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专题 13 与圆有关的七种模型
题型1 四点共圆
题型2 圆幂定理
题型3 垂径定理
题型4 定弦定角
题型5 定角定高模型（探照灯模型）
题型6 阿氏圆
题型7 瓜豆原理
题型一 四点共圆（共 6 小题）
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共圆．小明认为：
连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE，交AC于点F，请利用无刻度
的直尺与圆规在线段CF上确定点P，使∠DPE=90°．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若AB=6，BE=2AE，直接写出线段DP的长．
2．（2025·广东广州·一模）直线 交 轴于点 ，抛物线 交 轴于点 和
y =2x+7 y A y =ax2+bx+c x B(x ,0)
1 2 1点 ， ．
C(x ,0) x <x
2 1 2
(1)求点A的坐标；
(2)如果b=3，c=6，且抛物线y 始终在直线y 下方，求a的取值范围；
2 1
(3)过点B作y 的平行线，在第一象限内交抛物线y 于另外一点D，如果点D的横坐标是x +4，且
1 2 1
△BCD的面积是32，A、B、C、D四点共圆．当-1≤x<4时，探究y 有没有最值（最大值或最小
2
值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由．
3．（24-25九年级上·福建南平·期末）综合与实践：数学活动课上，兴趣小组开展“探究四点共圆的条
件”活动．
【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，
那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
设⊙O是△ABC的外接圆
如图2，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接CE
∵ E ⊙O
点 在 上，
∴∠B=∠E（_____）
∵在△CDE中，∠ADC=∠DCE+∠E
∴∠ADC=∠DCE+∠B
∴这与已知条件∠ADC=∠B矛盾
∴点D不在⊙O内如图3，假设点D在⊙O外，…；
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即A，B，C，D四点共圆．
【归纳结论】
（1）上述探究过程中的括号内填的依据是_____；
（2）如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分；
【结论运用】
（3）如图4，已知四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，若∠ABC=60°，BD平分∠ABC，记
AB+BC
t= ，t的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出t的取值
BD
范围．4．（23-24九年级下·福建莆田·月考）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边
形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形
旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个
顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D是△ABC内一点，连接BD，将线段
BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接CE，DE，AD，并延长AD交直线CE于点F．请解答
下列问题：
(1)当点D在如图所示的位置时，
①求∠DFC的度数；
②利用题干中的结论，证明：B,D,F,E四点共圆；
(2)连接FB，点D在△ABC内部运动的过程中，若FD=3，FE=1，直接写出线段FB的长．
5．（2024·湖南·模拟预测）综合与实践
“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小
组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D，那么A，B，C，D
四点在同一个圆上．探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的☉O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE,CE，则
∠AEC+∠D=180°（依据1）
∵∠B=∠D，
∴∠AEC+∠B=180°．
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的☉O上．（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．
反思归纳：
(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________．
依据2：________________．
如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2,∠3=45°，则∠4的度数为________．
(2)拓展探究：
(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．
作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于点F，连接AE,DE．求证：A，D，B，
E四点共圆．
6．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考
阅读下面的材料，并完成相应的任务．探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个
四边形的四个顶点能作一个圆吗？
下面给出了一些圆内接四边形．
分别用量角器测量上面
各四边形的内角，得出结论：∠A+∠C ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”）
∵四边形内角和为360°，
∴∠B+∠D ② 180°．（填“＞”“＜”或“＝”）
如果四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么∠B+∠D与180°之间还有上面
的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明．
……
任务：
(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”）
(2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究∠B+∠D与180°之间的关系．
(3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，∠CBE=∠D，BC=CD，∠BCD=130°，
请在图6中作一个过A，B，D三点的⊙O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接
写出∠CAB的度数．
题型二 圆幂定理（共 5 小题）
1．（2025·江苏苏州·一模）如图已知过⊙O外一点A向⊙O作两条割线分别交⊙O于点D，B和点
E，C，其中AB>AD，AC>AE，经测量得知∠A=30°30'3″，则弧BC的度数不可能是（ ）A．61° B．62° C．63° D．64°
3．（2025·河南郑州·一模）【 问题背景】
如图（1），点A在⊙O外，点B，C，D在⊙O上 ．
【解决问题】
（1）请判断∠A和∠B的大小关系，并加以证明；
【实践应用】
（2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图(2)，
CD为对方球门，当甲带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点(点A在CB´D外)，直接判断：甲是自己
射门好，还是将球传给乙，让乙射门好?
【拓展延伸】
（3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点D处接到球后，沿DP方向带
球跑动，并在对球门AB的视角最大的点M处射门(视角最大时，经过点A，B，M的 圆 与DP切于
点M)．已知AB=8m，BC=11m，视角∠AMB=30°，∠PDQ=45°(点Q在CD的延长线上)．求
DM的长．(结果保留根号)
4．（2025·天津河东·一模）已知△ABC，∠ABC=90°，⊙O过点A，且与边AC，BC分别交于点D，
E．(1)如图①，若⊙O过点B，且BE=AB，连接BD，求∠ADB的大小；
(2)如图②，若点O在AC上，BC与⊙O切于点B，过⊙O上点F作FG⊥AC交AC于点G，连接
AF，若BC=AB=2+❑√2，DG=4AG，求AF的长．
5．（2024·河南·三模）古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．
在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆
相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该
点向圆引的切线所构成的正方形的面积．
命题解读：直线AP为⊙O的切线，直线
AC为圆的割线，以AP为边构造正方形
APDE，以AB,AC为边构造矩形ACGF
，可得正方形APDE的面积等于矩形
ACGF的面积，由此可得
AP2=AB⋅AC．
某数学兴趣小组对该命题进行了论证，其作答共分为两个流程：尺规作图和论证推理．
(1)尺规作图步骤如下：①以点B为圆心，小于OB的长为半径作弧，分别交射线OB于P，Q两点；1
②分别以P，Q为圆心，以大于 PQ的长为半径作弧，两弧交于点E；③作射线BE，射线BE与射
2
线DC交于点A；④可得直线AB为⊙O的切线．请按描述完成作图；
(2)依据所作图形，求证：AB2=AC⋅AD．
题型三 垂径定理（共 7 小题）
1．（25-26九年级上·全国·期末）云南傣族竹筒饭融糯米香、青竹香于一体，是最具民族特色的风味食品．
如图1是一个竹筒饭容器，如图2是该竹筒容器的截面示意图．若竹筒开口AB宽为8cm，这个竹筒
所能装食物的最大深度是8cm，则竹筒截面的半径为 cm．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，有一个底部呈球体的烧瓶，球的半径为5cm．若瓶内液体的
深度CD=2cm，则截面圆中AB的长为 cm．
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条弦，D、E是
AB、AC上的点，且AB=8、AC=6，则矩形ADOE的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．124．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的
碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据：
测量主
测量碗口的直径
题
测量工 一张矩形纸条和刻度尺
具
测量方 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于A，B，C，D四
案 点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度
实物图
及测量
示意图
测量说 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，AB为纸条下沿与碗口相交的线段，测量
明 时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动
测量数 AB=16cm，CD=12cm，纸条宽度14cm．
据
请你根据上述方案和数据计算出碗口直径．
5．（24-25九年级上·河北保定·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图
2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M．已知
CD=2m，EM=3m．
(1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
(2)求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直
径的半圆O，AB=50cm，MN为水面截线，MN=48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．(1)作OC⊥MN于点C，求OC的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了13cm，求此时水面截线减少了多少？
7．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）《桥梁的设计》
某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽AB=L（如图），称为跨度，桥面
最高点到AB的距离CD=h称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，
若修建拱桥的跨度L=32米，拱高h=8米．
问
题
的
驱
动
设 方案一 方案二
计
方
案
设 圆弧型 抛物线型
计
类
型
任
务
一
（2）如图，设计成抛物线型，以AB所在
直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立
如图所示的平面直角坐标系，求拱桥的函
（1）如图，设计成圆弧型，求该圆弧 数解析式．所在圆的半径．
（3）如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=6.1米，
EH=16米．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁．
任
务
二
题型四 定弦定角（共 5 小题）
1．（2023·贵州六盘水·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠B=60°，AB=8，点D是边BC
上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值
为 ．
2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是
△ABC内部的一个动点，且满足AP⊥BP，则线段CP的最小值为 ．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，
AE=CD，连接AD，BE交于点P．(1)求证：∠APB=120°；
(2)若等边三角形ABC的边长为2❑√6，CP的最小值是多少？
4．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，△PAB中，∠P＝90°，PA=PB=❑√2，点D为AB上一
点，将线段AD绕点P逆时针旋转90°得到BC，连接AC，过D作DE⊥AC于E，连接BE ，则BE
的最小值为 ．
5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，等边△ABC的边长为2，点D是边AB上一动点（不与A、
B重合），以AD为直径的⊙O与边AC交于点E，连接BE与⊙O交于点F，连接CF，当点D在边
AB上移动时，CF的最小值为 ．题型五 定角定高模型（探照灯模型）（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，过点B作BD⊥BC，
1
且BD= BC=2，连接AD，则AD的最大值为 ．
2
2．（2023九年级上·浙江·竞赛）如图，在四边形ABCD中，
AB=3，AC=6，DC=2，∠CAB=30°，则△ABD的面积的最大值为（ ）
17 17 15 15
A． B． C． D．
3 2 3 2
3．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）[学习心得]（1）小刘同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一
些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求
∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，
∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角．则∠BDC= ．
[初步运用]（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则
∠BAC= °；[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°（不
写作法保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）如图4，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿逆
时针方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，连接CP，则CP的最小值是 ．
（5）如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=3，CD=1．求AD的长．
4．（2023·重庆·模拟预测）在直角△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D是△ABC外一点，
连接AD，以AD为边作等边△ADF．(1)如图1，当点F在线段BC上，DF交AC于点M，且AF平分∠BAC，若AF=❑√6+❑√2，求
△ADM的面积；
(2)如图2，连接FB并延长至点E，使得FB=BE，连接CE、DE、CD，证明：DE=❑√3CD；
(3)如图3，旋转△ADF使得DF落在∠ABC的角平分线上，M、N分别是射线BA、BC上的动点，
且始终满足∠MDN=60°，连接MN，若BC=❑√2，请直接写出△MDN的面积最小值．
题型六 阿氏圆（共 3 小题）
1．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限
1
内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+ AP的最小值是 ．
2
2．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在
OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．3．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于
A(-1，0)，B两点，AB=4，C为抛物线顶点．
(1)求b，c的值；
(2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，交AC于点M，是否存在
QM=3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；
1
(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+ AN的最小值．
2
题型七 瓜豆原理（共 4 小题）
1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点．以点C为圆心，CE长为半径画圆，点P是⊙C上一动点，点F是边AD上一动点，连接AP，若点Q是AP的中
点，连接BF，FQ，则BF+FQ的最小值为（ ）
A．2❑√10-1 B．2❑√10+1 C．❑√13+1 D．❑√13-1
2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为4的正方形ABCD中，以BC为直径在正方形内作半
圆，点E是半圆上动点，连接AE，把线段AE绕点A逆时针旋转90°得线段AF，连接BF，则线段BF
长度的最小值是 ．
3
3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线y=- (x-1)(x-9)与x轴交于A，B两点，点C为抛物线的
4
顶点，点G为以AB为直径的⊙D上一动点，P为CG的中点，则AP的最小值为 ．1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E,F分别是AB,BC边上的两动点，且EF=2，点G
为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH,GH，则GH+CH的最小值为（ ）
A．4❑√5 B．9 C．❑√83 D．❑√85
2．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片
ABCD，如图：AB=12，BC=10，他在边BC上取中点N，又在边AB上任取一点M，再将△BMN
沿MN折叠得到△B'MN，连结AB'．AB'达到最小值时，求BM= ．
3．如图，AB为半圆的直径，C为A´B的中点，P为B´C上任意一点，连接AP，CP，过点C作CD⊥CP
交AP于点D，连接BD．若AB=2，则BD的最小值为（ ）
A．❑√5+1 B．2❑√5-2 C．2❑√5+2 D．❑√5-1
4．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接
AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（ ）A．3❑√5 B．3 C．3❑√5-3 D．3❑√5+3
5．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC和BD
交于点E，若AE=4,CE=2，则BD长的最小值为（ ）
A．6 B．4❑√2 C．4 D．2❑√2
