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期末复习练习题（一）人教版九年级数学上学期2025-2026学年度
范围：第21章一元二次方程
一、选择题：
1.一元二次方程(3x−1)2=5x化成一般形式后，二次项系数为9，其一次项系数为( )
A. 1 B. −1 C. −11 D. 11
2.一元二次方程x(x−2)=x−2的解是( )
A. x =x =0 B. x =x =1 C. x =0，x =2 D. x =1，x =2
1 2 1 2 1 2 1 2
3.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解方程的是( )
A. (x−2)( x+5)=2 B. 2x2 −x=0 C. x2+5x−2=0 D.
12(2− x)2=3
4.关于x的一元二次方程x2 −mx−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
5.若x=2是方程x2 −x+a=0的一个根，则( )
A. a=1 B. a=2 C. a=−1 D. a=−2
6.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+mx+m=0的两个不等的实数根，且满足
α2+β2=3，则m的值是( )
A. 3或−1 B. −3或1 C. 3 D. −1
二、填空题：
7.写出一个一元二次方程，并保证此方程有两个相等的实数根： ．
8.已知1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
9.如果m是方程x2 −2x−6=0的一个根，那么代数式2m2 −4m−7的值
为 ．
10.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积
八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，
宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
11.网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发
给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参
与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 ．
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A
出发，沿A→D方向以√ 2cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S ，矩形PDFE的面积
1
为S ，运动时间为t s(0<t<8)，则t= 时，S =2S ．
2 1 2
三、解答题：
13.解下列方程：(1) 直接开平方法 2(x−2)2=98; (2) 配
方法 x2 −2x−5=0;
(3) 公式法
2x2 −6x−1=0; (4) 因式分解法
2(x−2)2=3(2− x)．14.选择适当的方法解下列方程：
(1)(x−1)2+2x(x−1)=0; (2)(10+x)(50− x)=800; (3)(2x−1)2=x(3x+2)−7
15.关于x的一元二次方程x2 −3x+k=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m−1) x2+x+m−3=0与方程
x2 −3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．
16.阅读理解以下内容，解决问题：
例：解方程：x2+|x|−2=0 ．
解：①当x≥0时，原方程化为x2+x−2=0，
解得x =1，x =−2．
1 2
∵x≥0，∴x=1．
②当x<0时，原方程化为x2 −x−2=0，
解得x =2，x =−1．
1 2
∵x<0，∴x=−1．
综上所述，原方程的解是x =1，x =−1．
1 2
依照上述解法.解方程：x2 −2| x− 2|．−4=0
17.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用
竹篱笆围成，篱笆总长33米.围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
(1)若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？请说明理由；
(3)设墙长为m米.若要确保能建面积为150平方米的两种长宽不同的长方形鸡场，则m的最
小值是 (直接写出结果)．
18.【综合与实践】
如图1，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，动点P，Q分别以2cm/s，1cm/s的速度从
点A，B同时出发，点P沿着AD→DC→CB运动到点B时停止，点Q沿着BA运动到点A时停止．
设运动时间为ts.
(1)当点P在AD上运动时，AP= cm，AQ= cm；
(用含t的代数式表示)
(2)在(1)的条件下，当S△PAQ=7cm2时，求t的值；
(3)如图2、图3，点P沿着DC→CB运动到点B的过程中，当△PAQ的面积为1cm2时，求t
的值．答案
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.D
7.x2 −2x+1=0/(答案不唯一)
8.−2
9.5
10.x(x−12)=864
11.9
12.6
13.【小题1】(x−2)2=49，
x−2=±7 ，
∴x =9，x =−5;
1 2
【小题2】x2 −2x+1=6，
(x−1)2=6，
x−1=± √ 6，
，
∴x =1+√ 6 x =1− √ 6;
1 2
【小题3】∵a=2，b=−6，c=−1，
∴Δ=b2 −4ac=(−6 )2 − 4×，2×(−1)=44>0
−b±√ Δ − (−√ 64)±4 6±2√ 11
∴x= = = ，
2a 2×2 4
3+√ 11 3− √ 11
∴x = ，x = ;
1 2 2 2
【小题4】2(x−2)2 − 3(2x−)=0，
2(x−2)2+3(x−2)=0 ，
[2(x−2)+3]( x−2)=0 ，
(2x−1)( x−2)=0 ，
1
∴x = ，x =2．
1 2 2
14.(1)(x−1)2+2x(x−1)=0 ，
(x−1)( x−1+2 x)=0，
(x−1)(3 x−1)=0 ，
1
∴x =1，x = ．
1 2 3
(2)(10+x)(50− x)=800，
x2 −40 x+300=0，
(x−10)( x−30)=0 ，
∴x =10，x =30．
1 2
(3)(2x−1)2=x(3x+2)−7 ，
4x2 −4x+1=3x2+2x−7，
x2 −6x+8=0，
(x−2)( x−4)=0 ，
∴x =2，x =4．
1 29
15.【小题1】根据题意得Δ=(−3 )2 −4k≥0，解得k≤ ．
4
【小题2】
由(1)可得k的最大整数值为2，代入方程x2 −3x+k=0得x2 −3x+2=0，解得x =1，
1
x =2.∵一元二次方程(m−1) x2+x+m−3=0与方程x2 −3x+k=0有一个相同的根，∴当
2
3
x=1时，m−1+1+ m−3=0，解得m= ；当x=2时，4(m−1)+2+ m−3=0，解得m=1，而
2
3
m−1≠0 ，∴m的值为 ．
2
16.当x−2≥0 ，即x≥2时，
原方程化为x2 −2( x− 2)．−4=0
解得x =0，x =2．
1 2
∵x≥2，
∴x =0舍去，
2
∴x=2．
当x−2<0，即x<2时，
原方程化为x2 − 2(2x−)−4=0 ，
解得x =2，x =−4．
1 2
∵x<2，
∴x =2舍去．
1
∴x=−4．
综上所述，原方程的解是x =2，x =−4．
1 2
17.【小题1】设垂直于墙的边长为x米，
由题意，得x(33−2 x+2)=150，
解得x =10，x =7.5，
1 2
当x=10时，33−2 x+2=15<18；
当x=7.5时，33−2 x+2=20>18(舍去)，
∴鸡场的长为15米，宽为10米；
【小题2】设垂直于墙的一边长为x米，由题意，得x(33−2 x+2)=200，
即2x2 −35 x+200=0，Δ=(−35 )2 − 4×，2方×程2没00有=1实22数5−解16，00<0
∴鸡场面积不可能达到200平方米；
【小题3】20．
18.【小题1】2t (8− t)
【 小 题 2】 ∵四 边 形 ABCD是 矩 形 ，
1 1
∴∠A=90°.∴S = AP⋅AQ=7cm2.∴ ⋅2t(8− t)=7.解得t=1或t=7.∵点P运
△PAQ 2 2
4
动到点D的时间为 =2(s)，∴t=7不符合题意，舍去．∴t的值为1．
2
【小题3】
1 1
当点P在CD上运动时，S = AQ⋅AD.∵△PAQ的面积为1cm2，∴ ×4(8− t)=1.解
△PAQ 2 2
得t=7.5. 由矩形的性质可得CD=AB=8cm，BC=AD=4cm.∴点P运动到点C的时间为
8+4 1
=6(s).∴此种情况不存在． 当点P在BC上运动时，S = AQ⋅BP.∵△PAQ
2 △PAQ 21
的面积为1cm2，∴ (8− t)(8+4+4−2 t)=1.解得t =7，t =9.∵点Q运动到点A的时间
2 1 2
为8s，∴t=9不符合题意，舍去． 综上所述，当△PAQ的面积为1cm2时，t的值为7．
