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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册综合检测卷（培优B卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是60°，则k的值为（ ）
A． 或0 B． 或0
C． D．
2．已知四棱锥 的底面为正方形， 平面 ， ，点 是 的中点，则点 到
直线 的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆 ： ，则过点 的最短弦所在直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线 的一个焦点为 ，双曲线的渐近线 ，则双曲线的方程为
1（ ）
A． B． C． D．
6．若P，Q分别为l：ax+4y+5＝0，l：6x+8y+25＝0上的动点，且l∥l，则|PQ|的最小值为（ ）
1 2 1 2
A． B．2 C． D．1
7．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若
，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
8．加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互
相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形 的四
边均与椭圆 相切，则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．椭圆 的蒙日圆方程为
C．若 为正方形，则 的边长为
D．长方形 的面积的最大值为18
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
29．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线斜率为 ，则它的倾斜角为
B．若 ， ，则直线 的倾斜角为
C．若直线过点 ，且它的倾斜角为 ，则这条直线必过点
D．若直线的斜率为 ，则这条直线必过 与 两点
10．2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如
图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距
离月球表面n千米， 为椭圆的长轴，月球的半径为R千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为 ， ，则
下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知 为抛物线 上一动点，则（ ）
A．准线为l：
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．点P到直线 距离的最小值等于
D． 的最小值为6
312．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线 （ ）必过定点
B．圆 （ ）上有且仅有4个点到直线 的距离都等于1，则
C．曲线 与曲线 恰有三条公切线
D．已知圆 ，点P为直线 上一动点，过点P向圆C引两条切线 ， ，A，
B为切点，四边形 面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量 ， ，若 ， 的夹角为120°，则 ．
14．过点 且和 的距离相等的直线方程是 ．
15．过双曲线 右焦点 作一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于 两点， 为坐
标原点， ， 的平分线交 轴于点 ，且 到渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为
．
16．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，M是C上一点且 与x轴垂直，直
线 与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且 ，则椭圆C的标准方程为
．
4四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(－5，－3)，C(4,0)；
(1)当a∈( ，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；
(2)当a＝2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.
18．已知直线 和圆 ，
(1)m为何值时，直线与圆没有公共点；
(2)m为何值时，截得的弦长为2；
(3)若直线和圆交于A，B两点，此时 ，求m的值．
19．如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 是棱长为2的菱形，O是 的中点，
与 全等．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
20．在平面直角坐标系中，动点 (其中 )到定点 的距离比到y轴的距离大1.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
5（2）过点M的直线l交曲线C于A､B两点，若 ，求直线l的方程.
21．已知椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点 在 轴上，椭圆 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正
方形，且椭圆 长轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 为椭圆 上一点，且 ,求 的面积.
22．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 过 且与双曲线交于 两点．
(1)若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设 ， 点是线段 中点，且 ，若 的斜率存在，求 的斜率．
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