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专题 24.5 点与圆的位置关系
1. 掌握点与圆的位置关系，能够熟练判断点与圆的位置的位置关系以及根据关系求
值。
教学目标 2. 掌握确定圆的条件有哪些方法，能够熟练的根据各种条件作图。
3. 掌握三角形的外接圆与外心的性质，能够熟练的用其进行线段和角度的计算。
4. 掌握反证法，并能够在相关的题目中熟练的应用反证法证明。
1. 重点
（1）点与圆的位置关系；
教学重难点 （2）三角形的外接圆与外心。
2. 难点
（1）三角形的外接圆的应用；知识点01 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：
（1）如图1：d＞r 点在 。
（2）如图2：d r 点在圆上。
（3）如图3：d＜r 点在 。
【即学即练1】
1．如图， O中，弦AB的长为8，点C在 O上，OC⊥AB，∠ABC＝22.5°， O所在的平面内有一点
P，若OP＝5，则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙
A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
【即学即练2】
⊙ ⊙ ⊙
2．点P在半径为10cm的 O内，则PO的长度不可能是（ ）
A．8cm B．9cm C．7cm D．11cm
⊙
知识点02 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：
①由不在 上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的 的
交点处。
②确定 与 能确定唯一的圆。
③已知圆的 能确定唯一的圆。
【即学即练1】
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大
小的圆形镜子的碎片是（ ）A．① B．② C．③ D．均不可能
【即学即练2】
4．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
知识点03 三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 ，则此时三角形是圆的
，圆是三角形的 。
2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 即是三角形的外心。是三角形三条边的 的交点。所以到
三角形三个顶点的距离 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【即学即练1】
5．如图，已知 O是△ABD的外接圆，AB是 O的直径，CD是 O的弦，若∠BCD＝35°，则∠ABD等
于（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．35° B．45° C．55° D．65°
【即学即练2】
6．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝120°，弦BD平分∠ABC并交AC于点E，弦AC=2❑√3，连接
DA，DC，则 O的半径是（ ）
⊙
⊙3 3
A．2 B．❑√3 C． D． ❑√3
2 2
知识点04 反证法
1. 反证法的一般步骤：
①先假设命题的结论不成立；
②由假设出发，经过逻辑推理，得出与基本事实、定理，定义或已知条件矛盾的结论；
③由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做 。
【即学即练1】
7．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整．
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B
证明：假设 ．
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴ ＝180°﹣∠ACB．
∵∠ACD+ ＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣ ．
∴∠ACD＝ ．
∴与假设相矛盾．
∴假设不成立．
∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B．
题型01 判断点与圆的位置关系
【典例1】已知 O的半径为2cm，OP=❑√3cm，则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法确定
【变式1】 O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与 O的位置关系
⊙ ⊙ ⊙
是（ ）
⊙ ⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上
C．点P在 O外 D．点P在 O上或外
⊙ ⊙
【变式2】已知 O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
⊙ ⊙
A．一定在 O的内部 B．一定在 O的外部
⊙
C．一定在 O上 D．不能确定
⊙ ⊙
【变式3】已知 O的半径为3，点P到圆心O的距离d恰好是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则点P与
⊙
O的位置关系是（ ）
⊙
A．点P在 O的内部
⊙
B．点P在 O上
⊙
C．点P在 O的外部
⊙
D．点P在 O的内部或点P在 O的外部
⊙
⊙ ⊙
题型02 根据点与圆的位置关系求值
【典例1】已知 O的直径为6，点P在 O内，则线段OP的长度可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
⊙ ⊙
【变式1】如图，一组同心圆的圆心为O，半径分别为3cm，5cm，以O为坐标原点建立直角坐标系，点P
要求在小圆外，大圆内，则点P可能的坐标为（ ）
A．（3.5，5） B．（0，3） C．（3，4） D．（﹣1，﹣4）
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作 A，若
B、C、D三点中只有一点在 A内，则 A的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4
⊙ ⊙
题型03 确定圆的条件与作图
【典例1】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画
的圆有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 ；
（2）求该圆的半径．
【变式3】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
题型04 利用外接圆与外心求角度
【典例 1】如图，△ABC 内接于 O，AB 为 O 的直径，∠ABC＝48°，点 D 在 BAC 上，则∠D 为
（ ）
⊙ ⊙A．42° B．44° C．46° D．48°
【变式1】如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，D是 O上一点，连接BD，CD，若∠D＝70°，
则∠ABC的度数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．15° B．20° C．25° D．30°
【变式2】若等腰△ABC内接于 O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（ ）
A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30°
⊙
【变式3】已知△ABC的边BC=2❑√2，且△ABC内接于半径为2的 O，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°
⊙
题型05 利用外接圆与外心求线段
【典例1】如图，△ABC内接于 O，∠A＝45°，连接OB，OC．若OB＝2，则BC的长为（ ）
⊙
A．❑√2 B．2 C．2❑√2 D．2❑√3
【变式1】如图，△BCD内接于 O，点B是C^D的中点，CD是 O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则
BC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．4❑√2 C．3❑√2 D．3❑√3
【变式2】如图， O的半径为2，△ABC是 O的内接三角形，D为^BC上一点，连接AD，CD．若
∠ACD＝75°，∠BAD＝30°，则弦AB的长为（ ）
⊙ ⊙A．2 B．2❑√2 C．❑√3 D．2❑√3
【变式3】如图， O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于
点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（ ）
⊙
A．4❑√7 B．2❑√19 C．8 D．2❑√17
题型06 反证法的简单应用
【典例1】用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
【变式1】用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角为钝角
B．三个内角都是锐角
C．至少有一个内角为钝
D．至少有两个内角为钝角
【变式2】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角．
【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，连接BD、CE，BD、CE相交于点O．用反证
法证明：BD和CE不可能互相平分．1．已知点A为 O内的一点，且 O的半径为5cm，则线段OA的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．7cm
⊙ ⊙
2．三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点
D．三角形三条中线的交点
3．“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A．a＝b B．a≠b C．a2＝b2 D．a2≠b2
4．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋
楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，如果 A是以点A
为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
⊙
A．点D、E均在圆A内
B．点D在圆A外，点E在圆A内
C．点D、E均在圆A外
D．点D在圆A内，点E在圆A外
6．如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点A，B，C，只能作一个圆
B．经过点A，B，D，只能作一个圆
C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
7．如图，将 O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转30°后得到△A′B′C′，其中点C′恰好落在 O上，则
∠A的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．100 B．105° C．110° D．115°
8．如图，等边三角形ABC的三个顶点均在 O上，BC＝3，BD为 O的直径，则BD的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．2❑√2 C．2❑√3 D．3.5
9． O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm， O的半径为6cm，则腰AB的长
为（ ）
⊙ ⊙
A．4❑√6cm B．2❑√26cm
C．2❑√14cm或2❑√26cm D．4❑√6cm或4❑√3cm
10．如图， O是△ABC的外接圆，AB＝AC，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中
∠P的平分线．图①中小亮的画法是：连接AP，则AP即为∠P的平分线；图②中小明的画法是：连
⊙
接AO并延长；交 O于点D，连接PD，则PD即为∠P的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的
说（ ）
⊙
A．小亮的做法正确，小明的做法不正确
B．小亮和小明的做法都不正确
C．小亮和小明的做法都正确
D．小明的做法正确，小亮的做法不正确
11．已知点P为平面内一点，若点P到 O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 O的半径为
．
⊙ ⊙12．若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是
．
13．如图所示， O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝
AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝ ．
⊙
14．如图，在△ABC中，AB＝10，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则AE
＝ ．
15．如图，AB是 O的直径，AB＝2，C在 O上，∠ABC＝60°，P是 O上一动点，D是AP的中点，连
接CD，则CD的最小值为 ．
⊙ ⊙ ⊙
16．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷
盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．
17．如图， O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
⊙ ⊙
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．18．如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：（1）
四边形EFCD是平行四边形．
（2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作 D，求：
（1）BC＝8时，点A与 D的位置关系；
⊙
（2）BC＝6时，点A与 D的位置关系；
⊙
（3）BC＝5❑√2时，点A与 D的位置关系．
⊙
⊙20．如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝
∠DEC＝60°，BE＝AD．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若DE=❑√3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形CPDE的周长最大，
并求出周长的最大值．
