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复习专题六 曲线运动的临界极值问题
——精剖细解细复习讲义
知识点1：临界极值问题
（1）临界状态定义
由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，
发生转折的状态叫临界状态。
（2）临界问题简单理解
临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象时的状态。在问题的描
述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。
（3）临界问题解题关键
解题的关键是确定“恰好不出界”或“速度方向恰好与斜面平行”等的条件。
（4）极值问题定义
指在运动变化过程中的最大值和最小值问题。极值是指研究曲线运动中某物理量变化
情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。
临界问题的特征
有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界
点。
若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在
着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极
值，这个极值点往往是临界点。
临界问题求解常用的方法
解析法 通过对问题的分析，依据物体的条件写出物理量之间的函数关系，
进而画出函数图像，运用数学方法进行求解（如求二次函数极值、
基本不等式等）。
图解法 根据矢量图进行动态分析，确定该情景下的最大值和最小值。
极限法 一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物
理量将问题推向极端（“极大”、“极小”、“极右”、“极左”
等），从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题清晰明朗，便
于分析求解。
解题思路：
找出情景中临界条件 如“恰好”、“最大”、“最小”等关键词，明确其含义。
画出运动过程的草图 确定物体的临界位置，标注位移、速度等临界值。明确临界过程的轨迹 运用曲线运动的规律进行求解。
处理平抛运动临界问题的关键
平抛运动临界问题解决的重点是：对题意进行分析，提取实际模型并提炼出关于临界
条件的关键信息。此类问题的临界条件：通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出
竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件代入即可求解。
在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动过程的草图，明
确临界条件。
平抛运动临界极值问题
一、单选题
1．如图，在某闯关娱乐节目中，小红从轨道 上的不同位置由静止自由滑下，从c处水
平飞出，都能落到直径为l的圆形浮板上，轨道、直径在同一竖直面内。c点离水面的高度
为h，浮板左端离c点的水平距离为l。运动过程中，小红视为质点并忽略空气阻力，重力
加速度为g，则小红离开c时速度v的范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，小球B在A球的正下方两球相距h，将A球以速率v 沿水平向右抛出，同时
1
将小球B以速率v 沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A
2
与B之间的最短距离为（ ）A． B． C． D．
3．2022年北京冬奥会中国滑雪运动员谷爱凌在女子大跳台滑雪比赛中获得金牌。现假定
某运动员从滑雪跳台以不同的速度 水平跳向对面倾角为45°的斜坡（如图所示），已知
跳台的高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则该运动员落到斜坡上的最小速度为（
）
A． B． C． D．
二、多选题
4．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作
手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈（可视为质点）
刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面
圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g。则下列关于所有小面圈
在空中运动的描述，正确的是（ ）
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量都相同
C．若小面圈的初速度为v，则
0
D．小面圈落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
5．如图所示，倾斜放置的挡板OQ与竖直方向的夹角为45°，从O点正下方的P点以
的水平初速度向右抛出一小球（可视为质点），若小球的运动轨迹恰好与挡板上
的M点相切（M点未画出），重力加速度g取10m/s2，不考虑空气阻力，则（ ）A．小球到达M点时的速度大小为
B．从P到M过程中，小球的速度的变化量大小为2m/s
C．O、P两点间的距离为0.2m
D．小球经过M点之后将沿直线MQ运动
6．在山顶扔石块，可以简化如图所示，倾角为 的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以速
度 水平抛出一小球，经过时间 恰好落在斜面底端，速度是 ，不计空气阻力。下列说
法正确的是（ ）
A．若以速度 水平抛出小球，则落地速度大小等于
B．若以速度 水平抛出小球，则落地速度方向与 同向
C．若以速度 水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与 同向
D．以速度 水平抛出时，距离斜面最远时所用时间一定等于
斜抛运动临界极值问题
一、单选题
7．如图所示，某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h=1.8m。
篮球离开手的瞬间到篮筐的水平距离为5m，水平分速度大小v=10m/s，要使篮球到达篮筐
时，竖直方向的分速度刚好为零。将篮球看成质点，篮筐大小忽略不计，忽略空气阻力，
取重力加速度大小g=10 m/s2。篮筐离地面的高度为（ ）
A．2.85m B．3.05m C．3.25m D．3.5m
8．某同学不小心将球踢出围墙，他请墙外的路人帮他将球踢进围墙内，围墙AB有一定厚
度，路人从P点（P点可左右移动）将球踢过围墙。设球踢出时的速度与水平向右的方向
成 角，不计空气阻力，以下说法正确的是（ ）A．若P点位置确定，无论 角多大，只要速度足够大，一定能将球踢进围墙内
B．路人将球踢过围墙内做的功最小时， 角应满足
C．路人越靠近围墙，将球踢过围墙所做的功越小
D．路人将球踢过围墙内做的功越小，球从踢出到越过墙壁后落到地面所花的时间越短
9．如图所示，某人手持一小球并将它抛向竖直墙的洞里，洞口较小，仅在小球的速度方向
垂直于墙面时小球才能进入，洞离地面的高度 ，球抛出手时，球离地面的高度
，人和墙之间有一张竖直网，网的高度 ，网离墙的距离 ，忽略空气
阻力，取 ，则下列说法正确的是（ ）
A．只要人调整好抛球速度的大小以及抛射角度，不管人站在离网多远的地方，都可以把
球扔进洞
B．要使小球被扔进洞，人与网之间的距离至少为1.5m
C．若小球能进入洞中，人距离网越远，球抛出手时的速度与水平方向的夹角越大
D．若小球能进入洞中，人距离网越远，球抛出手时的速度越大
二、多选题
10．如图所示，某场比赛中篮球运动员在三分线外离地面高度h＝2.3m，与篮筐中心的水
平距离L＝6.8m的位置将篮球抛出。篮球离手时的速度与水平方向夹角为45°，并恰好无
擦碰地进入篮筐。已知篮筐离地面高H＝3.05m，重力加速度 ，忽略空气阻力的
影响，下列说法正确的是（ ）
A．从离手到刚进入篮筐，篮球做的是匀变速曲线运动B．离手1.1s后篮球进入篮筐
C．离手时，篮球的速度大小约为6.2m/s
D．从离手到刚进入篮筐，篮球速度的改变量的大小为10m/s
11．如图所示，有一半圆形曲面固定于地面上。一质量为m的小球（可视为质点）静止于
曲面最高位置A点，由于受到轻微扰动，小球由静止沿曲面向右侧滑动，控制小球与曲面
之间的摩擦因数，使其运动至曲面上B点时恰好脱离曲面，最终落在水平地面上C点（未
画出）。已知曲面半径大小为5m，AO与OB之间夹角为60°，g=10m/s2。则（ ）
A．小球运动至B点速度大小为5m/s
B．小球运动至B点速度大小为
C．小球运动至C点速度大小为
D．小球落地位置C点到圆心O点之间的水平距离为
12．如图所示，将一个小球以初速度 从倾角为30°的足够长的斜面底端斜向上抛出，其
初速度方向与水平面夹角为60°，不考虑空气阻力和浮力，且该地重力加速度为g，则下列
说法正确的是（ ）
A．小球运动过程中的最小速度为 B．小球抛出 时间后距离斜面最远
C．小球抛出 时间后距离斜面最远 D．小球落至斜面上时的速度方向与斜面夹角
为30°
类平抛运动临界极值问题
一、单选题
13．如图所示，一光滑宽阔的斜面，倾角为 ，高为h，重力加速度为g。现有一小球在A
处贴着斜面以水平速度 射出，最后从B处离开斜面。下列说法中正确的是（ ）A．小球的运动轨迹不是抛物线
B．小球所受合力始终与速度垂直
C．小球到达B点的时间为
D．小球的加速度大小为
14．一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初
速度v 滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（
0
）
A．小球的加速度为g
B．小球的运动轨迹为抛物线
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的水平位移为
15．如图所示，一光滑斜面体固定在水平面上，其斜面ABCD为矩形，与水平面的夹角为
，AD边水平且距水平面的高度为h。现将质量为m的小球从斜面上的A点沿AD方向以
速度 水平抛出，忽略空气阻力，小球恰好运动到斜面的左下角C点，已知重力加速度为
g，下列说法正确的是（ ）
A．小球从A点运动到C点的过程中做变加速曲线运动B．小球从A点运动到C点的时间为
C．AD边的长度为
D．小球运动到C点时的速度大小为
1．如图所示，竖直面内虚线与x轴之间宽度为H的区域内存在大小恒定的水平风力（其他
区域不存在风力）。自该区域上方某一点A（图中未画出）将质量为m的小球以一定初速
度水平抛出，恰好从坐标原点O进入风力区域。若风力沿水平向左方向，小球从点
离开风力区域时的速度方向恰好竖直向下；若风力沿水平向右方向，小球恰好
做直线运动，并从P点离开该区域。竖直方向只受重力作用，且重力加速度大小为
。求：
（1）P点坐标；
（2）小球从Q点离开时的速度大小；
（3）小球抛出点A的坐标。
2．风洞实验室可以产生水平方向的、大小可以调节的风力。如图，两水平面(虚线)间距为
H，虚线区域存在方向水平向右、大小恒定的风力。在该区域上方O点将质量均为m的小
球A、B以大小相等、方向相反的水平速度抛出，其中A球向右，B球向左。两小球在重力
作用下进入虚线区域，并从该区域的下边界离开。已知B球离开虚线区域时速度竖直向下；
A球在虚线区域做直线运动，刚离开虚线区域时其速度为B球刚离开虚线区域时的 倍。
不计虚线区域上方的空气阻力，重力加速度为g。求：(1)A与B在虚线区域中的水平位移之比；
(2)O点距虚线区域上边界的距离；
(3)虚线区域中水平风力的大小。
3．如图所示，在足够高的竖直墙面上A点，以水平速度v=10m/s向左抛出一个质量为
0
m=1kg的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小F=5N，经过
一段时间小球将再次到达墙面上的B点处，重力加速度为g=10m/s2，则在此过程中：（注
意：计算结果可用根式表示）
（1）小球水平方向的速度为零时距墙面的距离；
（2）墙面上A、B两点间的距离；
（3）小球速度的最大值；
（4）小球速度的最小值。
4．一玩具小车从水平桌面上的A点以v=3m/s的速度大小飞出，沿切线方向从C点进入光
0
滑竖直圆弧轨道CB，并以 m/s的速度大小从B点进入水平直线轨道BD和斜面DE。若
小车可看成质点，其质量为m＝0.5kg，圆弧轨道CB、直线轨道BD段和斜面DE均平滑连
接（即小车经过衔接处的速度大小不变），直线轨道和斜面与小车间动摩擦因数均为μ＝
0.5，圆弧CB的圆心角为53°，圆弧轨道的半径为R＝0.5m，直线轨道BD段长度为l＝
0.9m，斜面的倾角θ＝37°，斜面足够长，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝
0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）A点到C点的竖直高度H；
（2）小车对圆弧轨道B点的压力大小；
（3）小车在斜面DE上运动的时间（计算结果可以用根号表示）。
