文档内容
2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习检测中等卷（新教材）
第21章 一元二次方程
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55
班级： 姓名： 学号：
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目
要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）关于x的一元二次方程x2−3x−5=0的两个根是x , x ，则
1 2
x +x −x x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．8 B．−8 C．−2 D．2
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据根与系数的关系得到x +x =3，x x =−5，即可求出x +x −x x 的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x−5=0的两个根是x , x ，
1 2
−3 −5
∴x +x =− =3，x x = =−5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x −x x =3−(−5)=8，
1 2 1 2
故选：A．
2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(x+1) 2−m=0有两个实数根，
则m的取值范围是（ ）
A．m=0 B．m≥0 C．m>0 D．m<2
【答案】B
【思路引导】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式：Δ=b2−4ac≥0方程有实数根，可得答案．
【规范解答】解：将方程(x+1) 2−m=0化成一般式x2+2x+1−m=0．
由方程有实数根，得：Δ=b2−4ac=22−4(1−m)≥0
解得m≥0，
故选：B．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）设a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根，则a2+3a+b的值
为（ ）A．18 B．−22 C．20 D．22
【答案】A
【思路引导】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式
解此题的关键． 根据根与系数的关系看得a+b=−2，由a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根可得
a2+2a=20，进而可以得解．
【规范解答】解：∵a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根，
∴a2+2a=20，a+b=−2，
∴a2+3a+b
=a2+2a+a+b
=20−2
=18；
则a2+3a+b的值为18．
故选：A．
4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x+2y=1 B．ax2+bx+c=0 C．3x+ =4 D．4x2=81
x
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一
元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽
视的知识点．
一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为
0；（3）是整式方程；由此判断即可．
【规范解答】解：A．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．当a=0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若方程(a+4)x|a)−2+6x−1=0是关于x的一元二次方程，则a
的值为（ ）
A．4 B．−4 C．4或−4 D．0
【答案】A【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方
{|a)−2=2)
程叫做一元二次方程，据此可得 ，解之即可得到答案．
a+4≠0
【规范解答】解：∵方程(a+4)x|a)−2+6x−1=0是关于x的一元二次方程，
{|a)−2=2)
∴ ，
a+4≠0
∴a=4，
故选：A．
6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）关于x的一元二次方程kx2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围
是（ ）
9 9
A．k≤− B．k≥− 且k≠0
4 4
9 9
C．k≥− D．k≤− 且k≠0
4 4
【答案】B
【思路引导】根据方程的根的判别式Δ=b2−4ac=32−4×(−1)×k≥0且k≠0，计算即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
【规范解答】解：∵一元二次方程kx2+3x−1=0有实根，
∴Δ=b2−4ac=32−4×(−1)×k≥0且k≠0，
9
解得k≥− 且k≠0，
4
故选：B．
7．（24-25九年级上·河南开封·期末）关于x的一元二次方程x2+4x−2k=0有实数根，则k的值可能
是（ ）
A．−5 B．−4 C．−3 D．−2
【答案】D
【思路引导】根据方程的根的判别式Δ=b2−4ac=42−4×1×(−2k)≥0，计算即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．【规范解答】解：∵一元二次方程x2+4x−2k=0有实根，
∴Δ=b2−4ac=42−4×1×(−2k)≥0，
解得k≥−2，
故选：D．
8．（23-24九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实
数根，则k的取值范围是（ ）
1 1
A．k> 且k≠1 B．k>
2 2
1 1
C．k≥ 且k≠1 D．k≥
2 2
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握根
的判式．
利用根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，然后求解即可．
【规范解答】解：根据题意得，Δ=22−4(k−1)(−2)>0，
1
解得k> ，
2
又k−1≠0，
∴k≠1，
1
∴k> 且k≠1，
2
故选：A．
1
9．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程 x2−(a+2b)x+2=0有两个相等实数根．
2
1 (1 )
若在直角坐标系中，点P在直线l:y=−x+ 上，点Q a,b 在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
3 2
2 ❑√2 4 ❑√6
A． ❑√2 B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
【思路引导】先根据一元二次方程根的判别式可得a=−2b+2或a=−2b−2，则点Q的坐标为Q(−b+1,b)或Q(−b−1,b)，再得出点Q在直线y=−x−1上，从而可得当PQ与两条直线垂直时，PQ
的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得．
1
【规范解答】解：∵关于x的方程 x2−(a+2b)x+2=0有两个相等实数根，
2
∴这个方程根的判别式为Δ=[−(a+2b)) 2 −4× 1 ×2=(a+2b) 2−4=0，
2
∴ ，
(a+2b) 2=4
∴a+2b=2或a+2b=−2，即a=−2b+2或a=−2b−2，
∵点 的坐标为 (1 )，
Q Q a,b
2
∴Q(−b+1,b)或Q(−b−1,b)，
∴点Q在直线y=−x+1或直线y=−x−1上，
b
10．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）已知实数a，b，c，m，n，其中a≠0，满足3m+n= ，
a
c
mn= ．则以下说法：①b2−12ac≥0；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一
a
元二次方程ax2−bx+3c=0的两根为3m，n．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【思路引导】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用和整式的混合运算．①根据题
意，可得b=a(3m+n)，c=amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式
，根据a，m，n是实数，可知 ，即可得 ；②若m,n都为整数，
=a2(3m−n) 2 a2(3m−n) 2≥0 b2−12ac≥0
其可能情况有：m，n都为奇数；m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．③根据
c 3c
根与系数的关系，将mn= 变形得3m⋅n= ，进而可得结论．
a a
b c
【规范解答】解：∵3m+n= ，mn= ，
a a
∴b=a(3m+n)，c=amn，
∴b2−12ac=[a(3m+n)) 2 −12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)−12a2mn
=a2(9m2−6mn+n2)
，
=a2(3m−n) 2
∵a，m，n是实数，
∴ ，
a2(3m−n) 2≥0
∴b2−12ac≥0，即①正确；
若m，n都为整数，其可能情况有以下两种：
当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
b
又∵3m+n= ，
a
∴b=a(3m+n)，
∵a为奇数，
∴a(3m+n)必为偶数，这与b为奇数矛盾；
当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
c
又∵mn= ，
a
∴c=amn，
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确；
b c
∵3m+n= ，mn= ，
a a
b 3c
∴3m+n= ，3m⋅n= ，
a a
∴关于x的一元二次方程ax2−bx+3c=0的两根为3m，n．即③正确．
故选：D．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若a是方程x2+3x−1=0的一个根，则2a2+6a+2022=【答案】2024
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到a2+3a=1，再把
变形为 ，然后利用整体代入的方法计算．
2a2+6a+2022 2(a2+3a)+2022
【规范解答】解：∵a是方程x2+3x−1=0的一个根，
∴a2+3a−1=0，
∴a2+3a=1，
∴2a2+6a+2022
=2(a2+3a)+2022
=2×1+2022
=2+2022
=2024．
故答案为：2024
12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）方程x2=3x的解是 ．
【答案】x =0，x =3
1 2
【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种解法是解题的关键．
先移项，然后再运用因式分解解一元二次方程即可．
【规范解答】解：x2=3x，
∴x2−3x=0，
∴x(x−3)=0，
∴x=0，x−3=0，
解得：x =0，x =3．
1 2
故答案为：x =0，x =3．
1 2
13．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若(x+2)(x+1) ，则 ．
=0 x=
|x)−1
【答案】−2
【思路引导】本题考查了分式值为0的条件，因式分解法解一元二次方程，根据题意可得
(x+2)(x+1)=0,|x)−1≠0，解方程即可求解．
【规范解答】解：依题意，(x+2)(x+1)=0,|x)−1≠0
∴x+2=0或x+1=0，且x≠±1
∴x=−2故答案为：−2．
1 1
14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，则 + 的
1 2 x x
1 2
值为 ．
2
【答案】− /−0.4
5
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，
ax2+bx+c=0(a≠0)
b c
若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ．根据一元二次方程根与系数的关系得到
1 2 1 2 a 1 2 a
，再由 1 1 x +x 进行求解即可．
x +x =2，x x =−5 + = 1 2
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
【规范解答】解：∵x ,x 是方程x2−2x−5=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2，x x =−5，
1 2 1 2
∴ 1 1 x +x 2，
+ = 1 2=−
x x x x 5
1 2 1 2
2
故答案为：− ．
5
15．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若x=m是一元二次方程x2−2x−15=0的解，则代数式
2m2−4m的值为 ．
【答案】30
【思路引导】根据方程的解的定义，将x=m代入方程得到关于m的等式，再对所求代数式进行变形，最后
代入计算．本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代
数式进行合理变形是解题的关键．
【规范解答】解：∵x=m是一元二次方程x2−2x−15=0的解
∴m2−2m−15=0
∴m2−2m=15
∵
2m2−4m=2(m2−2m)
∴2m2−4m=2×15=30
故答案为：30．16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的
周长和面积分别是其周长和面积的k倍（k>0），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为
3，宽为2的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ．
24
【答案】
25
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的
关键．
题目说一定存在满足条件的矩形，所以列得关于x的方程的根的判别式一定大于等于零，得到关于k的不
等式，进而求出k的范围，于是得到结论．
【规范解答】解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形，
∴它的周长=(2+3)×2=10，面积=2×3=6，
∴它的“k倍”矩形的面积=6k，周长=10k，
设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为5k−x，
由题意得：x(5k−x)=6k，
整理得：x2−5kx+6k=0，
∴Δ=25k2−24k，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴Δ≥0即：25k2−24k≥0，
∵k>0，
24
∴k≥ ，
25
24
∴k的最小值为 ，
25
24
故答案为： ．
25
17．（24-25九年级上·吉林·期末）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程
的一个根，则这个三角形的周长为 ．
(x−5) 2=9
【答案】18
【思路引导】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得x =2，x =8，结
1 2
合三边关系得2<第三边的长<10，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案．
【规范解答】解： ，
∵ (x−5) 2=9∴x−5=±3，
解得x =2，x =8，
1 2
∵三角形的两边长分别为4和6，
∴ 6−4<第三边的长<6+4，
即2<第三边的长<10，
第三边的长是一元二次方程 的一个根，
∵ (x−5) 2=9
∴第三边为8，
则三角形的周长为4+6+8=18，
故答案为：18．
18．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在边长为4的正方形ABCD中E是对角线BD上一动
点，连接CE，将正方形沿CE所在直线折叠，点D的对应点为D′（不与正方形ABCD的顶点重合），连接
D′E，当D′E平行于△BCD的边时，DE的长为 ．
【答案】4❑√2−4或4
【思路引导】分D′E∥BC和D′E∥DC两种情况，利用正方形的性质，等腰直角三角形性质，折叠性质，
勾股定理解答即可．
【规范解答】解：根据题意，得
当D′E∥BC时，延长D′E交CD于点M，
∵边长为4的正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=4，∠DBC=∠BDC=45°,∠DCB=90°，
∴∠DEM=∠DBC=∠BDC=45°,∠DME=∠DCB=90°，
∴DM=EM，
设DM=EM=x，
∴ ， ，
DE=❑√x2+x2=❑√2x CM=CD−DM=4−x
∵正方形沿CE所在直线折叠，∴ ， ，
DE=D′E=❑√x2+x2=❑√2x DC=D′C=4
∴D′C2=D′M2+CM2，
∴ ，
42=(❑√2x+x) 2+(4−x) 2
解得：x=4−2❑√2，
∴DE=❑√2x=4❑√2−4；
当D′E∥DC时，
∵边长为4的正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=4，∠DBC=∠BDC=45°,∠DCB=90°，
∵正方形沿CE所在直线折叠，
∴∠BED′=∠DBC=∠BDC=∠D′=45°，ED′=ED，
∵∠BED′+∠DED′=180°，
∴∠D′+∠DED′=180°，
∴DE∥D′C，
∴四边形DED′C是菱形，
∴DE=DC=4；
故答案为：4❑√2−4或4．【考点剖析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定
理是解题的关键．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）解方程：
(1)x2−5x−10=0；
(2)2x2+7x+1=0．
5+❑√65 5−❑√65
【答案】(1)x = ，x = ；
1 2 2 2
−7+❑√41 −7−❑√41
(2)x = ， x = ．
1 4 2 4
【思路引导】此题主要考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．
（1）利用公式法解方程得出即可；
（2）利用公式法解方程得出即可．
【规范解答】（1）解：x2−5x−10=0
，
∵ Δ=(−5) 2−4×1×(−10)=65>0
5±❑√65
∴ x= ，
2
5+❑√65 5−❑√65
∴ x = ，x = ．
1 2 2 2
（2）解：2x2+7x+1=0
∵ Δ=72−4×2×1=41>0，
−7±❑√41
∴ x= ，
4
−7+❑√41 −7−❑√41
∴ x = ， x = ．
1 4 2 4
20．（本题6分）（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0．
(1)若此方程有两个相等的实数根，求实数k的值；
(2)已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值．
【答案】(1)k=2
(2)方程的另一个根为−1，k=−2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系．
（1）先计算根的判别式，得关于k的方程，求解即可；（2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系进行列式计算，可得结论．
【规范解答】（1）解：∵x2−2x+k−1=0，
∴a=1，b=−2，c=k−1，
∴
Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1×(k−1)=8−4k
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=8−4k=0，
∴k=2；
（2）解：设方程的另一个根为x ，
1
b −2
由题意得：x +3=− =− =2，
1 a 1
∴x =−1，
1
即方程的另一个根为−1，
c k−1
则3x = = ，
1 a 1
∴3×(−1)=k−1，
解得k=−2．
21．（本题8分）（23-24九年级上·天津和平·期末）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图1是
李叔叔的软笔作品，是长180cm，宽90cm的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬
（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图2，左右边衬的宽度是上下边衬的2
倍，面积变成原作品的1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？
【答案】4.5cm
【思路引导】首先设上下边衬的宽度为未知数，根据左右边衬与上下边衬宽度的关系表示出左右边衬宽度。
再依据装裱后面积与原作品面积的倍数关系，列出方程，最后求解方程并舍去不符合实际意义的解，从而
得到上下边衬的宽度4.5cm．
本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程并求解是解题的关键．【规范解答】解：设上下边衬的宽度是xcm，则左右边衬的宽度是2xcm，
依题意得：(180+2×2x)(90+2x)=1.21×180×90
(90+2x) 2=9801
x =4.5,x =−94.5（舍）
1 2
答：此作品上下边衬的宽度是4.5cm．
22．（本题8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，
AB=200cm，OE=260cm．一只老鼠C由柱子底端点A以2cm/s的速度向顶端点B爬行；同时，另一只
老鼠D由点O以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠
与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，当爬行20s或30s时，两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用、垂直平分线的性质以及三角形面积公式，正确列出方
程是解题的关键．
设爬行时间为xs，则AC=2xcm，OC=(100−2x)cm，OD=3xcm；再根据两只老鼠与点O组成的三角
1
形的面积为1800 cm2可得 ×(100−2x)×3x=1800，进而求解即可．
2
【规范解答】解：存在．
∵OE垂直平分AB，AB=200cm，
∴OA=100cm．
设爬行时间为xs．
当老鼠C在OA上运动时，AC=2xcm，OC=(100−2x)cm，OD=3xcm．
1 1
由S = OC⋅OD，得 ×(100−2x)×3x=1800．
△OCD 2 2
整理，得x2−50x+600=0，
解得x =20，x =30．
1 2
当x=20时，2x=40<100；
当x=30时，2x=60<100，∴x=20和x=30均符合题意．
故答案为：当爬行20s或30s时，两只老鼠与点O组成的△OCD的面积为1800 cm2．
23．（本题8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入
第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），此产品年销售量y（万件）与售
价x（元/件）之间满足的函数关系式y=−x+26．
(1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润W 为20万元，那么
1
该产品第一年的售价是多少？
(2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成
本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销
售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？
2
【答案】(1)若公司希望该产品第一年的利润W 为20万元，那么该产品第一年的售价是16元
1
(2)该公司第二年的利润W为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是16元
2
【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是
解此题的关键．
（1）表示出 ，根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解；
W =−x2+32x−236
1
（2）根据题意列出一元一次不等式并结合题意可得 ，求出 ，根据题意列
14≤x≤16 W =−x2+31x−150
2
出一元二次方程，解方程即可得解．
【规范解答】（1）解：由题意可得： ，
W =(x−6)y−80=(x−6)(−x+26)−80=−x2+32x−236
1
∵公司希望该产品第一年的利润W 为20万元，
1
∴−x2+32x−236=20，
解得：x=16，
∴若公司希望该产品第一年的利润W 为20万元，那么该产品第一年的售价是16元；
1
（2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件，
∴−x+26≤12，
∴x≥14，
∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，
∴14≤x≤16，
由题意可得： ，
W = y(x−5)−20=(−x+26)(x−5)−20=−x2+31x−150
2
∵该公司第二年的利润W为90万元时，
2∴−x2+31x−150=90，
整理可得：x2−31x+240=0，
解得：x =15，x =16，
1 2
故该公司第二年的利润W为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是16元．
2
24．（本题8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程
的两个实数根为 和 ，分别以 ， 为横、纵坐标得到点 ，则
ax2+bx+c=0(a≠0) x x (x ≤x ) x x P(x ,x )
1 2 1 2 1 2 1 2
称点P为该一元二次方程的“两根点”．
(1)方程x2−2x−3=0的“两根点”P的坐标为______（直接写出）；
(2)点 是关于 的一元二次方程 的“两根点”．
P x x2−(2k+1)x+k2+k=0
①若点P在直线y=−x上，求k的值；
②点O为坐标原点，当线段OP取得最小值时点P的坐标为______（直接写出结果）．
【答案】(1)(−1,3)
(2)① 1；② ( 1 1)
k=− P − ,
2 2 2
【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先利用因式分解法解方程可得x =−1，x =3，再结合定义即可得解；
1 2
（2）①先解方程得出P(k,k+1)，再代入直线y=−x，计算即可得解；②由①可得点P在直线y=x+1上，
令直线y=x+1交x轴于A，交y轴于B，当OP⊥AB于P时，OP最小，作PH⊥AO于H，证明△PHO
为等腰直角三角形，得出OH=PH，从而可得−k=k+1，计算即可得解．
【规范解答】（1）解：∵x2−2x−3=0，
∴(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x =−1，x =3，
1 2
∴方程x2−2x−3=0的“两根点”P的坐标为(−1,3)；
（2）解：①∵ ，
x2−(2k+1)x+k2+k=0
∴ ，
(x−k)[x−(k+1))=0
∴x−k=0或x−(k+1)=0，∴x =k，x =k+1，
1 2
∴P(k,k+1)，
∵点P在直线y=−x上，
∴−k=k+1，
1
∴k=− ；
2
②由①可得P(k,k+1)，
∴点P在直线y=x+1上，
如图所示，令直线y=x+1交x轴于A，交y轴于B，当OP⊥AB于P时，OP最小，作PH⊥AO于H，
，
在y=x+1中，当x=0时，y=1，即B(0,1)；当y=0时，x+1=0，解得x=−1，即A(−1,0)，
∴OA=OB=1，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵OP⊥AB，
∴△APO为等腰直角三角形，
∴∠AOP=45°，
∵PH⊥AO，
∴△PHO为等腰直角三角形，
∴OH=PH，
∴−k=k+1，
1
解得：k=− ，
2
∴ ( 1 1)．
P − ,
2 2
25．（本题10分）（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场
上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案．【规律发现】请用含n的式子填空：
（1）第6个图案中盆景的盆数为______；
（2）第n个图案中花卉的盆数可表示为______；
【规律应用】解决下列问题：
（3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆．
【答案】（1）7；（2）n(n+1)；（3）盆景的盆数为10盆，花卉的盆数为90盆
【思路引导】本题考查了用代数式表示图形变化的规律和一元二次方程的应用（其它问题），能根据所给
图形发现盆景和花卉盆数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图案，发现盆景数量的变化规律即可解决问题．
（2）根据所给花卉盆数的表示方法，用n表示出第n个图案中花卉的盆数即可．
（3）根据（1）（2）发现的规律，列出一元二次方程，即可解决问题．
【规范解答】解：（1）由所给图案可知，
第1个图案中盆景的盆数为：2=1+1；
第2个图案中盆景的盆数为：3=2+1；
第3个图案中盆景的盆数为：4=3+1；…，
∴第n个图案中盆景的盆数为(n+1)盆．
∴第6个图案中盆景的盆数为n+1=6+1=7盆
故答案为：7；
（2）∵第1个图案中花卉的盆数可表示为1×2，
第2个图案中花卉的盆数可表示为2×3，
第3个图案中花卉的盆数可表示为3×4，
第4个图案中花卉的盆数可表示为4×5，…，
所以第n个图案中花卉的盆数可表示为n(n+1)盆．
故答案为：n(n+1)；
（3）由题意得，n(n+1)+(n+1)=100，
解得n=9或n=−11（不合题意，舍去），则n+1=10，n(n+1)=90，
答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆；
26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，
BC=8cm，点M从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，点N从点C开始沿CA向点A以2cm/s的速
度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为ts．
(1)小明认为：MN可以平分△ABC的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
(2)小亮认为：MN可以平分△ABC的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)说法错误，见解析
(2)说法正确，见解析
【思路引导】（1）根据动点M以1cm/s的速度移动,动点N以2cm/s的速度移动,运动时间为 ts，则
BM=tcm，CM=(8−t)cm，CN=2tcm，AN=AC−CN=(6−2t)cm，根据题意，点N运动6÷2=3(s)
停止运动，点M运动8÷1=8(s)停止运动，根据题意，MN平分△ABC的周长，得到
AB+BM+AN=CM+CN，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误．
1 1
（2）根据题意，S = CA·CB=24(cm2)，S = CM·CN=t(8−t)(cm2)，若MN平分△ABC的
△ABC 2 △CMN 2
1
面积，得t(8−t)= ×24，解方程解答即可．
2
【规范解答】（1）解：MN可以平分△ABC的周长说法错误．理由如下：
∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴ ；
AB=❑√C A2+CB2=10cm
∵动点M以1cm/s的速度移动,动点N以2cm/s的速度移动,运动时间为 ts，
∴BM=tcm，CM=(8−t)cm，CN=2tcm，AN=AC−CN=(6−2t)cm，
根据题意，点N运动6÷2=3(s)停止运动，点M运动8÷1=8(s)停止运动，
根据题意，MN平分△ABC的周长，
∴AB+BM+AN=CM+CN，
∴10+t+6−2t=8−t+2t，解得t=4，
大于了3秒．
故MN平分△ABC的周长的说法是错误的．
（2）解：MN平分△ABC的面积说法正确．理由如下：
1 1
根据题意，得S = CA·CB=24(cm2)，S = CM·CN=t(8−t)(cm2)，
△ABC 2 △CMN 2
1
若MN平分△ABC的面积，得t(8−t)= ×24，
2
解得t =2,t =6（舍去）．
1 2
故当t=2s时，MN平分△ABC的面积．
【考点剖析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，
熟练解方程是解题的关键．
