时间为 ，
点 的运动速度是 ，故C选项正确，不符合题意；D、当点 运动到点 时， ，即 ，
是等边三角形，
，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·北京·期中）如图， ， 分别与 相切于A，B两点，C是优弧 上的一个动
点，若 ，则 ．
【答案】 /75度
【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角
定理是解题关键．连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，再根据四边形的内角和可
得 的度数，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 分别与 相切于 两点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由圆周角定理得： ，
故答案为： ．
5．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， 于F，则 ．如图
2， 是 上一点， ，连接 ，则 °．【答案】60
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接 ，先计算得到 ，
则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧 的中点，即 ，根据圆心角、弧、弦的关系得到
，接着利用圆周角得到 ，则可得到 ，然后再利
用圆周角定理得到 的度数．
【详解】解：如图，连接
∵
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴点E为弧 的中点，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：60．
6．（25-26九年级上·全国·期末）如图， 是半圆O的直径，点D在半圆O上， ，C是
上的一个动点，连接 ，过点D作 于点H，连接 ．
（1）若C是 的中点，则点C到直线 的距离为 ；（2）在点C移动的过程中，线段 长的最小值是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
（1）连接 交 于点F，根据垂径定理以及三角形中位线定理可得 的长，即可求解；
（2）取 的中点E，连接 ，则 ，可得 ，再由勾股定理可求出 的长，
即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接 交 于点F，
∵C是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是半圆O的直径， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2
（2）如图，取 的中点E，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是半圆O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即线段 长的最小值是 ．
故答案为：
三、解答题
7．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知 ， 以点 为圆心， 为半径作 ，
与 轴的另一个交点为 ，点 是 上的一个动点，连接 ，点 是 的中点，连接 ．
(1)证明：
(2)当点 不与 重合时，求 的度数．
(3)当点 在优弧 上运动时，求点 的运动路径长．
【答案】(1)见解析
(2) 或 ；
(3)
【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，求弧长；
（1）由三角形中位线定理可得 ， ；
（2）由圆周角定理得 ，由平行线的性质可得 或 ；
（3）先确定点 的运动轨迹，作 的外接圆 ，并从中确定 的运动轨迹是圆上的一条弧，根据弧
长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D是 的中点，点O是 的中点，
∴ ，
（2）如图，连接 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 在劣弧 上时，则 ，
同理可得
综上所述 或 ；
（3）如图3，作 的外接圆 ，连接 ，
∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵当点C在 上运动时，
∴点D在 上运动，
∴点D的运动路径长 ，
8．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义： 中，若 与边 相切，且圆心 在边 上，则称该
为“别边切圆”．(1)已知等腰 中， ，求其别边切圆半径 ．
(2)若 存在别边切圆，求 取值范围．
(3)已知 的别边切圆半径 ，且 ，求 长度．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）先证明 ，可得 ，再证明 ，可得
，然后根据等腰三角形三线合一可得 ，再利用面积法求出其别边切圆半径 ；
（2）根据别切圆的圆心可知，任意三角形都有别切圆，以此求出 取值范围；
（3）与（1）同样的方法，先得出 ，转化为关于 的方程求解即可．
【详解】（1）解：连结 ， ， ，
∵ 与边 相切，
∴ ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴其别边切圆半径 ；
（2）∵ 与边 相切，圆心 在边 上，
∴圆心 是 的平分线与 的交点，
∴任意三角形都有别边切圆，
∴ ；
（3）连结 ， ， ，
∵ 与边 相切，
∴ ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： 或 ．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，切线的性质，切线长定理等知
识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
9．（2025·河北·模拟预测）如图1，在 中， ，以点B为圆心，以 为
半径作圆．
(1)设点P为 上的一个动点，线段 绕着点C顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ， ，
如图2，求证： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长；
(3)在（1）的条件下，当 ______°时， 有最大值，且最大值为______；当 ______°时，
有最小值，且最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)2或
(3)135； ；45；
【分析】（1）由旋转可得 ， ，进而得到 ，从而证明
，根据全等三角形的对应边线段得证结论；
（2）分点P在 的上方或下方两种情况求解即可；
（3）连接 ，由 得到 ，从而点D在以点A为圆心，半径为 的圆上．当
点D在 的延长线上时， 有最大值，最大值为 ，根据 ，可求得
．当点D在线段 上时， 有最小值，最小值为 ，根据
，可求得 ．
【详解】（1）证明：由旋转可得 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：分两种情况讨论：
①如图，若点P在 的上方，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点A，D，P在同一直线上，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴在 中， ；
②如图，若点P在 的下方，连接
由①得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点B，P，D在同一直线上，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
综上所述， 的长为2或 ．
（3）解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴点D在以点A为圆心，半径为 的圆上．
如图，当点D在 的延长线上时， 有最大值，
最大值为 ，
此时 ，
∵ ，
∴ ．
如图，当点D在线段 上时， 有最小值，
最小值为 ，
此时 ．
故答案为：135； ；45；【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，
两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键．
10．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为
“圆等三角形”．
(1)如图1， 是 的一条弦（非直径），用直尺和圆规在 上找一个点 ，使得 是“圆等三角
形”．
(2)如图2，四边形 是 的内接四边形，连结对角线 ， 和 均为“圆等三角形”，
且 ：
①当 时，求 的度数；
②如图3，当 ， 时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
(2)① 的度数为 或 或 ；②
【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题的关键是准确理解题意，熟练
运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题．
（1）根据等腰三角形的画法画图即可；
（2）①求出 的度数，再分类讨论，求出 ，即可解答；
②连接 ，得出 是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形
面积即可．
【详解】（1）解：如图，作线段 的垂直平分线，交 于点C，此时可使得 是“圆等三角形”；
（2）① 四边形 是 的内接四边形， ， ，， ，
当 时， ，
；
当 时， ，
；
当 时， ，
；
综上所述， 的度数为 或 或 ．
②连接 ，
四边形 是 的内接四边形， ，
，
是圆等三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
过点O作 ，
，
， ，
，
，扇形 的面积为： ，
阴影部分面积为： ．
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边
形”．
(1)若 是圆的“闪亮四边形”，则 是 （填序号）；
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为 于点E，四边形 是 的“闪亮四边形”．
①求证：
②求证：
(3)如图2，四边形 为 的“闪亮四边形”， 相交于点 ， ，求
的半径为R
【答案】(1)③
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）根据“闪亮四边形”的定义结合平行四边形的性质即可解答；
（2）①连接 并延长交 于点F，分别连接 ， ， ， ，利用垂径定理证明 是 的
中位线，推出 ，再根据圆周角定理结合“闪亮四边形”的定义，推出 ，进而推
出 ， ，得到 ，最后 ，即可得出结论；②过点O作
于点G， 是等腰三角形，再证明 ，推出
，再根据四边形 是 的内接四边形，得到
，进而求出， ，利用勾股定理即可证
明；
（3）同理（2）②可得 ，由圆周角定理推出 ，得到 ，再根据四边形 为 的“闪亮四边形”，结合 ，利用勾股定理可求出 ，求出
，再利用勾股定理求出 ，由（2）②可得 ，利用勾股定
理即可求解．
【详解】（1）解：∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是矩形，
∵ 圆的“闪亮四边形”，
∴ ，
∴ 是菱形，
∵ 是矩形，
∴ 是正方形，
故答案为：③；
（2）①证明∶连接 并延长交 于点F，分别连接 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是“闪亮四边形”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②过点O作 于点G，
由①知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：同理（2）②可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为 的“闪亮四边形”， ，
∴ ， ，
∴ （负值舍去），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
由（2）②可得 ，
∴ ，
∴ （负值舍去）．
【点睛】本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，
三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）[模型建立]
如图①、②，点 分别在 外、在 内，直线 分别交 于点 、 ，则 是点 到 上的点的
最短距离， 是点 到 上的点的最长距离．[问题解决]
请就图①中 为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点 到 上的点的最短距离为 ，最长距离为 ．则 的半径为 ．
（2）如图③，在 中， ， ， ．点 在边 上，且 ，动点 在半径为
的 上，则 的最小值是 ．
[拓展延伸]
如图， 为 的直径， 为 上一点，其中 ， ， 为 上的动点，连 ，取
中点 ，连接 ，则线段 的最大值为 ．
【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1） 或 ；（2） ；[拓展延伸]
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；
[初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
（2）分两种情况讨论：①点 在 外，②点 在 内，根据线段的和差即可求解；
连接 ，交 于点 ，则 的最小值是 的长，根据勾股定理即可求出 ，进而得到 的长，即
可解答；
[拓展延伸] 取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 ，可得 是 的中位线，则点
在 为圆心， 为半径的圆上运动．在 中，得出 ，进而可得 的最大值为
．
【详解】解：[问题解决]
如图，点 为 上任意一点，连接 ， ，当点 与点 不重合时，
∵在 中， ，
又 ，
∴ ，即 ，
当点 与点 重合时， ，
∴综上可得， ，
∵点 为 上任意一点，
∴ 的长是点 到 上的点的最长距离．
[初步应用]
（1）若点 在 外，如图①，
则 ， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ；
若点 在 内，如图②，
则 ， ，
∴ ，
∴ 的半径为 ；
综上所述， 的半径为 或 ．
故答案为： 或
（2）连接 ，交 于点 ，由[模型建立]可得 的长是点 到 上的点的最短距离，
的最小值是 的长∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ．
[拓展延伸]如图所示，
取 的中点 ，连接 ， ，过点 作
∵点Q是线段 的中点，
∴ ，
∴点 在 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当 在 上，线段 取得最大值，
∵
∴ ，
∴ ，
在 中，
∴ 的最大值为
故答案为： ．
