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2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材）
第21章 一元二次方程
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，3月份
的利润比2月份的利润下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了（ ）
A．a% B．1−2a% C．(1+a%)a% D．(1−2a%)a%
2．（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关
系，如一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，则方程可写成 ，
ax2+bx+c=0 (a≠0) x x a(x−x )(x−x )=0
1 2 1 2
b c
即ax2−ax(x +x )+ax x =0，容易发现根与系数的关系：x +x =− ，x x = ，设一元三次方程
1 2 1 2 1 2 a 1 2 a
b
ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)三个非零实数根分别x ，x ，x ，现给出以下结论：① x +x +x =− ；②
1 2 3 1 2 3 a
d c 1 1 1 c
x x x =− ；③ x x +x x +x x = ；④ + + =− ，其中正确的是______（写出所有正确
1 2 3 a 1 2 2 3 1 3 a x x x d
1 2 3
结论的序号）．
A．①②③④ B．②③ C．①② D．①③
3．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程x2−3x−2020=0的两个实数根，则
n2−2n+m的值为（ ）
A．2020 B．2022 C．2023 D．2019
4．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）若关于x的一元二次方程． kx2+x−2=0有两个实数根，
则实数k的取值范围是 （ ）
1 1
A．k≤− B．k>− 且k≠0
8 9
1 1
C．k≥− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
8 4
5．（24-25九年级下·山东临沂·期中）如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长
为（ ）
A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m
6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系 中，P点坐标为 ，且实数 ，
xOy (m,2n2 ﹣10) m
2
n满足n2= m+3则点P到原点O的距离的最小值为（ ）
3
3 12 6 4
A． ❑√10 B． C． ❑√3 D． ❑√5
5 5 5 5
7．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程x2+4x+3=0，配方后的方程是
（ ）
A． B．
(x+2) 2=1 (x−4) 2=1
C． D．
(x−2) 2=1 (x+4) 2=1
8．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”： aΔb=a2−2ab−b2，例如：
1 1
2Δ3=22−2×2×3−32=−17．若m，n是方程(x+3)Δ2=0的两个实数根，则 + 的值为（ ）
m n
2 2 1
A． B．−3 C．− D．−
7 7 7
9．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段练习）定义[x)表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3)=2，
， ．则方程 的解为（ ）
[−0.32)=−1 [−2)=−2 x2+3[x)=0
A．−2❑√3或−3或0 B．−❑√3或−2❑√3或0
C．−3或−❑√6或0 D．−❑√6或−❑√3或0
10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0，
其中a，b，c是常数，且a+c=0，如果x=2024是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么下列各数中，一
定是方程cx2+bx+a=0的根的是（ ）1 1
A．±2024 B．− C．−2024 D．±
2024 2024
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知方程x²−3x−2=0的两根分别为m，n，则
m2n+mn2的值为 ．
12．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，
周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的k倍(k>0)，则k的取值范围是 ．
13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若a，b是方程x2+x−2023=0的两根，则a2+2a+b=
．
14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）一元二次方程 配方，得 ，则 是
x2−8x+c=0 (x−m) 2=11 c+m
．
15．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数m，n定义一种新运算“⊗”：
m⊗n=
{m2−m−n(m>n))，若
x⊗(−1)=1 ，则实数x的值为 ．
m2+m+n(m≤n)
16．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB的延长线上，点E
在边AC上，连接CD，BE，∠CDB=∠BEC=45°．若BD=4,AE=2，则BE的长为 ．
17．（24-25九年级上·四川巴中·期末）对于一元二次方程 ，下列说法：
ax2+bx+c=0(a≠0)
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0的两根符号相同，那么方程cx2+bx+a=0的
两根符号也相同；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若
1
ax2−bx=c(ac≠0)的一个实数根为4，则方程cx2+bx=a(ac≠0)定有一个实数根为 ．其中正确的是
4
．（填序号）
18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如果m，n是一元二次方程x2+x−3=0的两个根，那么多3
项式m3+3n−mn+ +2032的值是 ．
n
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）（24-25九年级上·四川宜宾·期末）解方程
(1) (2)
x(x−3)−1=0 (2x+1) 2=2(2x+1)
20．（本题6分）（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知关于x的方程
．
x2−(2m+1)x+m(m+1)=0
(1)求证：方程总有两个不等的实数根；
(2)已知方程的一个根为 ，求代数式 的值．
x=0 (2m−1) 2+(3+m)(3−m)+7m−5
21．（本题8分）（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图1，当线段AB上有1个点时，可将线段
AB分成2个部分，可得到3条线段；如图2，当线段AB上有2个点时，可将线段AB分成3个部分，可得
到6条线段；如图3，当线段AB上有3个点时，可将线段AB分成4个部分，可得到10条线段……根据题
意，回答下列问题．(1)当线段AB上有4个点时，可将线段AB分成________个部分，可得到________条线段．
(2)若线段AB上有n个点时，可将线段AB分成________个部分，可得到________条线段．
(3)若在线段AB上得到66条线段，则线段AB上除端点之外还有多少个点？
22．（本题8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端
午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店
决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中
售价不变）．
(1)设售价每千克下降x元，则每天能售出_______千克（用含x的代数式表示）；
(2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额；
(3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目
标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
23．（本题8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于 的一元二次方程
x ax2+bx+c=0(a≠0)
有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：
方程x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2−4x+3=0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，2x2−5x+2=0是“________倍根方程”；
(2)若关于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值；
(3)直线l ：y=−x+5与x轴交于点A，直线l过点B(−1,0)，且与l 相交于点C(1,4)．若一个五倍根方程的
1 1
两个根为 和 ，且点 在 的内部（不包含边界），求 的取值范围．
x x (0
