文档内容
专题 17 圆中求弧长与面积的有关计算问题的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用弧长公式求弧长
类型二、利用扇形面积公式求面积
类型三、不规则阴影部分周长计算
类型四、不规则阴影部分面积计算
类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算
压轴专练
类型一、利用弧长公式求弧长
弧长公式知识点与解题技巧
一、核心知识点
nπr
1.弧长公式：设扇形半径为r，圆心角为n°（角度制），弧长为l，则l = ；若圆心角为a（弧度
180
制），则l = ra。
2.关键前提：公式适用于扇形，需明确半径和圆心角（注意角度制与弧度制换算，180° = π弧度）。
二、解题技巧
1.找已知量：优先确定题目中给出的半径r、圆心角（或可推导条件，如弦长、扇形面积）。
nπr
2.选对公式：角度制用l = ，弧度制用l = ra，避免单位混淆。
180
3.补全条件：若仅给弦长、面积等，先通过几何关系（如勾股定理、扇形面积公式）求出半径或圆心
角，再算弧长。
例1．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形， ， ．
若 的半径为5，则弧 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧 所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ．
∴ ，
∴ ，
∴弧 的长为 ．
故答案为： ．
【变式1-1】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点A，B，C依次在 上， ，
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理．由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的长 ．
故答案为： ．
【变式1-2】（2025·吉林长春·三模）如图， 是 两条切线，切点分别为点 ，点 ，若 ，
的半径为2，则 的长度为 ．【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得 ，再结合 ，
算出 ，然后根据弧长公式，即可作答．
【详解】解：过点O分别作 ，如图所示：
∵ 是 两条切线，切点分别为点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为2，
则 的长度为 ，
故答案为： ．
【变式1-3】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图1，已知一块圆心角为 的扇形铁皮，用它作
一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是 ，则它的侧面积
是 ．（结果用 表示）【答案】
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮
的半径，利用勾股定理求解即可．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求
解．
【详解】解：由圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是 ，
得底面圆的周长为 ，
设扇形的半径为 ，
故 ，
解得 ，
故圆锥的母线长为 ，
故它的侧面积是 ，
故答案为： ．
类型二、利用扇形面积公式求面积
扇形面积公式知识点与解题技巧
一、核心知识点
nπr2 1
1.面积公式：角度制（圆心角n°，半径r）：S = ；弧度制（圆心角a）：S =
ar2
；也可结合
360 2
1
弧长l：S = lr。
2
2.适用范围：仅用于扇形，需明确半径、圆心角（或弧长），注意角度与弧度换算（180° = π弧
度）。
二、解题技巧
1.抓关键量：先识别题目给出的半径、圆心角或弧长，缺量时通过已知条件（如弦长、周长）推导。
1
2.选最优公式：已知圆心角和半径用前两式，已知弧长和半径用S = lr，减少计算量。
2
例2．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，正六边形 的边长为 ，以顶点A为圆心，
长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．【答案】 /
【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关
键；由正六边形的性质可知 ，然后根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：∵六边形 是正六边形，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为 ．
【变式2-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）一把折扇打开后，如图，小扇形 的半径为 ，弧长为
，大扇形 的半径为 ，扇面的宽度 为 ，则扇面的面积（阴影部分）是
（结果保留 ）．
【答案】
【分析】本题考查了求扇形面积，弧长的计算，先根据小扇形 的半径为 ，弧长为 ，求出
的度数，根据 列式代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：设 ，根据题意可列方程为： ，
解得： ，
则 ，
大扇形 的半径为 ，扇面的宽度 为 ，
，
则
．
故答案为： ．
【变式2-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）将一个母线长为 的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知
扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据圆锥
的侧面展开图可得扇形的半径为 ，再利用扇形的面积公式计算即可得．
【详解】解：∵将一个母线长为 的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，
∴这个扇形的半径为 ，
又∵扇形的圆心角为 ，
∴扇形的面积为 ，
故答案为： ．
【变式2-3】（2025·山东青岛·二模）如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形 ，
用来制作一把纸扇，其中 ，扇形与矩形相切于点 ， 、 在矩形的边上， 长为 ，
则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、矩形的判定和性质，解题的关键是掌握扇形的面积公
式，由余角的余弦求出 的长．
连接 ，由切线的性质定理推出 ，判定四边形 是矩形，得到 ，由
，求出 ，得到 ，求出矩形 的面积和扇形 的面积，即可得到阴影的面积．
【详解】解：连接 ，
与扇形相切于 ，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
矩形 的面积 ，
扇形 的面积 ，
阴影的面积 矩形 的面积 扇形 的面积 ．
故答案为： ．类型三、不规则阴影部分周长计算
不规则阴影部分周长计算知识点与解题技巧
一、核心知识点
1. 周长本质：不规则阴影部分周长是构成阴影边界的所有线段和曲线长度之和，常见曲线为圆的弧（需
结合圆周长公式C=2πr或弧长公式计算）。
2. 关键关联：阴影边界常与正方形、长方形的边，或半圆、扇形的弧相关，需明确各边界对应的几何图
形。
二、解题技巧
1. 分解边界：用虚线将阴影周长拆分为“直线段+曲线段”，分别标注各部分对应的已知条件（如边长、
圆半径）。
2. 曲线转弧长：若含曲线，先确定对应圆的半径，再根据圆心角算弧长（如半圆对应 πr，四分之一圆对
1
应 π r）。
2
3. 求和验证：将所有线段和弧长相加，避免漏算或重复计算边界。
例3．（2025·吉林·三模）如图，在 中， ，以点 为圆心， 的长为半径画弧
交 边于点 ，以点 为圆心， 的长为半径画弧交 边于点 ，则阴影部分图形的周长为
（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
根据平行四边形的性质得出 ，连接 ，由作图得 ，证
明 是等边三角形，得出 ，根据弧长公式求出弧 ，弧 的长即可解决
问题．
【详解】解：连接 ，如图，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由作图得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴弧 的长= ；弧 的长 ，
∴阴影部分图形的周长为 ，
故答案为： ．
【变式3-1】（2025·广东江门·三模）如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而
成，中间是一个边长为 的正方形 ，两端是分别以 为直径的半圆．分别取两个半圆的中
点E，F，连接 ，则阴影部分的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查弧长的计算和正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关知识的灵活运用．设
的中点为点O，连接 ，过点E作 交 延长线于点M，根据勾股定理求出 ，根据弧
长公式求出 的长，再根据对称性即可得出答案．
【详解】解：设 的中点为点O，（即左边半圆圆心为点O），连接 ，过点E作 交 延长
线于点M，∵E，F是两个半圆的中点，正方形 的边长为 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
∴ ，
∴ 的长为 ，
∴图中左侧阴影部分的周长为 ，
∴由对称性可知，图中阴影部分的周长为 ，
故答案为： ．
【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三
段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原
理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图② 的边长为 ，则这个莱洛三角形
的周长为 cm．
【答案】
【分析】本题考查等边三角形的性质，弧长的计算．先得出 ，， 则 ，再用弧长公式计算即可．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
，
∵每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，
∴ ，
这个莱洛三角形的周长为 ．
故答案为： ．
【变式3-3】（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个
直径端点与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算、等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质、弧长计算公
式是解题的关键；
本题设两圆周相交于点 ，连接 、 ，再根据等边三角形的判定与性质得到 ，由弧长公
式求出 ，同理求出 ，再根据出 求出阴影部分的周长即可．
【详解】解：如图，设两圆周相交于点 ，连接 、 ，
，
是等边三角形，
，
，同理可得， ，
阴影部分的周长为 ．
故答案为： ．
类型四、不规则阴影部分面积计算
不规则阴影部分面积计算知识点与解题技巧
一、核心知识点
1.面积本质：不规则阴影面积是阴影区域所占平面的大小，需通过“转化”为规则图形（如圆、正方
形、三角形、扇形）的面积和或差来计算。
1 nπr2
2.常用规则图形公式：正方形S=a2、三角形S= ah、圆S=πr2、扇形S= （角度制）。
2 360
二、解题技巧
1.“割补法”优先：将阴影分割成几个规则图形（割），或用大规则图形减去空白规则图形（补）。
2.找“重叠”或“对称”：若有对称图形，可利用对称性简化计算；若有重叠区域，注意面积是否重复
加减。
3.标已知量：在图中标注边长、半径等关键数据，确保代入公式时数值准确，最后汇总计算结果。
例4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点
， 的延长线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】 /
【分析】连接 ，根据已知条件得到 是 的直径， ，根据切线的性质得到
，得到 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据
梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【详解】解：连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ 是 的直径， ，
∵ 分别与 相切于点A和点D，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴矩形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
【变式4-1】（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，则图中
阴影部分的面积是 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，阴影部分的面积为 ，结合已知代入计算即
可．
本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ， ，
故 ,
故阴影部分的面积为
．
故答案为： 或 ．
【变式4-2】（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图，在平行四边形 中， ，
，以点C为圆心， 为半径作弧，交 于点E，交 于点F，则阴影部分的面积
为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，根据平行四边形的性质、等边三角形的判定和性
质以及直角三角形的边角关系求出 的长，扇形圆心角度数，根据扇形面积的计算方法，依据进行计算即可
【详解】解：如图，连接 ，过点C作 于G，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
【变式4-3】（25-26九年级上·湖北·期末）如图，扇形 中， ， ，点C为 上一
点，将扇形 沿 折叠，使点B的对应点 落在射线 上，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，根据题意和图形，可以计算出 的长，然后根
据勾股定理可以求得 的值，然后根据图形可知，阴影部分的面积 扇形 的面积 的面积的
二倍，代入数据计算即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
则 ，
解得 ，
∴阴影部分的面积是： ，
故答案为： ．
类型五、不规则阴影部分面积中的最值的计算
不规则阴影面积最值问题知识点与解题技巧
一、核心知识点
1.本质逻辑：最值源于变量（如半径、边长、角度）的取值变化，需先将阴影面积表示为关于变量的函
数，再求函数最值。2.常用工具：二次函数顶点（y=ax²+bx+c，a≠0）、不等式（如均值定理）、几何图形性质（如圆中直
径最长）。
二、解题技巧
1.建函数关系：用割补法将阴影面积转化为规则图形面积和/差，代入变量（如设半径为x），列出面积
表达式。
2.定取值范围：根据题干条件（如边长为正、角度在0°-360°）确定变量的取值范围。
3.求最值：二次函数用顶点公式，符合均值定理条件的用“一正二定三相等”，最后验证最值是否在取
值范围内。
例5．如图，在扇形 中 ，C为 上一点且 ，点D为半径 上一动点．若
，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两
点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键．
作点 关于 的对称点F，连接 ，与 交点为D，此时 最小，最小值就是 长，再加上
弧 的长即可．
【详解】解: 作点 关于 的对称点 , 连接 ,与 交点为D, 交 于点 ,过点 作
交 延长线于点 ，由对称可知
，∵四边形 是矩形,
，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【变式5-1】如图，一张直径为 的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中
阴影部分面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图1，设圆心为 ，连接 ，则 ，由圆周角定理可得
，由勾股定理得， ，计算求解即可；设 到 的距离为 ，由题意
知， ，则当 最大时， 最小，当 时，最大，如图1，作 于 ，由垂径定理可得 ，由勾股定理得，
，则 ，然后求阴影部分面积即可．
【详解】解：如图1，设圆心为 ，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
设 到 的距离为 ，
由题意知，
，
当 最大时， 最小，
∴当 时， 最大，如图1，作 于 ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积，垂径定理等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定
理，扇形面积，垂径定理是解题的关键．
【变式5-2】如图，⊙O的半径为2cm，弦 ，C是弦AB所对的优弧 上一个动点，则图中
阴影部分的面积之和的最小值是 cm2．
【答案】 /
【分析】过点C作 于E，由 ，得当 最大时， 最
小，此时， 经过圆心O，即 垂直平分 ，点C为优弧 的中点，连接 ，由垂径与勾股定理
求出 的长，即可求解．
【详解】解：过点C作 于E，
∵ ，
∴当 最大时， 最小，此时， 经过圆心O，即 垂直平分 ，点C为优弧 的中点，连接
，∵ ，
∴ ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴ 最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，不规则图形面积，三角形面积，勾股定理，根据图形面积关系，得出点C为
优弧 的中点时，阴影面积最小是解题的关键．
【变式5-3】如图，在扇形 中， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．
若OB=1，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称
解决路程最短问题是关键．利用轴对称的性质，得出当点E移动到点 时，阴影部分的周长最小，此时的
最小值为弧 的长与 的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：如图，作点D关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，此时 最小，即： ，
由题意得， ，
，
， 的长 ，
∴阴影部分周长的最小值为 ．
故答案为： ．
一、单选题
1．（2025年西藏自治区中考真题数学试卷）如图，在 中，直径 ， 是 的弦，若 ，
则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接 ，由
圆周角定理可得 ，再求出半径 ，根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵直径 ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故选：C．
2．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中， 、 、 、 、 是网格线交点，若
与 所在圆的圆心都为点 ，那么阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质，
根据阴影部分的面积 解答即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
同理： .
根据勾股定理，得 .
阴影部分的面积
.
故选：C.
3．（2025年江苏省盐城市中考数学试题）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，
瓦片横截面如图（3）所示， 是以点 为圆心， 为半径的弧，弦 的长为 ，则 的长是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得 ，则 是等边
三角形，进而根据弧长公式 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∴ 的长为 ．
故选：D．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去
身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为 的圆形玉料，要用其刻出
一个圆周角为 的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
先求出 的长，再根据扇形面积公式，求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接 ， ，，
，
，
，
阴影部分的面积 ．
故选：C．
5．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）四边形 是平行四边形， ， ，
，以C为圆心 为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心 为半径画弧交 于点E，则阴影
部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，扇形面积公式，根据
平行四边形的性质得到 ，由勾股定理逆定理证得 是等腰直角三角形， ，
，根据三线合一得到 ，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ， ，∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积
，
故选：B．
二、填空题
6．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在圆的半径是 ．
【答案】18
【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的
关键在于准确理解并运用弧长公式 ，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半
径R的值．根据弧长公式 ，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可
求解半径R．
【详解】解： ， ，
，
解得， ，
故答案为：18．
7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图， 是半径为2的 的一条弦， ．将 绕点 逆
时针旋转，当点 的对应点 第一次落在 上时，点 运动的路径长是 ．（结果保留 ）【答案】
【分析】此题考查弧长公式，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接 ，得到
是等边三角形，由旋转的性质得到 ，利用勾股定理求出 的长，再根据弧长公式求出答案即
可．
【详解】解：连接 ，
由旋转得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 运动的路径长是 ，
故答案为 ．
8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，以B为圆心，
长为半径画弧交线段 的延长线于点E，以D为圆心、 长为半径画弧交 于点F，则阴影部分
面积为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质可得 ，由勾股定理可得 ，再根据阴影部分的面积 ，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，设 与 交于点G
在矩形 中，
，
∵ ，
∴ ，
，
阴影部分的面积
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，矩形的性质，勾股定理，求扇形面积，三角形的面积公式
等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，正方形 的对角线 ， 交于点 ，以点 为圆
心， 长为半径画弧交 于点 ，交 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，
交 于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】 /
【分析】先求出正方形对角线长度，进而得到扇形半径，再根据正方形面积减去两个扇形面积求出阴影部
分面积．本题主要考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，熟练掌握正方形的性质和扇形面积公式是解
题的关键．
【详解】解： 四边形 是正方形，
，
图中阴影部分的面积为
故答案为： ．
10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形 中， ，动点E、F
分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿 向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，
过点B作直线 的垂线 ，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了轨迹长度的求解、矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、与圆有关的位置关
系等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键．
如图：连接 ， 交于点O，取 中点H，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G
的轨迹，从而求出G经过的路程长即可．【详解】解：如图：连接 ， 交于点O，取 中点H，连接 ，
∵矩形 ， ，
∴ ， ， ，
， ，
∴ 是等边三角形，即
在 与 中，
，
，
∴E、O、F共线，
，H是 中点，
∴ ，则 ，
∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧，
当E与A重合时， ；当E与B重合时，G与B重合；
∴G走过的路程为 ．
故答案为 ．
三、解答题
11．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形 内接于 ， ．连接 ，
若 且 的半径为6，求 的长．【答案】
【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到 是直径，然后根据
且 的半径为6，即可求得 的长．
【详解】解： 四边形 内接于 ， ，
是直径，
且 的半径为6，
∴ ，
∴ 的长是： ，
即 的长 ．
12．（2025·山东青岛·模拟预测）如图， 过 的顶点 ， ，与 交于点 ，连接 ，
．
(1)求证： 是 的切线
(2)若 ， ，则 ________．（结果保留 和根号）
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】 连接 并延长交 于点 ，交 于点 ，连接 ，根据圆周角定理可证
，根据圆周角定理可证 ，过点 作 ，根据等腰三角形的三线合
一定理可证 ， ，等量代换可证 ，从而可证结论成立；
因为 ，根据圆周角定理可知 ，利用勾股定理求出 ，再根据
扇形的弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接 并延长交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如下图所示，过点 作 ，
，
，
在 中， ，
又 ，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：如下图所示，连接 、 ，
，
，
，在 中， ，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、扇形的弧长公式、等腰三角形的性质，解
决本题的关键是作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质找角的关系．
13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，以 的边 为直径作 ，点A在 上，点D在线
段 的延长线上， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若直径 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，圆周角定理，证明切线时，连接过切点的半径是解
题的关键．
（1）连接 ，则得出 ，可求得 ，可得出结论；
（2）可利用 的面积-扇形 的面积求得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接 ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
14．（24-25九年级下·全国·期中）如图，将含 角的直角三角板 放入半圆 中， ， ， 三点恰
好在半圆 上， 是 的中点，连接 并延长交半圆 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角以及垂径定理，得到线段和角度的关系，再根据内错角相等证明两直线平行．
（2）先在直角三角形中根据特殊角度求出相关线段长度，进而求出扇形和三角形的面积，最后通过面积
相减得到阴影部分面积．
【详解】（1）证明：∵ 是半圆 的直径，
∴ ．
∵点 是 的中点，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
（2）解：连接 ，在 中， ， ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴阴影部分的面积 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（直径所对圆周角是直角、垂径定理）、中点的性质、平行线的判
定（内错角相等，两直线平行）、含 角的直角三角形的性质以及扇形和三角形面积的计算．熟练掌握
这些几何性质和面积计算方法是解题的关键．
15．（2026·江西·模拟预测）如图， 是 的切线，点C为切点，以 为边作平行四边形 ，点
A，D均在 上，连接 ，圆心O在 上．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定
和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以
上性质，并灵活应用．
（1）连接 交 于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明
，即可得出结论；
（2）延长 交 于点F，根据条件证明 垂直平分 ，得到 ，证明 是等边三
角形，利用锐角三角函数得出 ，然后利用作差法进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 交 于点E．
∵ 是 的切线，
∴ ，即 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：如图，延长 交 于点F，∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ .
由(1)可得， ，
∴平行四边形 是菱形，
，
，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
，
∴ .
由(1)知， ，
，
．
