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2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材）
第21章 一元二次方程
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，3月份的
利润比2月份的利润下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了（ ）
A．a% B．1−2a% C．(1+a%)a% D．(1−2a%)a%
【答案】D
【思路引导】本题考查增长率的实际应用和代数式的运算，解题关键是设1月利润为基础量，通过表示出2月、3月利润，
推导3月相对1月的增长关系 ．
设1月份利润为1，计算2月份增长后的利润，再计算3月份下降后的利润，最后求3月份相对于1月份的增长率．
【规范解答】解：设1月份利润为1（单位利润），根据题意得
2a
2月份利润为1×(1+2a%)=1+ ，
100
( 2a )( a ) 2a a 2a2 a 2a2
3月份利润为 1+ 1− =1+ − − =1+ − .
100 100 100 100 10000 100 10000
3月份相对于1月份的增长率为
( a 2a2 ) ( a 2a2 ) 2a2
1+ − −1 ×100%= − ×100%=a%− %=(1−2a%)a%
100 10000 100 10000 100
故选：D．
2．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，
如一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，则方程可写成 ，即
ax2+bx+c=0 (a≠0) x x a(x−x )(x−x )=0
1 2 1 2
b c
ax2−ax(x +x )+ax x =0，容易发现根与系数的关系：x +x =− ，x x = ，设一元三次方程
1 2 1 2 1 2 a 1 2 ab
ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)三个非零实数根分别x ，x ，x ，现给出以下结论：① x +x +x =− ；②
1 2 3 1 2 3 a
d c 1 1 1 c
x x x =− ；③ x x +x x +x x = ；④ + + =− ，其中正确的是______（写出所有正确
1 2 3 a 1 2 2 3 1 3 a x x x d
1 2 3
结论的序号）．
A．①②③④ B．②③ C．①② D．①③
【答案】A
【思路引导】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系
数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【规范解答】解：三次方程可表示为a(x−x )(x−x )(x−x )=0，
1 2 3
∴
ax3−a(x +x +x )x2+a(x x +x x +x x )x−ax x x =0，
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
∴
−a(x
1
+x
2
+x
3
)=b，a(x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
)=c，−ax
1
x
2
x
3
=d，
b c d
∴ x +x +x =− ，x x +x x +x x = ，x x x =− ，故结论①②③正确；
1 2 3 a 1 2 1 3 2 3 a 1 2 3 a
c
1 1 1 x x +x x +x x a c
由 + + = 2 3 1 3 1 2= =− ，结论④正确，
x x x x x x d d
1 2 3 1 2 3 −
a
综上①②③④正确，
故选：A．
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，则n2−2n+m的
值为（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2019
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x ，x 为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x ，x 与
1 2 1 2
b c
系数的关系式：x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
先根据n方程x2−3x−2020=0的实数根得出n2=3n+2020，结合根与系数的关系求出m+n=3，然后利用整体代入
的方法计算．
【规范解答】解：∵m、n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，∴n2−3n−2020=0，即n²=3n+2020，
∴n2−2n+m=3n+2020−2n+m=m+n+2020，
∵m，n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，
∴n+n=3，
∴n2−2n+m=(m+n)+2020=3+2020=2023．
故选：C．
4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）若关于x的一元二次方程． kx2+x−2=0有两个实数根，则实
数k的取值范围是 （ ）
1 1
A．k≤− B．k>− 且k≠0
8 9
1 1
C．k≥− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
8 4
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程
的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得
Δ=12−4⋅k⋅(−2)=1+8k≥0且k≠0，求出k的取值范围即可．
【规范解答】解：∵一元二次方程kx2+x−2=0有两个实数根，
{Δ=12−4⋅k⋅(−2)=1+8k≥0)
∴ ，
k≠0
1
∴ k≥− 且k≠0，
8
故选：C．
5．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长
6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为
（ ）
A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m
【答案】B1
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设BC长为xm，则AB的长为 ×(15+1−x)m ，根据题意列出一元二次
2
方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
1
【规范解答】解：设BC长为xm，则AB的长为 ×(15+1−x)m ，
2
1
由题意可得：
×(15+1−x)x=24，
2
解得：x =4，x =12（不符合题意，舍去），
1 2
∴BC长为4m，
故选：B．
6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系xOy中，P点坐标为(m,2n2 ﹣10)，且实数m，n满
2
足n2= m+3则点P到原点O的距离的最小值为（ ）
3
3 12 6 4
A． ❑√10 B． C． ❑√3 D． ❑√5
5 5 5 5
【答案】B
【思路引导】本题考查点的坐标，勾股定理，配方法，算术平方根，熟练掌握配方法是解题的关键．由点
2
P到原点O的距离为：OP=❑√ m2+(2n2−10) 2，结合n2= m+3逐步整理，最后将被开方数配方进行求解
3
即可．
【规范解答】解：∵P点坐标为(m,2n2 ﹣10)，
∴点P到原点O的距离为：OP=❑√ m2+(2n2−10) 2，
2
∵
n2= m+3，
3
∴OP=❑ √ m2+4 (2m +3−5 ) 2
3
√25( 48) 2 256
=❑ m− +16−
9 25 25
√ 256 12
≥❑16− = ，
25 5故选：B．
7．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程x2+4x+3=0，配方后的方程是
（ ）
A．(x+2) 2=1 B．(x−4) 2=1
C．(x−2) 2=1 D．(x+4) 2=1
【答案】A
【思路引导】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【规范解答】解：x2+4x+3=0，
x2+4x=−3，
x2+4x+4=−3+4，
(x+2) 2=1．
故选：A．
8．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”： aΔb=a2−2ab−b2，例如：
1 1
2Δ3=22−2×2×3−32=−17．若m，n是方程(x+3)Δ2=0的两个实数根，则 + 的值为（ ）
m n
2 2 1
A． B．−3 C．− D．−
7 7 7
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由(x+3)Δ2=0得：
x2+2x−7=0，由根与系数的关系得m+n=−2，mn=−7；再把所求代数式通分，整体代入即可．
【规范解答】解：∵(x+3)Δ2=0，
∴(x+3) 2−2(x+3)×2−22=0，
整理得：x2+2x−7=0，
∵m，n是方程(x+3)Δ2=0的两个实数根，
即m，n是方程x2+2x−7=0的两个实数根，
∴m+n=−2，mn=−7；
1 1 n+m −2 2
∴ + = = = ；
m n mn −7 7
故选：A．9．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义[x)表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3)=2，
[−0.32)=−1，[−2)=−2．则方程x2+3[x)=0的解为（ ）
A．−2❑√3或−3或0 B．−❑√3或−2❑√3或0
C．−3或−❑√6或0 D．−❑√6或−❑√3或0
【答案】A
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关
键．
首先根据非负性得到x2=−3[x)≥0，则x≤0，再分类讨论，利用直接开平方法求解即可．
【规范解答】解：∵x2+3[x)=0
∴x2=−3[x)≥0，
∴[x)≤0，
∴x≤0，
①当x=0时，符合题意；
②−1≤x<0时，[x)=−1，
则x2+3[x)=0化为：x2−3=0，解得：x=±❑√3，均不在−1≤x<0内，舍；
②−2≤x<−1时，[x)=−2，
则x2+3[x)=0化为：x2−6=0，解得：x=±❑√6，均不在−1≤x<0内，舍；
③−3≤x<−2时，[x)=−3，
则x2+3[x)=0化为：x2−9=0，解得：x=−3或x=3（舍）；
④−4≤x<−3时，[x)=−4，
则x2+3[x)=0化为：x2−12=0，解得：x=−2❑√3或x=2❑√3（舍）；
⑤当x<−4时，均不成立，
∴方程x2+3[x)=0的解为x=0或x=−3或x=−2❑√3，
故选：A．
10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0，如果x=2024是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么下列各数中，一定
是方程cx2+bx+a=0的根的是（ ）
1 1
A．±2024 B．− C．−2024 D．±
2024 2024
【答案】C
c b
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得 =−1，进而由方程得x2+ x−1=0，
a a
b b
x2− x−1=0，又由x=2024是方程ax2+bx+c=0的一个根， 可得20242+ ×2024−1=0，即得
a a
b b
(−2024) 2− ×(−2024)−1=0，即可得x=−2024是方租x2− x−1=0的一个根，据此即可求解，掌握
a a
以上知识点是解题的关键．
【规范解答】解：∵a≠0，c≠0，a+c=0，
c
∴
=−1，
a
∵ax2+bx+c=0，cx2+bx+a=0，
b c c b
∴
x2+ x+ =0， x2+ x+1=0，
a a a a
b b
∴
x2+ x−1=0，x2− x−1=0，
a a
∵x=2024是方程ax2+bx+c=0的一个根，
b
∴x=2024是方程x2+ x−1=0的一个根，
a
b
∴
20242+ ×2024−1=0，
a
b
∴(−2024) 2− ×(−2024)−1=0，
a
b
∴x=−2024是方程x2− x−1=0的一个根，
a
即x=−2024是方程cx2+bx+a=0的一个根，
故选：C．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知方程x²−3x−2=0的两根分别为m，n，则m2n+mn2的值为 ．
【答案】−6
【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求代数式的值，提公因式法因式分解．若x ，
1
b c
x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x ⋅x = ．利用一元二次方程的根与系
2 1 2 a 1 2 a
数的关系求得m+n和mn的值，并将其代入变形后的代数式求值即可．
【规范解答】解：根据根与系数的关系得m+n=3，mn=−2，
∴m²n+mn²
=mn(m+n)
=−2×3
=−6．
故答案为：−6．
12．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周
长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的k倍(k>0)，则k的取值范围是 ．
9
【答案】00，
9
∴0n))
m⊗n= ，若x⊗(−1)=1，则实数x的值为 ．
m2+m+n(m≤n)
【答案】−2或0或1
【思路引导】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键．
分两种情况：当x>−1时，当x≤−1时，根据新定义列方程，求解即可．
【规范解答】解：∵x⊗(−1)=1，∴当x>−1时，
x2−x+1=1，
即x2−x=0，
解得：x =1，x =0，
1 2
当x≤−1时，
x2+x−1=1，
即x2+x−2=0，
解得：x =1（舍去），x =−2，
1 2
综上，实数x的值为−2或0或1．
故答案为：−2或0或1．
16．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB的延长线上，点E在
边AC上，连接CD，BE，∠CDB=∠BEC=45°．若BD=4,AE=2，则BE的长为 ．
【答案】6❑√2
【思路引导】过点B作BF⊥AC于点F，延长FC至点H使FH=EF，连接BH，证明△EFB≌△HFB，
得到∠H=∠BEF=45°，证明△HCB≌△DBC，进而得到CH=BD，设CF=x，得到
BF=EF=CH=x+4，进而得到AC=AB=2x+6，在Rt△ABF中，利用勾股定理，列出方程进行求解
即可．
【规范解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，延长FC至点H使FH=EF，连接BH，
则：∠BFE=∠BFH=90°，
∵∠BEF=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴EF=BF,BE=❑√2EF，∵BF=BF，FH=EF，∠BFE=∠BFH=90°，
∴△EFB≌△HFB，
∴∠H=∠BEF=45°，
∵∠D=45°，
∴∠D=∠H，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴180°−∠ACB=180°−∠ABC，
∴∠HCB=∠DBC，
∵BC=BC，
∴△HCB≌△DBC，
∴CH=BD=4，
设CF=x，则：BF=EF=CH=x+4，
∴AC=AB=AE+EF+CF=2x+6，AF=AE+EF=x+6，
在Rt△ABF中，由勾股定理，得：AB2=AF2+BF2，
∴(2x+6) 2=(x+4) 2+(x+6) 2，
解得：x=2或x=−4（舍去）；
∴EF=x+4=6，
∴BE=❑√2EF=6❑√2；
故答案为：6❑√2．
【考点评析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程
等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．
17．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0的两根符号相同，那么方程cx2+bx+a=0的
两根符号也相同；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若
1
ax2−bx=c(ac≠0)的一个实数根为4，则方程cx2+bx=a(ac≠0)定有一个实数根为 ．其中正确的是
4
．（填序号）
【答案】①②④
【思路引导】本题考查了公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由a+b+c=0，可知x=1是方程ax2+bx+c=0的解，利用判别式Δ≥0可判断
c
①；由方程ax2+bx+c=0的两根符号相同，由根与系数的关系可得x ⋅x = >0，Δ=b2−4ac≥0，对
1 2 a
a
于方程cx2+bx+a=0，则有Δ=b2−4ac≥0和x ⋅x = >0，可判断②；由c是方程ax2+bx+c=0的一
3 4 c
个根，则有ac2+bc+c=0，可判断③；由题意得16a−4b=c，利用公式法解方程cx2+bx=a(ac≠0)，
可判断④，即可得出结论．
【规范解答】解：若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，即方程有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0，故①正确；
若方程ax2+bx+c=0的两根符号相同，设两根为x 、x ，
1 2
c
∴x ⋅x = >0，Δ=b2−4ac≥0，
1 2 a
∴a,c符号相同，
对于方程cx2+bx+a=0，则Δ=b2−4ac≥0，
∴方程cx2+bx+a=0有实数根，设两根为x 、x ，
3 4
a
∴x ⋅x = >0，
3 4 c
∴x 、x 符号相同，故②正确；
3 4
若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则有ac2+bc+c=0，
∴c(ac+b+1)=0，
∴c=0或ac+b+1=0，
当c≠0时，不一定有ac+b+1=0成立，故③错误；
若ax2−bx=c(ac≠0)的一个实数根为4，则有16a−4b=c，
对于方程cx2+bx=a(ac≠0)，则cx2+bx−a=0，
Δ=b2−4c⋅(−a)=b2+4a(16a−4b)=(b−8a) 2，
−b±❑√Δ −b±(b−8a)
∴x= = ，
2c 2c
−8a 4a 8a−2b 8a−2b 1
∴x = =− ，x = = = ，
1 2c c 2 2c 2(16a−4b) 41
∴方程cx2+bx=a(ac≠0)定有一个实数根为 ，故④正确；
4
∴综上所述，其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那么多项式
3
m3+3n−mn+ +2032的值是 ．
n
【答案】2029
【思路引导】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ，x x = 是解题的关键．先根据根与系数的关系得出
1 2 a 1 2 a
1 n+1
m+n=−1，mn=−3，再利用一元二次方程解的定义得到m2=−m+3， = ，从而得到m3=4m−3，
n 3
3
=n+1，则原式化简为4(m+n)−mn+2032，最后利用整体代入的方法计算即可．
n
【规范解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根
∴m+n=−1，mn=−3，m2+m−3=0，n2+n−3=0
∴m2=−m+3，n(n+1)=3
∴m3=m(−m+3)=−m2+3m=−(−m+3)+3m=4m−3
1 n+1 3
= ，即 =n+1
n 3 n
3
∴m3+3n−mn+ +2032
n
=4m−3+3n−mn+n+1+2032
=4m+4n−mn−2+2032
=4(m+n)−mn+2030
=4×(−1)−(−3)+2030
=2029
故答案为：2029．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）19．（本题6分）（24-25九年级上·四川宜宾·期末）解方程
(1)x(x−3)−1=0
(2)(2x+1) 2=2(2x+1)
3+❑√13 3−❑√13
【答案】(1)x = ，x =
1 2 2 2
1 1
(2)x =− ，x =
1 2 2 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）先计算Δ=(−3) 2−4×1×(−1)=13>0，再利用公式法解方程即可；
（2）把方程化为(2x+1)(2x+1−2)=0，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
【规范解答】（1）解：∵x(x−3)−1=0
∴x2−3x−1=0，
∴Δ=(−3) 2−4×1×(−1)=13>0，
−(−3)±❑√13 3±❑√13
∴x= = ，
2×1 2
3+❑√13 3−❑√13
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：∵(2x+1) 2=2(2x+1)，
∴(2x+1) 2−2(2x+1)=0，
∴(2x+1)(2x+1−2)=0，
∴2x+1=0或2x+1−2=0，
1 1
∴ x =− ，x = ．
1 2 2 2
20．（本题6分）（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于x的方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0．
(1)求证：方程总有两个不等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x=0，求代数式(2m−1) 2+(3+m)(3−m)+7m−5的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)5【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将
根代入求参数，再化简代数式求值．
（1）通过化简方程的判别式得出Δ=1，根据Δ>0，证得方程总有两个不等实数根．
（2）把x=0代入原方程，得m(m+1)=0，求出m=0或m=−1；再化简代数式
(2m−1) 2+(3+m)(3−m)+7m−5为3m2+3m+5，最后将m的两个值分别代入化简式，计算得结果．
【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0．
∴Δ=[−(2m+1)) 2 −4×1×m(m+1)
=4m2+4m+1−4m2−4m
=1
∵Δ=1>0，
∴方程总有两个不等的实数根．
（2）解∵x=0是方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根，
∴将x=0代入得：
0−0+m(m+1)=0，
m(m+1)=0，
解得m=0或m=−1．
(2m−1) 2+(3+m)(3−m)+7m−5
=4m2−4m+1+9−m2+7m−5
=3m2+3m+5
当m=0时，代入3m2+3m+5得：
3×0+0+5=5．
当m=−1时，代入3m2+3m+5得：
3×(−1) 2+3×(−1)+5=3−3+5=5．
∴代数式的值为5．
21．（本题8分）（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图1，当线段AB上有1个点时，可将线段AB
分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段AB上有2个点时，可将线段AB分成3个部分，可得到6
条线段；如图3，当线段AB上有3个点时，可将线段AB分成4个部分，可得到10条线段……根据题意，回答下列问题．
(1)当线段AB上有4个点时，可将线段AB分成________个部分，可得到________条线段．
(2)若线段AB上有n个点时，可将线段AB分成________个部分，可得到________条线段．
(3)若在线段AB上得到66条线段，则线段AB上除端点之外还有多少个点？
【答案】(1)5，15
(n+1)(n+2)
(2)(n+1)， ；
2
(3)10个
【思路引导】本题考查图形类规律探究及一元二次方程，找到图形变化规律是解答的关键．
（1）依次求得线段AB上有1个、2个、3个点时分成的部分和线段条数，找到变化规律即可求解；
（2）根据（1）中分成的部分及线段的总数与n的关系得出规律即可求解；
（3）由（2）中结论列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：当线段AB上有1个点时，可将线段AB分成2个部分，可得到1+2=3（条）线段；
当线段AB上有2个点时，可将线段AB分成3个部分，可得到1+2+3=6（条）线段；
当线段AB上有3个点时，可将线段AB分成4个部分，可得到1+2+3+4=10（条）线段，
∴当线段AB上有4个点时，可将线段AB分成5个部分，可得到1+2+3+4+5=15（条）线段，
故答案为：5，15；
（2）解：由（1）得当线段AB上有n个点时，可将线段AB分成(n+1)个部分，可得到
(n+1)(n+1+1) (n+1)(n+2)
1+2+3+4+5+…+n+(n+1)= = （条）线段，
2 2
(n+1)(n+2)
故答案为：(n+1)， ；
2
(n+1)(n+2)
（3）解：由题意，得 =66，整理，得n2+3n−130=0，
2
解得n =10，n =−13（不符合题意，舍去），
1 2
∴线段AB上除端点之外还有10个点．
22．（本题8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期
间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定
采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价
不变）．(1)设售价每千克下降x元，则每天能售出_______千克（用含x的代数式表示）；
(2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额；
(3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目
标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
【答案】(1)(150+3x)
(2)54元或56元
(3)不能达成这个“小目标”，理由见解析
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
解题的关键．
（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，
则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论；
（2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的
值即可；
（3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的
判别式即可得出结论．
( x )
【规范解答】（1）由题意可知，每天能售出： 150+ ×6 千克，即(150+3x)千克，
2
故答案为：
（2）解∶ 设售价每千克下降x元
由题意得：(60−x)(150+3x)=9072
整理得：x2−10x+24=0
解得：x =4，x =6
1 2
∴60−x=60−4=56或60−6=54
答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额
（3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每千克下降m元
由题意得：(60−m)(150+3m)=10000
整理得：3m2−30m+1000=0
∴b2−4ac=302−3×4×1000=−11100<0
∴不能达到这个“小目标”．23．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两
个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程
x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2−4x+3=0的两个根分别
是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，2x2−5x+2=0是“________倍根方程”；
(2)若关于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值；
(3)直线l ：y=−x+5与x轴交于点A，直线l过点B(−1,0)，且与l 相交于点C(1,4)．若一个五倍根方程的
1 1
两个根为x 和x (0
