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专题 24.5 点与圆的位置关系
1. 掌握点与圆的位置关系，能够熟练判断点与圆的位置的位置关系以及根据关系求
值。
教学目标 2. 掌握确定圆的条件有哪些方法，能够熟练的根据各种条件作图。
3. 掌握三角形的外接圆与外心的性质，能够熟练的用其进行线段和角度的计算。
4. 掌握反证法，并能够在相关的题目中熟练的应用反证法证明。
1. 重点
（1）点与圆的位置关系；
教学重难点 （2）三角形的外接圆与外心。
2. 难点
（1）三角形的外接圆的应用；知识点01 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：
（1）如图1：d＞r 点在 圆外 。
（2）如图2：d ＝ r 点在圆上。
（3）如图3：d＜r 点在 圆内 。
【即学即练1】
1．如图， O中，弦AB的长为8，点C在 O上，OC⊥AB，∠ABC＝22.5°， O所在的平面内有一点
P，若OP＝5，则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙
⊙
A．点P在 O上 B．点P在 O内 C．点P在 O外 D．无法确定
【答案】B
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：设AB，OC交于点D，
∵OC⊥AB，
1
∴AD=BD= AB=4，
2
∵∠ABC＝22.5°，
∴∠AOC＝45°，
∴OA=❑√2OD=4❑√2，∵4❑√2＞5，
∴OA＞OP，
∴点P在 O内；
故选：B．
⊙
【即学即练2】
2．点P在半径为10cm的 O内，则PO的长度不可能是（ ）
A．8cm B．9cm C．7cm D．11cm
⊙
【答案】D
【解答】解：∵点P在 O内， O的半径为10cm，
∴OP＜10cm，
⊙ ⊙
故选：D．
知识点02 确定圆的条件
1. 确定圆的条件：
①由不在 同一直线 上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的 垂直平分线
的交点处。
②确定 圆心 与 半径 能确定唯一的圆。
③已知圆的 直径 能确定唯一的圆。
【即学即练1】
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大
小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆
心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【即学即练2】
4．下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径D．以点O为圆心
【答案】B
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项正确，
故选：B．
知识点03 三角形的外接圆与外心
1. 三角形的外接圆：
如图：若三角形的三个顶点都在 圆上 ，则此时三角形是圆的 内接三角形 ，圆是三角形的
外接圆 。
2. 三角形的外心：
三角形外接圆的 圆心 即是三角形的外心。是三角形三条边的 垂直平分线 的交点。所以到
三角形三个顶点的距离 相等 。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【即学即练1】
5．如图，已知 O是△ABD的外接圆，AB是 O的直径，CD是 O的弦，若∠BCD＝35°，则∠ABD等
于（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵AB是 O的直径，∠BCD＝35°，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝35°，
⊙
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【即学即练2】
6．如图， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝120°，弦BD平分∠ABC并交AC于点E，弦AC=2❑√3，连接
⊙DA，DC，则 O的半径是（ ）
⊙
3 3
A．2 B．❑√3 C． D． ❑√3
2 2
【答案】A
【解答】解：如图，连接DO并延长，交AC于H，
∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
⊙
∴∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴^AD=C^D，
∴AD＝CD，
∴△ADC为等边三角形，DH⊥AC，
1
∴AH= AC=❑√3，
2
由勾股定理得：DH=❑√AD2−AH2=❑√(2❑√3) 2−(❑√3) 2=3，
设 O的半径为r，则OH＝3﹣r，
在
⊙
Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，即r2＝（❑√3）2+（3﹣r）2，
解得：r＝2，即 O的半径为2，
故选：A．
⊙
知识点04 反证法
1. 反证法的一般步骤：
①先假设命题的结论不成立；
②由假设出发，经过逻辑推理，得出与基本事实、定理，定义或已知条件矛盾的结论；
③由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做 反证法 。
【即学即练1】7．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整．
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B
证明：假设 ∠ ACD ≠∠ A +∠ B ．
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴ ∠ A +∠ B ＝180°﹣∠ACB．
∵∠ACD+ ∠ ACB ＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣ ∠ ACB ．
∴∠ACD＝ ∠ A +∠ B ．
∴与假设相矛盾．
∴假设不成立．
∴原命题成立，即∠ACD＝∠A+∠B．
【答案】∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B．
【解答】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设∠ACD≠∠A+∠B．
根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠ACB＝180°，变形得∠A+∠B＝180°﹣∠ACB．
由于∠ACD 是△ABC 的外角，与∠ACB 组成平角，故∠ACD+∠ACB＝180°，因此∠ACD＝180°﹣
∠ACB．
由上述两步可知∠ACD＝∠A+∠B，这与假设∠ACD≠∠A+∠B矛盾．
因此假设不成立，原命题∠ACD＝∠A+∠B成立，
故答案为：∠ACD≠∠A+∠B；∠A+∠B；∠ACB；∠ACB；∠A+∠B．
题型01 判断点与圆的位置关系
【典例1】已知 O的半径为2cm，OP=❑√3cm，则点P与 O的位置关系是（ ）
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法确定
⊙ ⊙
【答案】A
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：由题意可知：2＞❑√3，
∴ O的半径＞OP，
∴点P在 O内，
⊙
故选：A．
⊙【变式1】 O半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（3，4），则点P与 O的位置关系
是（ ）
⊙ ⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上
C．点P在 O外 D．点P在 O上或外
⊙ ⊙
【答案】B
⊙ ⊙
【解答】解：∵点P的坐标为（3，4），
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离=❑√32+42=5，
∴点P在 O上，故选B．
【变式2】已知 O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
⊙
A．一定在 O的内部 B．一定在 O的外部
⊙
C．一定在 O上 D．不能确定
⊙ ⊙
【答案】B
⊙
1
【解答】解：r= ×10＝5，
2
d＝8＞r，
点P一定在 O的外部．
故选：B．
⊙
【变式3】已知 O的半径为3，点P到圆心O的距离d恰好是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则点P与
O的位置关系是（ ）
⊙
A．点P在 O的内部
⊙
B．点P在 O上
⊙
C．点P在 O的外部
⊙
D．点P在 O的内部或点P在 O的外部
⊙
【答案】D
⊙ ⊙
【解答】解：解一元二次方程x2﹣6x+8＝0得：x＝2或x＝4，
∴点P到圆心O的距离d＝2或4，
∵ O的半径r＝3，
∴d＜r或d＞r，
⊙
∴点P与 O的位置关系是点P在 O的内部或点P在 O的外部．
故选：D．
⊙ ⊙ ⊙
题型02 根据点与圆的位置关系求值
【典例1】已知 O的直径为6，点P在 O内，则线段OP的长度可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
⊙ ⊙
【答案】D
【解答】解：∵ O的直径为6，
⊙1
∴ O的半径= ×6＝3，
2
∵⊙点P在 O内，
∴OP＜3，
⊙
∴线段OP的长度可以是2．
故选：D．
【变式1】如图，一组同心圆的圆心为O，半径分别为3cm，5cm，以O为坐标原点建立直角坐标系，点P
要求在小圆外，大圆内，则点P可能的坐标为（ ）
A．（3.5，5） B．（0，3） C．（3，4） D．（﹣1，﹣4）
【答案】D
【解答】解：A、由勾股定理得到OP=❑√52+3.52 ＞5，因此P在大圆外，故A不符合题意；
B、P在小圆上，故B不符合题意；
C、由勾股定理得到OP=❑√32+42=5，因此P在大圆上，故C不符合题意；
D、由勾股定理得到PO=❑√(−1) 2+(−4) 2=❑√17，因此3＜PO＜5，得到P在小圆外，大圆内，故D符
合题意．
故选：D．
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB的中点．以A为圆心，r为半径作 A，若
B、C、D三点中只有一点在 A内，则 A的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．2.5＜r≤4 B．2.5＜r＜4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r＜4
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√42+32=5，
∵D为AB的中点，
1 5
∴AD= AB= ．
2 25
由图可知，当 A的半径r=AD= 时，点D在 A上，
2
当 A的半径⊙ r＝AC＝4时，点C在 A上，点D ⊙在圆内，
当 A的半径r＝AB＝5时，点B在 A上，点C、D在圆内，
⊙ ⊙
5
当⊙ A的半径满足 ＜r≤4时，点⊙ D在 A内，
2
当⊙ A的半径满足4＜r≤5时，点C、D在⊙ A内，
当 A的半径满足r＞5时，点B、C、D在 A内，
⊙ ⊙
5
∴⊙若B、C、D三点中只有一点在 A内，则⊙ A的半径r的取值范围是 ＜r≤4．
2
故选：A． ⊙ ⊙
题型03 确定圆的条件与作图
【典例1】如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任意三个，能画
的圆有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解答】解：根据在平面内，不在同一直线上三个点确定一个圆可得：
点E在直线AB外，则点E、A、B；点E、A、C；点E、A、D；点E、B、C；点E、B、D；点E、C、
D；不在同一直线上，可以画圆，
即能画圆的个数是6个
故选：D．
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆
B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆
C．经过三个定点，只能作一个圆
D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆
【答案】D
【解答】解：根据定点和定长与圆的关系，逐项分析如下：
A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意；
B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作 0个或1个或2
个圆，原说法错误，不符合题意；
C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意；D、原说法正确，符合题意．
故选：D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为 （ 2 ， 1 ） ；
（2）求该圆的半径．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，
故答案为：（2，1）；
（2）连接OA，设BC的中点为D，
∵AD＝1，OD＝2，
∴OA=❑√AD2+OD2=❑√12+22=❑√5，
【变式3】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
25
解得：R= cm，
3
25
∴圆片的半径R为 cm．
3
题型04 利用外接圆与外心求角度
【典例 1】如图，△ABC 内接于 O，AB 为 O 的直径，∠ABC＝48°，点 D 在 BAC 上，则∠D 为
（ ）
⊙ ⊙
A．42° B．44° C．46° D．48°
【答案】A
【解答】解：∵AB为 O的直径，
⊙∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝42°，
∴∠D＝∠CAB＝42°，
故选：A．
【变式1】如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，D是 O上一点，连接BD，CD，若∠D＝70°，
则∠ABC的度数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠D＝70°，
∴∠D＝∠A＝70°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝20°，
故选：B．
【变式2】若等腰△ABC内接于 O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（ ）
A．65° B．25° C．65°或 25° D．65°或 30°
⊙
【答案】C
【解答】解：（1）圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．
1
∴∠BDC= ∠BOC＝50°，
2
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；
1
（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC= ∠BOC＝50°，
2
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．
综上所述，△ABC底角的度数为65°或 25°，
故选：C．【变式3】已知△ABC的边BC=2❑√2，且△ABC内接于半径为2的 O，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°
⊙
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，
∵BC＝2❑√2， O的半径长为2，
∴OB＝OC＝2，
⊙
∵OB2+OC2＝22+22＝8，BC2=(2❑√2) 2=8，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，
1
如图1，顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A= ∠BOC＝45°；
2
如图2，顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在 O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，
连接BD、CD，
⊙
1
∵∠A+∠D＝180°，且∠D= ∠BOC＝45°，
2
∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣45°＝135°，
综上所述，∠A的度数为45°或135°，
故选：C．
题型05 利用外接圆与外心求线段【典例1】如图，△ABC内接于 O，∠A＝45°，连接OB，OC．若OB＝2，则BC的长为（ ）
⊙
A．❑√2 B．2 C．2❑√2 D．2❑√3
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
∵OB＝OC＝2，
∴BC=❑√BO2+CO2=2❑√2，
故选：C．
【变式1】如图，△BCD内接于 O，点B是C^D的中点，CD是 O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则
BC的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．4❑√2 C．3❑√2 D．3❑√3
【答案】C
【解答】解：连接AD，则∠ADC＝∠ABC＝30°，
∵CD是 O的直径，AC＝3，
∴∠CAD＝∠CBD＝90°，
⊙
∴CD＝2AC＝6，
∵点B是C^D的中点，
∴^BC=^BD，
∴BC＝BD，
∵CD=❑√BC2+BD2=❑√2BC＝6，
∴BC＝3❑√2，
故选：C．【变式2】如图， O的半径为2，△ABC是 O的内接三角形，D为^BC上一点，连接AD，CD．若
∠ACD＝75°，∠BAD＝30°，则弦AB的长为（ ）
⊙ ⊙
A．2 B．2❑√2 C．❑√3 D．2❑√3
【答案】B
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∵∠ACD＝75°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵ O的半径为2，
∴OA＝OB＝2，
⊙
∴AB=❑√AO2+BO2=2❑√2，
故选：B．
【变式3】如图， O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于
点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（ ）
⊙A．4❑√7 B．2❑√19 C．8 D．2❑√17
【答案】B
【解答】解：作BM⊥AC于点M，
在△AEB和△DEC中，
{
∠A=∠D
)
AE=ED ，
∠AEB=∠DEC
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
又∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴∠GEF＝60°，BC＝EC，
∵OF⊥AC
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，∠EGF＝30°，
1
∴EF= EG=1，
2
又∵AE＝ED＝4，OF⊥AC
∴CF＝AF＝AE+EF＝5，
∴AC＝2AF＝10，EC＝EF+CF＝6，
∴BC＝EC＝6，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝3，BM=❑√BC2−CM2=3❑√3，
∴AM＝AC﹣CM＝7，∴AB=❑√AM2+BM2=2❑√19．
故选：B．
题型06 反证法的简单应用
【典例1】用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假设（ ）
A．AB＝AC B．∠B＝∠C
C．AB＝AC且∠B＝∠C D．AB＝AC且∠B≠∠C
【答案】B
【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C时，首先应假设∠B＝∠C，
故选：B．
【变式1】用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角为钝角
B．三个内角都是锐角
C．至少有一个内角为钝
D．至少有两个内角为钝角
【答案】D
【解答】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角．
故选：D．
【变式2】用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C＝180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角．
【变式3】如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，连接BD、CE，BD、CE相交于点O．用反证
法证明：BD和CE不可能互相平分．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：连接DE．假设BD和CE互相平分．
根据平行四边形的性质可得：四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD．
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AB与AC不可能平行，与已知矛盾，
所以假设BD和CE互相平分不成立，
∴线段BD和CE不可能互相平分．
1．已知点A为 O内的一点，且 O的半径为5cm，则线段OA的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．6cm D．7cm
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵点A为 O内的一点，且 O的半径为5cm，
∴线段OA的长度＜5cm．
⊙ ⊙
故选：A．
2．三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】A【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，
∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
3．“已知a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”．若用反证法证明，则应假设（ ）
A．a＝b B．a≠b C．a2＝b2 D．a2≠b2
【答案】B
【解答】解：用反证法证明命题“a2＝b2，a＞0，b＞0，求证：a＝b”，
应假设a≠b，
故选：B．
4．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋
楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
【答案】D
【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
1
∴AD＝CD＝250m，BD= AC＝250m，
2
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，如果 A是以点A
为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
⊙
A．点D、E均在圆A内
B．点D在圆A外，点E在圆A内
C．点D、E均在圆A外
D．点D在圆A内，点E在圆A外【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5，
∵CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
5
∴AE=CE= ，
2
∴3×4＝5CD，
12
解得：CD= ，
5
√ 12 9
∴AD=❑32−( ) 2= ，
5 5
∵ A是以点A为圆心，半径长为2的圆，
∴AE＞2，AD＜2，
⊙
∴点D在圆A内、点E在圆A外，
故选：D．
6．如图，已知线段AB，AD，点C在线段AB上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点A，B，C，只能作一个圆
B．经过点A，B，D，只能作一个圆
C．经过点A，以AD的长为半径只能作一个圆
D．经过点A，B，以AD的长为半径只能作一个圆
【答案】B
【解答】解：A、经过点A，B，C，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过点A，B，D，只能作一个圆，说法正确，符合题意；
C、经过点A，以AD的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、经过点A，B，以AD的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
7．如图，将 O的内接三角形ABC绕点B顺时针旋转30°后得到△A′B′C′，其中点C′恰好落在 O上，则
∠A的度数是（ ）
⊙ ⊙A．100 B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【解答】解：如图，连接CC′，
由旋转的性质得到∠CBC′＝30°，BC＝BC′，
180°−30°
∴∠BC′C= =75°，
2
∵四边形ABC′C是圆内接四边形，
∴∠A+∠CC′B＝180°，
∴∠A＝180°﹣75°＝105°，
故选：B．
8．如图，等边三角形ABC的三个顶点均在 O上，BC＝3，BD为 O的直径，则BD的长为（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．2❑√2 C．2❑√3 D．3.5
【答案】C
【解答】解：连接CD，
∵△ABC是等边三角形，BC＝3，∴∠ABC＝60°（等边三角形的每个外角等于60°），
∵BD为 O的直径，
∴∠BCD＝90°，AC⊥BD，
⊙
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
1
∴CD= BD，
2
1
∴BD2＝BC2+CD2=32+( BD) 2 ，
2
∴BD=2❑√3，
故选：C．
9． O是等腰三角形ABC的外接圆，圆心O到底边BC的距离为2cm， O的半径为6cm，则腰AB的长
为（ ）
⊙ ⊙
A．4❑√6cm B．2❑√26cm
C．2❑√14cm或2❑√26cm D．4❑√6cm或4❑√3cm
【答案】D
【解答】解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图一，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
连接OA，OB，
∵OD＝2cm，OB＝6cm，
∴AD＝8cm，
∴BD=❑√OB2−OD2=❑√62−22=4❑√2（cm），
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√82+(4❑√2) 2=4❑√6（cm）；
如图二，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
和图一解法一样，只是AD＝6﹣2＝4（cm），
∴AB=❑√AD2+BD2=❑√42+(4❑√2) 2=4❑√3（cm），
综上可得腰长AB＝4❑√6cm或4❑√3cm．
故选：D．10．如图， O是△ABC的外接圆，AB＝AC，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中
∠P的平分线．图①中小亮的画法是：连接AP，则AP即为∠P的平分线；图②中小明的画法是：连
⊙
接AO并延长；交 O于点D，连接PD，则PD即为∠P的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的
说（ ）
⊙
A．小亮的做法正确，小明的做法不正确
B．小亮和小明的做法都不正确
C．小亮和小明的做法都正确
D．小明的做法正确，小亮的做法不正确
【答案】C
【解答】解：如图①，AB＝AC，连接AP，
∴^AB=^AC，
∴∠BPA＝∠CPA，
∴AP即为∠P的平分线，
故小亮的做法正确；如图②，AD为直径，连接AO并延长，交 O于点D，连接PD，
⊙
∴AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，^BD=^BC，
∵^BD=^BC，
∴∠BPD＝∠CPD，
∴PD即为∠P的平分线，
故小明的做法正确，
综上所述，小亮和小明的做法都正确，
故选：C．
11．已知点P为平面内一点，若点P到 O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 O的半径为 2 或
3 ．
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；
当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．
所以 O的半径为2或3．
故答案为：2或3．
⊙
12．若在平面直角坐标系中的点A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（m，3）不能确定一个圆，则m的值是
3 ．
【答案】3．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
{ k+b=1 )
则 ，
−k+b=−1
{k=1)
解得： ，
b=1
∴直线AB的解析式为y＝x，
当点C（m，3）在直线AB上时，m＝3，
则当m＝3时，点A，B，C不能确定一个圆，
故答案为：3．
13．如图所示， O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝
⊙AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝ 100 ° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵四边形ABDC内接圆 O，∠ADE＝65°，
∵∠ACB＝65°，
⊙
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°．
14．如图，在△ABC中，AB＝10，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则AE
＝ 1 0 ．
【答案】10．
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，
1 1
∴∠A= ∠BOC= ×120°＝60°，
2 2
∵OE⊥AB于D，
1
∴AD＝BD= AB＝5，
2
在Rt△ADE中，∠A＝60°，
则AE=2AD=10，
故答案为：10．
15．如图，AB是 O的直径，AB＝2，C在 O上，∠ABC＝60°，P是 O上一动点，D是AP的中点，连
❑√7 1
接CD，则CD ⊙的最小值为 − ⊙． ⊙
2 2❑√7 1
【答案】 − ．
2 2
【解答】解：如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H．
∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∵CH⊥OB，
1 ❑√3
∴OH＝HB= ，CH=❑√3OH= ，
2 2
1
∵AT＝TO= ，AD＝DP，
2
1 1
∴DT= OP= ，
2 2
❑√3
在Rt△CTH中，∵TH＝OT+OH＝1，CH= ，
2
√ ❑√3 ❑√7
∴CT=❑√T H2+CH2=❑12+( ) 2= ，
2 2
∴CD≥CT﹣DT，
❑√7 1
∴CD≥ − ，
2 2
❑√7 1
∴CD的最小值为 − ．
2 2
❑√7 1
故答案为： − ．
2 2
16．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷
盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．【答案】见试题解答内容
【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
17．如图， O是△ABC的外接圆，AB是 O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
⊙ ⊙
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．
【答案】（1）见详解；（2）4❑√5．
【解答】（1）证明：∵半径 OD⊥AC，
∴弧AD＝弧CD，AE＝CE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
（2）解：如图，连接AD，
∵OD⊥AC，AC＝8，
1 1
∴AE= AC= ×8=4，
2 2设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：
（R﹣2）2+42＝R2，
解得R＝5，
∴AB＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD=❑√DE2+AE2=❑√22+42=2❑√5，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD=❑√AB2−AD2=❑√102−(2❑√5) 2=4❑√5．
18．如图，在△ABC中，AB、BC、AC均不相等，点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．求证：（1）
四边形EFCD是平行四边形．
（2）用反证法证明：线段EC与FD不垂直．
【答案】（1）证明见解答；
（2）假设线段EC与FD垂直．证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵点D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴DE和EF都是△ABC的中位线．
∴ED∥BC，EF∥AC．
∴ED∥FC，EF∥DC．
∴四边形EFCD是平行四边形．
（2）假设线段EC与FD垂直．
由（1）知，四边形EFCD是平行四边形，则平行四边形EFCD是菱形．
∴EF＝DE．
由（1）知，DE和EF都是△ABC的中位线，
1 1
∴DE= BC，EF= AC．
2 2
∴BC＝AC．
∴这与BC、AC均不相等相矛盾．
∴该假设不成立．∴线段EC与FD不垂直．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC为半径作 D，求：
（1）BC＝8时，点A与 D的位置关系；
⊙
（2）BC＝6时，点A与 D的位置关系；
⊙
（3）BC＝5❑√2时，点A与 D的位置关系．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AD，
（1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC的中点，
∴CD＝4，
∴AD＝3，
∵4＞3，
∴点A在 D内；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC的中点，
⊙
∴CD＝3，
∴AD＝4，
∵4＞3，
∴点A在 D外；
（1）∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝5❑√2，点D是BC的中点，
⊙
5❑√5
∴CD= ，
2
5❑√5
∴AD= ，
2
5❑√5 5❑√5
∵ = ，
2 2
∴点A在 D上．
⊙20．如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝
∠DEC＝60°，BE＝AD．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若DE=❑√3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形CPDE的周长最大，
并求出周长的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2+2❑√3．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠DEC＝60°，
∴在△ADE中，∠ADE+∠AED＝120°，∠BEC+∠AED＝120°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B＝60°，BE＝AD，
∴△ADE≌△BEC（ASA）；
（2）解：由（1）知，△ADE≌△BEC，
∴DE＝EC，
∵C四边形CPDE ＝CP+PD+DE+EC＝CP+PD+2DE，
连接CD，过点E作EF⊥CD于点F，EF交C^D于点P'，即为所求点P，
∵E点在C^D所在的圆上，
∴EP'是直径，CD是弦，
∴∠EDP'＝∠ECP'＝90°，
∵DE＝EC，∠DEC＝60°，EF⊥CD，
∴∠DEP'＝∠CEP＝30°，
∴DP'＝CP'，
在Rt△EDP'中，设DP'＝x，则EP′＝2x，
由勾股定理得x2+(❑√3) 2=(2x) 2，
解得，x＝1，
∴DP'＝CP'＝1，
最大值为CP+PD+2DE=1+1+2❑√3=2+2❑√3，
综上所述，周长最大值为2+2❑√3．
